人教A高中数学选修3143费马的解析几何思想课件共25张

费马的解析几何思想

数学中转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了.——恩格斯

只要代数同几何分道扬镳，他们的进展就缓慢，他们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，他们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。

——M.克莱因费马的解析几何思想笛卡尔与《几何学》解析产生的背景解析几何的诞生费马与他的解析几何（一）数学本身发展具备的条件1.初等数学日臻成熟：欧几里德的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》、缪勒(穆勒)的名著《三角全书》成为第一部使三角学获取独立地位的系统理论研究的著作；2.阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展，印度—阿拉伯数码的标准化，记数和算术运算得以简化；3.数学观和数学方法论的重大变化：这一时期的数学逐渐脱离了古希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理化，人们所关注的实际上属于所谓的代数和分析这些数学门类。一、解析几何产生的背景（二）数学发展的外部条件

16世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要.

比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的.再如钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等，所有这些，都已超出欧几里得几何学的范围.

这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这要求数学从运动变化的观点研究和解决问题.这些工作成为解析几何建立的外部动力.一、解析几何产生的背景追溯早期的解析几何思想：1.公元前2000年的巴比伦人已能用数字表示从一点到另一固定点、线或物体的距离，已有原始坐标的思想.2.公元前4世纪，中国战国时代的天文学家绘制恒星方位表时已利用了坐标方法.同时的古希腊数学家门奈赫莫斯发现了圆锥曲线，并对这些曲线的性质作了研究.3.公元前200年左右，阿波罗尼奥斯用类似于直角坐标系的轴线研究圆锥曲线，以圆锥体底面的直径作横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，是解析几何的萌芽.此外，埃及人和罗马人在测量地形时，希腊人在绘制地图时都使用了坐标概念.追溯早期的解析几何思想：4.约1350年，法国数学家奥雷姆提出一种坐标几何：用两个坐标确定平面上点的位置，用水平线上的点表示时间，称为经度；而所对应的速度则用纵线表示，称为纬度.这样用经纬两个坐标就将物体运动情况在图上表示出来.这是从天文、地理坐标向坐标几何学的过渡.5.16世纪末，韦达提出了用代数方法解决几何问题的设想.例如，在尺规作图研究中将化圆为方问题归为二次方程，倍立方和三等分角问题归为三次方程等.1.笛卡尔生平简介笛卡尔出生于法国，父亲是相当富有的律师。笛卡尔八岁时，父亲把他送到教会学校，希望他成为王权和神权的继承人。因为他身体不好，学校允许他早上在床上读书和思考问题，这种习惯他一直保持到老。笛卡尔十六岁离开家乡出外读书，二十岁毕业于普瓦界大学，从事律师工作。二、笛卡尔和《几何学》1616年获该校博士学位.取得学位之后,他就暗下决心:今后不再仅限于书本里求知识,更要向“世界这本大书”求教,以“获得经验”,而且要靠理性的探索来区别真理和谬误.1618年起,先在军队里当过几年兵,离开军队之后便到德国,丹麦,荷兰,瑞士,意大利等国游历,所见所闻丰富了他的见识,更重要的是对当时科学的最新成果增强了了解.二、笛卡尔和《几何学》1628年定居荷兰,在那里生活了20年,先后出版了《形而上学的沉思》和《哲学原理》两本名著,前者是关于物理学的主要基础,后者主要是阐述他在物理学和生物学方面的研究成果.黑格尔称他是“现代哲学之父”.他是将哲学思想从传统的经院哲学束缚中解放出来的第一个人,是唯理论的创始人.1650年，笛卡儿死于肺炎.在教会控制下的学术界,对笛卡儿的逝世十分冷淡,只有几个友人为他送葬.随着笛卡儿的数学和哲学思想影响的扩大,法国政府在笛卡儿去世后18年,才将其骨灰运回安葬在巴黎名人公墓.1799年又将其骨灰置于历史博物馆；1819年移入圣日耳曼圣心堂中,其墓碑上刻着:笛卡儿,欧洲文艺复兴以来,第一个为争取并保证理性权利的人.二、笛卡尔和《几何学》2.主要的数学成就

笛卡儿对数学的最大贡献是创立了解析几何学.他的基本思想事要建立起一种普通的数学,使算术,代数和几何统一起来.为此他写了《几何学》.在他的《几何学》中第一次出现变量与函数的思想.

笛卡儿所谓的变量,是指具有变化长度而不变方向的线段,还指连续经过坐标轴上所有点的数字变量,正是变量的这两种形式使笛卡儿试图创造一种几何与代数互相渗透的科学.笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形”与“数”统一起来,并在数学中引入“变量”,完成了数学史上一项划时代的变革.二、笛卡尔和《几何学》3.笛卡尔的《几何学》《几何学》共分三个部分:第一部分包括对一些代数式作几何的原则解释,在这一部分中,笛卡儿把几何算术化了;第二部分讨论了曲线的分类法以及作曲线的切线的方法;第三部分涉及高于二次方程的解法,指出了方程可能有和它的次数一样多的根,还提出了著名的笛卡儿符号法则：多项式方程的正根的最多数目等于系数变化的次数,而负根的最多数目等于两个正号和两个负号连续出现的次数,但他没有给出证明.二、笛卡尔和《几何学》3.笛卡尔的《几何学》

笛卡尔引进了本质上可以代表任何一种量的符号体系。在《几何学》中，他用字母表中的小写字母a，b，c等代表已知量，x，y，z等代表未知量，这种用法一直延续至今。笛卡尔顺着用代数方程研究曲线的思路，得到一系列新颖的想法与结果：曲线的次数与坐标的选择无关；轴系的选取应使曲线对应的方程尽量简单；把几何曲线定义为可以用x和y的有限次代数方程表出的曲线；依据代数方程的次数对相应的几何曲线分类；求平面曲线的法线的方法等。笛卡尔的这些成就为牛顿、莱布尼兹等一大批数学家的新发现开辟了道路。二、笛卡尔和《几何学》1.费马生平简介费马（1601～1665），出生于法国的一个皮革商之家，儿时受到良好的家庭教育，入大学后研习法律，毕业后出任律师。

30岁之后利用业余时间钻研数学，在微积分、解析几何、概率论和数论等方面均有开创性的贡献，被称为“业余数学家之王”。

费马与他的解析几何2.费马的解析几何

1629年，费马于便有了解析几何的思想，（比笛卡尔的《几何学》早了8年），费马在认识到阿波罗尼兹所用几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想法。力图把阿波罗尼兹关于轨迹的某些久已失传的证明补充起来，进行关于轨迹的一般研究，通过坐标建立了代数方程和曲线联系，并利用方程来研究曲线的性质。这种研究是希腊人没有做到的。在他《平面和立体轨迹引论》这部关于解析几何的最早著作中，已经有了解析几何的两个基本概念：坐标概念以及通过坐标把代数方程同曲线相联系的概念。费马与他的解析几何2.费马的解析几何费马考虑任意曲线和它上面的一般点I，I的位置用A、E两个字母定出：A是从原点O沿底线到点J的距离，E是从J到I的距离，它所用的坐标，就是我们现在用的斜坐标，它的A,E就是我们现在的x，y。但是y轴没有明确出现，而且不用负数。

费马与他的解析几何3.笛卡尔和费马

费马与笛卡尔分别用不同的方法，各自独立的、差不多同时创立了解析几何。

笛卡尔与费马的解析几何研究方法是完全不同的。费马着眼于继承希腊人的思想，重新表述阿波罗尼兹的工作。尽管他的工作比笛卡尔更全面的叙述了解析几何的基本原理，但费马的工作主要是技术性成就。笛卡尔则抛弃了希腊人的思想方法，使代数的方法成为数学的一种普遍使用的方法。费马与他的解析几何

由笛卡尔与费马创立的解析几何，随后得到了进一步的发展。

1748年，瑞士人欧拉的《分析引论》对现代形式的解析几何做了系统地叙述，成为现代意义的第一本解析几何教程。到19世纪，解析几何获得了充分的发展，并渗透到数学的各个学科（如向量代数），而且广泛地应用到物理学和各种工程技术领域。实现了笛卡尔把解析几何应用于科学的夙愿。解析几何完善和发展

1.约翰.瓦里士引进负的纵、横坐标，从而使笛卡尔坐标几何中所考虑的曲线扩大到整个平面;2.第一次正式使用y（纵）轴的是克拉梅;3.雅各.伯努利引入了极坐标系，是极坐标的发明者;4.约翰.伯努利第一次引入我们现在通用的三个坐标平面，把解析几何推广到三维空间;5.拉格朗日以类似后来的向量形式表示力、速度等具有方向的量，19世纪80年代一门名叫向量代数的学科诞生.解析几何完善和发展

数学的研究方向发生了一次重大转折。古代以几何为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学；以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，为微积分的诞生奠定了基础，使代数和几何融合为一体。使得几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代数达到；反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以从中得到启发去提出新的结论.解析几何诞生的意义1.心形线笛卡尔轶事和费马定理笛卡尔轶事和费马定理1.心形线笛卡尔轶事和费马定理

叶形线2.费马大定理笛卡尔轶事和费马定理

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”。费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

谢谢同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。顽强的毅力改变可以征服世界上任何一座高峰。望远镜可以望见远的目标，却不能代替你走半步。伟大的成就，来自为远大的目标所花费的巨大心思和付诸的最大努力。我不能说只要坚持就能怎样，但是只要放弃就什么都没有了。有压力，但不会被压垮；迷茫，但永不绝望。沉湎于希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。你花时间做什么事，你就会成为什么样的人！人生没有彩排，每一天都是现场直播。人生最大的成就是从失败中站起来要做一件事，成功之前，没有必要告诉其他人。成功之后不用你说，其他人都会知道的。这就是信息时代所带来的效应。天下最宝贵的，莫如时日；天下最能奢侈的，莫如浪费时不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。面对困境，悲观的人因为往往只看到事情消极一面。人生的路，说长也很长，说短也很短。偶遇不幸或挫败只能证明某一时候某一方面的不足或做得不够。如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀石。才能一旦让懒惰支配，它就一无可为。很多时候，人并不是因为失败而烦恼；而是因为失败后找不到任何借口而烦恼。假如樵夫害怕荆棘，船只避忌风浪，铁匠畏惧火星，那么，世界就会变成另一副模样。每一个人都多多少少有点惰性。一个人的意志力量不够推动他自己，他就失败，谁最能推动自己，谁就最先得到成功。目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。人的肉体可以随着时间的推移而衰老，而赋予人的生命的思想却可以青春永驻，与日月同存。人生是个圆，有的人走了一辈子也没有走出命运画出的圆圈，其实，圆上的每一个点都有一条腾飞的切线。人生是伟大的宝藏，我晓得从这个宝藏里选取最珍贵的珠宝。日复明日，明日何其多？我生待明日，万事成蹉跎。只要是辛勤的蜜蜂，在生活的广阔原野里，到处都可以找到蜜源。不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。不要为已消逝之年华叹息，须正视欲匆匆溜走的时光。不要在这个努力拼搏的年纪去选择安逸。不做准备的人是准备失败的人！在任何苦难中能发现好的一面！成功就是你坚持不住的时候，在坚持一下。成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一心态，成功是一种习惯。成名每在穷苦日，败事多因得意时。大道理人人都懂，小情绪却是难以自控。当你的能力还驾驭不了你的目标时，那你就应该沉下心来历练。当你停下来休息的时候，不要忘记别人还在奔跑。第二名意味着你是头号输家。钢钎与顽石的碰撞声，是一首力的歌曲。格局被理想撑大，事业由梦想激发。光说不干，事事落空；又说又干，马到成功。过去的时间会永远流入无边的黑洞，永不再回来，所以要珍惜当下的每一秒。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁石。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。即使脚步下是一片岩石，它也会迸发出火花，只要你拿起铁锤钢钎。假如生活欺骗了你，不要心焦，也不要烦恼。阴郁的日子里要心平气和，相信吧，那快乐的日子就来到。——普希金驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。所谓成功，就是在平凡中做出不平凡的坚持。今天有许多人不是不愿接受新观念，而是不愿抛弃旧观念。拒绝严峻的冶炼，矿石并不比被发掘前更有价值。59.只有经历地狱般的磨练，才能炼出创造天堂的力量。怕吃苦的人苦一辈子，不怕吃苦的人苦一阵子。抛掉过去，不一定有好的开始，但一定不会比过去坏。如果你坚信自己最优秀，那么你就最聪明。如果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。如果缺少破土面出并与风雪拚搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。生活会辜负努力的人，但不会一直辜负努力的人。失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。头脑是日用品，而不是装饰品。忠告：人在生气、烦恼、情绪不稳定是最好不要去作出任何的选择、决定。种一棵树最好的时间是十年之前，其次，是现在。自己的路自己走，无论是苦是累，甚至是失败，都要去承担，只要是自己的选择，就无怨无悔。最困难的时候，就是距离成功不远了。人生四然：来是偶然，去是必然，尽其当然，顺其自然。人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。人生最精彩的不是实现梦想的一瞬间，而是坚持梦想的过程。要感谢痛苦与挫折，它是我们的功课，我们要从中训练，然后突破，这样才能真正解脱。要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。也许终点只有绝望和失败，但这绝不是停止前行的理由。一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少。一个人只有亲眼看到自己伤疤的时候才知道什么是痛，什么是对与错。一个一味沉溺于往事的人，是不能张开双臂去拥抱今天的。51.人生就像爬坡，要一步一步来