2025年春北师版数学七年级下册电子教案 第5章 2 简单的轴对称图形 第3课时 角平分线的性质及画法

第3课时角平分线的性质及画法教师备课素材示例●复习导入生活中有许多图形是轴对称图形，验证一个图形是不是轴对称图形可以通过对折的方式．角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么验证的？交流你的想法．【教学与建议】教学：体验角平分线的简易作法，让学生亲自动手折叠一个角，为整节课的学习奠定基础．建议：通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．●置疑导入不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角．你有什么办法？将角对折再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？【教学与建议】教学：让学生体验操作将一个角分成两个相等的角，为新课作铺垫．建议：让学生自己发现结论，发挥学生的主动作用．·命题角度1角平分线的尺规作图尺规作图就是只用没有刻度的直尺和圆规画图．【例1】如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为(B)A．60°B．65°C．70°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例1题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例2题图）))【例2】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于eq\f(1,2)EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M；以点C为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AC，CD于G，H两点，再分别以G，H为圆心，大于eq\f(1,2)GH的长为半径画弧，两弧交于点Q，作射线CQ，交AD于点N.则∠ANC的度数为90°Ｗ．·命题角度2利用角平分线的性质计算角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D.如果AC＝3cm，那么AE＋DE等于(B)A．2cmB．3cmC．4cmD．5cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3题图）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4题图）))【例4】如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点E，且与AB垂直，垂足为A，交CD于点D.若AD＝4，则点E到BC的距离是2．·命题角度3线段垂直平分线、角平分线性质的综合应用线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，综合运用这两条性质，选择合适条件和表示方法来解决问题．【例5】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(C)A．10B．7C．5D．4【例6】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，试说明：BC＝2AB.解：因为DE是BC的垂直平分线，所以BE＝EC＝eq\f(1,2)BC，DE⊥BC，所以∠DEB＝90°.因为∠A＝90°，所以∠A＝∠DEB.又因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠EBD.在△ABD和△EBD中，因为∠ABD＝∠EBD，∠A＝∠BED，BD＝BD，根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以△ABD≌△EBD，所以AB＝BE，所以AB＝eq\f(1,2)BC，即BC＝2AB.高效课堂教学设计1．经历探索角的轴对称性质的过程，理解角平分线的有关性质．2．利用折叠的方法说明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．▲重点探索并理解角平分线的有关性质．▲难点运用角平分线的性质解决问题．◆活动1创设情境导入新课（课件）如图，在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从点P建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？这节课我们来利用角平分线的性质解决这类问题．◆活动2实践探究交流新知【探究1】角的轴对称性操作：在一张纸上任意画一个角∠AOB，如图，沿角的两边将角剪下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片，看看折痕与这个角有什么关系？【归纳】角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线．【探究2】角平分线的性质请同学们按下列步骤完成折叠过程：(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线；(2)在∠AOB的平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE重合吗？(3)改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗？你能说明理由吗？【归纳】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．【探究3】尺规作角的平分线下面我们探究用尺规作角的平分线．已知：∠AOB.求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.作法：(1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；(2)分别以D，E为圆心，以大于eq\f(1,2)DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；(3)作射线OC.OC就是∠AOB的平分线（如图）.你能说明这样作的道理吗？理由如下：连接CE，CD.在△COD和△COE中，因为OD＝OE，CD＝CE，OC＝OC，根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△COD≌△COE.所以∠COD＝∠COE，即OC是∠AOB的平分线．◆活动3开放训练应用举例【例1】如图，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？【方法指导】角平分线性质的运用．解：相等．理由如下：因为BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，可知DE＝DC.【例2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（）A．6B．5C．4D．3【方法指导】过点D作DF⊥AC于点F.因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，所以DF＝DE＝2，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2＋eq\f(1,2)AC×2＝7，解得AC＝3.答案：D【例3】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于eq\f(1,2)EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．【方法指导】根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．解：因为AB∥CD，所以∠ACD＋∠CAB＝180°.又因为∠ACD＝120°，所以∠CAB＝60°.由尺规作图，得AM是∠CAB的平分线，所以∠MAB＝eq\f(1,2)∠CAB＝30°.◆活动4随堂练习1．用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)A.SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若AB＝10，S△ABD＝15，求CD的长．解：CD＝3.3．课本P133随堂练习T1、T2.◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1.本节课你知道了哪些新知识？2．你还有哪些困惑？【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，