数学-广东省2025年深圳市高三年级第一次调研考试（深圳一模）试题和答案

2025年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CABCBCBD命题说明：1．说明：本题改编自人教A版必修第一册10页例1.2．说明：本题改编自人教A版必修第二册71页例2.3．说明：本题改编自人教A版必修第二册60页第8题.4．说明：本题改编自人教A版必须第一册229页第9题.5．说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅱ卷第6题.6．说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册129页第13题.7．说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅰ卷第13题.8．说明：本题改编自人教A版必修第二册119页例4.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号9答案ABDACAD命题说明：9．说明：本题改编自人教A版选择性必修第三册112页思考.10．说明：本题改编自人教A版必修第一册250页阅读与思考.11．说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册116页第11题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。命题说明：12．说明：本题改编自人教A版选择性必修第三册35页第6题.13．说明：本题改编自人教A版选择性必修第二册31页第3题.14．说明：本题改编自《趣味数学100题》.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）（1）求B；（2）若b=1，求△ABC的面积.【命题说明】本题改编自2024年新高考全国Ⅰ卷第15题.【参考答案】2及c222ab得……………1分cosC=，…………………………2分由于C∈(0,π)，……………………3分则C=，…………………………4分 又因为cos2B=sinC=，且B∈(0,)，……………………5分所以2B=，则B=．…………6分（2）解法1由（1）可知A=，………………7分πππ62sinA=sin=sin(+)=，…………9分由正弦定理：==，………得3，…………………11分所以absinC=3．……………13分解法2由（1）A=+B，………………………7分所以sinB=cosA，………………8分由正弦定理：a=b=c，………………9分sinBsinB43解法3如图，过点A作AD丄AC交BC于D，…………………7分由于A=，则上DAB=上B=，……… 所以AD=DB=3，CD=2，…………………10分a=2+3，………………………11分所以S=absinC=×(2+)×……………13分ACDBCD1615分）AA1的中点，E为BC1的中点.A（2）若BB1=6，求直线A1AB1B1;."DDEEAACB【命题说明】本题改编自2023年新高考全国Ⅰ卷第18题.【参考答案】（1）取BC中点M，连接AM，ME，…………1分因为AB=AC，所以AM丄BC，…………………2分由于点E为正方形B1BCC1对角线的交点，E为BC1的中点，所以EM为△BCC1的中位线，所以EM//CC1//AD，……………………3分又CC1=AA1=AD，所以四边形AMED为平行四边形，………………4分又因为AA1丄平面ABC，AM平面ABC，则AA1丄AM，EM丄AM， 5分由于EM,BC平面B1BCC1，EM∩BC=M，所以AM丄平面B1BCC1， 6分又因为DE//AM，所以DE丄平面B1BCC1． 7分（2）解法1由（1）可知：MA，MC，ME两两垂直，如图，以M为坐标原点，以MC所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，ME所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，……………8分在VA1B1C1中，由余弦定理可得：B1C12=6，……………9分=(3,3,6)，……………………11分于是即3z=0，………13分→令z=1，则n=(1,0,1)，…………14分设直线A1B与平面DBC1所成角为θ, 即直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为.……………………15分AC=6，……………8分如图，连接B1E，由（1DE丄平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，则DE丄BC1，………9分又因为BB1=B1C1，四边形B1BCC1为正方形，E为BC1的中点，B1E丄BC1，……………10分由于B1E∩DE=E，B1E，DE平面B1DE，则BC1丄平面B1DE，………11分则NH丄BC1，又因为DE∩BC1=E，DE,BC1平面DBC1，则NH丄平面DBC1，…………12分所以上NBH即为直线A1B与平面DBC1所成角，由于VA1DN~ΔBB1N，则=2，………………13分于是sin上NAH=6，……………………14分即直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为6.……………15分解法3设直线A1B与平面DBC1所成角为θ,点A1到平面DBC1的距离为h，则sinθ=，…………………………8分在Rt△A1B1B中，A1B1=23，BB1=6，则A1B过B作BQ丄CA交CA的延长线于Q，易得BQ=3，…………10分且易证BQ丄平面A1ACC1，………………………11分1715分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1每局比赛的结果是独立的.时，求甲最终获胜的概率；（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得一2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.【命题说明】本题改编自2024年新高考全国Ⅱ卷第18题.【参考答案】（1）记“甲最终以2:1获胜”为事件A，记“甲最终以2:0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C，……………1分于是C=AUB，A与B为互斥事件，……………2分由于.p.p.，………………3分P(B)=p2=，……………………4分则P=3p22p3=……………………5分即甲最终获胜的概率为.………………………6分（2）由（1）可知，P(C)=P(A)+P(B)=3p2-2p3，………7分若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3，-2，………………8分P(X=3)=P(C)=3p2-2p3，P(X=-2)=1-3p2+2p3，…………………9分则X的分布列为：X3-2p3p2-2p31-3p2+2p3则E(X)=9p2-6p3-2+6p2-4p3=-10p3+15p2-2，……10分若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1，0，…………………11分2-2p3P(Y=0)=1-3p2+2p3，………12分则Y的分布列为：Y10p3p2-2p31-3p2+2p3则E(Y)=3p2-2p3，……………13分所以E(X)-E(Y)=-8p3+12p2-2=-4(p-)(2p2-2p-1)，由于0<p<1，则2p2-2p-1=2p(p-1)-1<0，……………14分【14分段：设f(p)=-8p3+12p2-2，0<p<1，利用f'(p)=-24p2+24p=-24p(p-1)>0，则f(p)在(0,1)上单调递增=0.】于是p=时，两种方案都可以选，当0<p<时，E(X)<E(Y)，应该选第二种方案，当<p<1时，E(X)>E(Y)，应该选第一种方案.…………15分1817分）已知抛物线y2=2x，过点N(2,0)作两条直线l1,l2分别交抛物线于A,B和C,D（其中A,C在x轴（1）当l1垂直于x轴，且四边形ACBD的面积为4，求直线l2的方程；（2）当l1,l2倾斜角互补时，直线AC与直线BD交于点M，求△MAB的内切圆的圆心横坐标的取值范围.【命题说明】本题改编自2014年全国大纲卷第21题.【参考答案】，…1分 =25，………………………2分=20，…………………4分则=6，则k=±1，…………5分所以直线l2的方程为x+y一2=0或xy2=0.………………6分解法2设l2:x=ty+2，倾斜角为α,由对称性知l2有两条，且关于l1对称，………………1分则×4×|CD|×cosα=4则|CD|cosα=2，………………2分，……………3分y2，……4分=0，…………5分所以直线l2的方程为x+y一2=0或xy2=0.………………6分（2）解法1设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，所以AB:yy1=，AB:yy1y2=2x，CD:yy3y4=2x，AC:(y1+y3)yy1y3=2x，BD:(y2+y4)yy2y4=2x，……………8分又因为kAB=一kCD，直线AB和直线CD交于点N(2,0)，所以=，且y1y2=y3y4=4，即，……9分+，且y1≠y3，化简得：y1y3=4，于是y3=y2，y4=y1，……………10分MA，则x轴平分上AMB，…………12分所以所以42y144y1(y1y1(y1y11+(y(yy1………由于y+>8，当且仅当y=4取等号（舍……………15分则5，…………………16分 则0<n<35，n∈(0,35).………………172取等号（舍解法2点M(一2,0)证明同解法1；………………11分设定点N(2,0)，由于MQ=2+n，NQ=2一n，设半径为r，……………12分sin(πβ)=sinB，………………13分那么，………14分>0，……………15分由于当且仅当x1=2取等号，则1则0<n<3，则.……………17分【13~14分段：在VAMN中，由角平分线定理：1917分）（2）证明：“存在k∈N*，使得ak=0”是“{an}是周期为3的数列”的必要不充分条件；（3）若a1≠a2，是否存在数列{an}，使得an<2025恒成立？若存在，求出一组a1,a2的值；若不存在，请说明理由.【命题说明】本题改编自2006年北京卷第20题【参考答案】2 1分244 2分4=1或5，…………………3分1或3或5．……………4分2时，数列{an}前5项为：x,y,x+y,x,y，34a5|得x+y=|xy|，该式当且仅当x=0或y=0时成立，与a1,a2为正整数矛盾；…………………6分2