江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（下）数学第1周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高三（下）数学第1周阶段性训练模拟练习一．选择题（共10小题）1．在的展开式中，若二项式系数的和为32，则x的系数为（）A．﹣40 B．﹣10 C．10 D．402．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线y2＝16x的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（）A．3 B．6 C． D．3．已知向量，，满足＝（1，﹣），|2﹣|＝4，且（3﹣）⊥，则向量与的夹角是（）A． B． C． D．4．已知tanα＝3，tan（α﹣β）＝5，则＝（）A． B． C． D．55．若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝4，f（3x+1）﹣2是奇函数，且，则的值为（）A．42 B．45 C．420 D．4836．设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＜2a﹣1）＝P（X＞a+3），则实数a＝（）A． B．1 C．2 D．47．若函数f（x）＝在x＝2处取得极小值，则实数a＝（）A．﹣2 B．2 C．2或0 D．08．已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣1）2+y2＝1相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．39．已知角α的终边经过点P（1，3），角β为钝角，且，则sinβ＝（）A． B． C． D．10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为（）A． B． C．π D．二．多选题（共3小题）（多选）11．从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则（）A．“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件 B．“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立 C．第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是 D．在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是（多选）12．函数f（x）＝acosx+xsinx．下列说法中正确的有（）A．函数f（x）是偶函数 B．∃a∈R，使f（x）为周期函数 C．当a＝1，x∈（﹣π，π）时，f（x）的极小值为1 D．当时，ex+e﹣x≥2f（x）恒成立（多选）13．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则下列说法正确的有（）A．若f（x）在[0，π]上的值域为[﹣1，1]，则ω的取值范围是 B．若f（x）在上恰有一条对称轴，则ω的取值范围是 C．若f（x）在上单调递增，则ω的取值范围是 D．若f（x）在上有且只有两个不同的零点，则ω的取值范围是（4，6]三．填空题（共2小题）14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b＝2，则△ABC的面积为．15．在△ABC中，点D满足，∠BAD＝30°，∠ABC＝∠CAD，则tan∠ABC＝．四．解答题（共4小题）16．某学校对男女学生是否经常锻炼进行了抽样调查，统计得到以下2×2列联表．男生女生合计经常锻炼120不经常锻炼100180合计200（1）请完成表格，并判断有多大的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关；（2）（i）为了鼓励学生经常参加体育锻炼，采用分层抽样的方法从调查的不经常锻炼的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取4人参加座谈会，求“男女生都有人参会”的概率；（ii）用频率估计概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中经常锻炼的人数为X，求X的数学期望．附表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828附：．

17．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．（1）若f（x）在x＝2处有极小值，求f（x）的单调递增区间；（2）若函数y＝f（x）的图像与直线y＝﹣x+c相切，求实数c的值．18．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点，直线l与椭圆C交于P，Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若四边形APFQ是平行四边形，求直线l的方程；（3）若△PQF的内心在直线AF上，求证：直线l过定点．

19．已知函数f（x）＝xlnx．（1）若f（x）在区间（a，+∞）上单调，求实数a的取值范围；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣bx2有两个不同的零点．（i）求实数b的取值范围；（ii）若（xlnx﹣bx2）（x2﹣cx+d）≤0恒成立，求证：．

参考答案与试题解析题号12345678910答案DCACDCDCDA一．选择题（共10小题）1．【解答】解：根据的展开式中，二项式系数的和为2n＝32，∴n＝5．而＝的展开式中，通项公式为Tr+1＝•（﹣2）r•x5﹣2r，令5﹣2r＝1，求得r＝2，可得展开式中x的系数为•（﹣2）2＝40，故选：D．2．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得＝，双曲线的一个焦点（﹣c，0）在抛物线y2＝16x的准线x＝﹣4上，可得c＝4，即有a2+b2＝16，解得a＝2，b＝2，则双曲线的方程为﹣＝1．故双曲线的顶点（2，0）到渐近线y＝x的距离为：＝．故选：C．3．【解答】解：由＝（1，﹣），可得，由（3﹣）⊥，可得，则，由|2﹣|＝4，可得，即，即，向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]，则，因此，向量与的夹角为．故选：A．4．【解答】解：由于tanα＝3，tan（α﹣β）＝5，故，解得，所以＝．故选：C．5．【解答】解：∵f（x+2）+f（x）＝4，∴f（x+4）+f（x+2）＝4，∴f（x+4）﹣f（x）＝0，∴f（x+4）＝f（x），∴f（x）的周期为4，又f（3x+1）﹣2为奇函数，∴f（﹣3x+1）﹣2+f（3x+1）﹣2＝0，∴f（﹣3x+1）+f（3x+1）＝4，∴f（﹣x+1）+f（x+1）＝4，∴f（x）关于（1，2）对称，又，∴f（）＝4﹣f（）＝1，f（）＝4﹣f（）＝1，f（）＝4﹣f（）＝3，∴＝1×3+2×1+3×1+4×3+5×3+6×1+7×1+8×3+…+21×3＝（1+4+5+8+9+12+13+16+17+20+21）×3+（2+3+6+7+10+11+14+15+18+19）×1＝483．故选：D．6．【解答】解：因为X～N（4，σ2），且P（X＜2a﹣1）＝P（X＞a+3），所以＝4，解得a＝2．故选：C．7．【解答】解：f'（x）＝x2﹣2ax+2a2﹣4，因为函数f（x）在x＝2处取得极小值，所以f′（2）＝4﹣4a+2a2﹣4＝0，解得a＝0或a＝2，当a＝0时，f′（x）＝x2﹣4，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，所以函数在x＝2处取得极小值，符合题意；当a＝2时，f′（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，f（x）在R上单调递增，函数在x＝2处不取得极小值．综上，实数a＝0．故选：D．8．【解答】解：圆M：（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），半径为1，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx﹣ay＝0，即有圆心到渐近线的距离d＝＝，由弦长公式可得2＝1，化为3c2＝4b2，由c2＝a2+b2，可得＝，即e＝2．故选：C．9．【解答】解：因为α的终边过点P（1，3），所以r＝|OP|＝＝，所以sinα＝，cosα＝；因为β为钝角，所以β∈（，π），又因为α∈（2kπ，2kπ+），k∈Z，所以α+β∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z；又因为cos（α+β）＝﹣，所以sin（α+β）＝±＝±；当sin（α+β）＝时，cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝﹣×+×＝＞0，不合题意，舍去；所以sin（α+β）＝﹣，sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝﹣×﹣（﹣）×＝．故选：D．10．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由VO﹣ACM＝VM﹣AOC，即＝，∴d＝，，故d＝，又d2+r2＝1，∴r，所以截面的面积为πr2＝，故选：A．二．多选题（共3小题）11．【解答】解：对于A，“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，为互斥事件，故A正确，对于B，“第一次抽到代数题”发生时，“第二次抽到几何题”的概率是，“第一次抽到代数题”不发生时，“第二次抽到几何题”的概率是，它们不独立，故B错误，对于C，第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是，故C正确，对于D，抽取两次都是几何题的概率为，因此有代数题的概率是，在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是，故D正确．故选：ACD．12．【解答】解：对于A，由题意可知函数的定义域为R，又因为f（﹣x）＝）＝acos（﹣x）+（﹣x）sin（﹣x）＝acosx+xsinx＝f（x），所以函数是R上的偶函数，故A正确；对于B，因为y＝cosx与y＝sinx的最小正周期为2π，f（x+2π）＝acos（x+2π）+（x+2π）sin（x+2π）＝acosx+（x+2π）sinx≠f（x），所以不存在实数a，使函数为周期函数，故B错误；对于C，当a＝1时，f（x）＝cosx+xsinx，f′（x）＝﹣sinx+sinx+xcosx＝xcosx，又因为当x∈（﹣π，﹣）∪（，π）时，cosx＜0；当x∈（﹣，）时，cosx＞0；所以当x∈（﹣π，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，π）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；所以f（x）极小值＝f（0）＝1，故C正确；对于D，由C可知，当a＝1时，2f（x）＝2cosx+2xsinx，令g（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx﹣2xsinx，x∈[0，），则g′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2xcosx，令h（x）＝g′（x）＝ex﹣e﹣x﹣2xcosx，x∈[0，），则h′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx+2xsinx，设φ（x）＝h′（x）＝ex+e﹣x﹣2cosx+2xsinx，x∈[0，），则φ′（x）＝ex﹣e﹣x+4sinx+2xcosx，当x∈[0，）时，φ′（x）＞0，所以φ（x），即h′（x）在[0，）上单调递增，所以h′（x）≥h′（0）＝0，所以h（x），即g′（x）在[0，）上单调递增，所以g′（x）≥g′（0）＝0，所以g（x）在[0，）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，即ex+e﹣x≥2f（x）在x∈[0，）上恒成立，故D正确．故选：ACD．13．【解答】解：对于A，若f（x）在[0，π]上的值域为[﹣1，1]，则，所以T，即，解得ω，即ω的取值范围是[，+∞），故A正确；对于B，若f（x）在上恰有一条对称轴，则，所以，解得，即ω的取值范围是（，]，故B错误；对于C，若f（x）在上单调递增，则≥，所以≥，解得ω≤，即ω的取值范围是（0，]，故C正确；对于D，若f（x）在上有且只有两个不同的零点，则T＜≤，所以，解得4＜ω≤6，即ω的取值范围是（4，6]，故D正确．故选：ACD．三．填空题（共2小题）14．【解答】解：由，可得cosAcosB+cosAsinB+sinAcosB﹣sinAsinB＝0，即（cosAcosB﹣sinAsinB）+（sinAcosB+cosAsinB）＝0，即cos（A+B）+sin（A+B）＝0，整理得cos（A+B）＝sin（A+B），所以tan（A+B）＝＝，结合0＜A+B＜π，可得A+B＝，所以A＝﹣B＝，C＝π﹣（A+B）＝．sin＝sin（+）＝sincos+cossin＝，△ABC中，由正弦定理＝，得，解得a＝＝．所以△ABC的面积S＝absinC＝＝．故答案为：．15．【解答】解：因为，可得D为BC的中点，即BD＝CD，∠BAD＝30°，设∠ABC＝∠CAD，在△ABD中，由正弦定理可得＝＝，①在△ACD中，由正弦定理可得＝，②可得＝＝2sinB，可得sinC＝2sin2B，由题意可得C＝180°﹣2B﹣30°＝150°﹣2B，所以sin（150°﹣2B）＝2sin2B，即sin150°cos2B﹣cos150°sin2B＝2sin2B，可得（1﹣2sin2B）+•2sinBcosB＝2sin2B，设t＝sinB∈（0，1），可得2t2＝（1﹣2t2）+t，整理可得4t2＝1﹣2t2+2t，即6t2﹣1＝2t，整理可得48t4﹣24t2+1＝0，解得t2＝＝，因为0°＜B＜90°，所以0＜t＝sinα＜1，当t2＝时，则cosB＝＝，此时tanB＝＝；取t2＝，所以cosB＝＝，所以tanB＝＝．故答案为：或．四．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）补全2×2列联表，如下：男生女生合计经常锻炼120100220不经常锻炼80100180合计200200400零假设H0：该校学生是否经常锻炼与性别无关，则，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，所以有95%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别有关；（2）（i）因为不经常锻炼的学生中男女抽取比例为4：5，所以抽取男生4人，女生5人，所以男女生都有人参会的概率P＝1﹣﹣＝；（ii）随机抽取一个，他经常锻炼的概率，则X～B（10，），所以．17．【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为R，可得f′（x）＝（x﹣c）2+2（x﹣c）x＝（x﹣c）（3x﹣c），因为f（x）在x＝2处有极小值，所以f′（2）＝（2﹣c）（6﹣c）＝0，解得c＝2或c＝6，当c＝2时，f′（x）＝（x﹣2）（3x﹣2），当x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝2上有极小值，符合条件；当c＝6时，经检验f（x）在x＝2处有极大值了，不符合条件，综上所述，f（x）的单调增区间为，（2，+∞）；（2）设f（x）与y＝﹣x+c切于，此时k＝（x0﹣c）（3x0﹣c），所以切线方程为＝，因为该切线与y＝﹣x+c重合，所以，两式相除得（2x0﹣c）（x0﹣c）＝0，解得或x0＝c（舍去），所以，解得c＝±2．则实数c的值为±2．18．【解答】解：（1）因为椭圆C的右焦点为F（1，0），且过点，所以，解得，则椭圆C的方程为；（2）易知直线l斜率存在，又，F（1，0），设直线l方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点R（x0，y0），联立，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，此时Δ＞0，所以，，因为四边形APFQ是平行四边形，所以PQ的中点也是AF的中点，所以，解得，则直线l的方程为；（3）证明：若△PQF的内心在直线AF上，此