2024-2025学年高中数学第3章不等式3.4不等式的实际应用学案新人教B版必修5

PAGE1-3.4不等式的实际应用学习目标核心素养1.能依据实际情景建立不等式模型．(难点)2．驾驭运用不等式学问，解决实际问题的方法、步骤．(重点)1.通过利用不等式解决实际应用题的学习，培育学生的数学建模素养．2．借助不等式解决不同类型的实际应用问题，提升学生的数据分析素养.1．重要结论若b>a>0，m>0，则eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).另外，若a>b>0，m>0，则有eq\f(a＋m,b＋m)<eq\f(a,b)成立．2．不等式解决实际问题的步骤(1)设未知数：用字母表示题中的未知数．(2)列不等式(组)：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．(3)解不等式(组)：运用不等式学问求解不等式，同时要留意未知数在实际问题中的取值范围．(4)答：规范地写出答案．1．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台C[由题意可得25x－y＝0.1x2＋5x－3000≥0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)，所以150≤x<240，x∈N.]2．有如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示出来为________．图①广告牌面积大于图②广告牌面积eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2>ab[图①广告牌面积大于图②广告牌面积．设图①面积为S1，则S1＝eq\f(a2,2)＋eq\f(b2,2)，图②面积为S2，则S2＝ab，∴eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2＞ab．]3．一辆汽车原来每天行驶xkm，假如这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程超过2200km，写成不等式为________；假如它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．8(x＋19)>2200eq\f(8x,x－12)>9[原来每天行驶xkm，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2200km”，写成不等式为8(x＋19)>2200.若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为eq\f(8x,x－12)>9.]利用比较法解决实际生活问题【例1】某商品安排两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p>q>0，方案第一次(提价)其次次(提价)甲p%q%乙q%p%丙eq\f(1,2)(p＋q)%eq\f(1,2)(p＋q)%经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？[解]设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲，N乙，N丙，则N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)，N乙＝a(1＋q%)(1＋p%)，N丙＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)p＋q%))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)p＋q%))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,200)))2.明显甲、乙两种方案最终价格是一样的，因此，只需比较aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(p＋q,200)))2与a(1＋p%)(1＋q%)的大小．N甲－N丙＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(p,100)＋\f(q,100)＋\f(pq,1002)－1－\f(p＋q,100)－\f(p＋q2,2002)))＝eq\f(a,2002)(2pq－p2－q2)＝－eq\f(a,2002)(p－q)2<0.∴N丙>N甲，∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答．1．有一批货物的成本为A元，假如本月初出售，可获利100元，然后可将本利都存入银行．已知银行的月利息为2%，假如下月初出售，可获利120元，但货物贮存要付5元保管费，试问是本月初还是下月初出售好？并说明理由．[解]若本月初出售到下月初获利为m元，下月初出售获利为n元．则m＝100＋(100＋A)·2%＝102＋0.02A．n＝120－5＝115，故n－m＝13－0.02A，令n－m＝0，得A①当A＝650元时，本月初、下月初出售获利相同．②当A>650元时，n－m<0即n<m，本月初出售好．③当A<650元时，n>m，下月初出售好．一元二次不等式的实际应用【例2】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，安排可收购a万担，政府为了激励收购公司多收购这种农产品，确定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预料收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不少于原安排税收的83.2%，试确定x的取值范围．[解](1)降低税率后为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．(2)原安排税收为200a·10%＝20依题意得：eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是(0,2]．不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．2．某市新建一处公园，要对园内一块长为800m，宽为600m的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解]设花卉带的宽度为xm，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m．依据题意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.均值不等式的实际应用[探究问题]1．某单位确定投资3200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．若设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，那么x，y之间有何关系？你能建立仓库底面积S与x，y之间的关系吗？[提示]x与y之间的关系为40x＋2×45y＋20xy≤3200，S与x，y间的关系为S＝xy.2．在探究1中若要求S的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S的最大值？[提示]在S＝xy中含两个变量x，y，而x，y满意40x＋90y＋20xy≤3200，利用该关系不能将S表示为关于x或只关于y的函数，故不能用求函数最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解．解：设铁栅长为xm，一侧砖墙长为ym，则有S＝xy.由题意得40x＋2×45y＋20xy≤3200.由均值不等式，得3200≥2eq\r(40x·90y)＋20xy＝120eq\r(xy)＋20xy＝120eq\r(S)＋20S，∴S＋6eq\r(S)≤160，即(eq\r(S)＋16)(eq\r(S)－10)≤0.∵eq\r(S)＋16＞0，∴eq\r(S)－10≤0，∴S≤100.∴S的最大允许值是100m2.【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某供应面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折实惠，问该厂是否考虑利用此实惠条件？请说明理由．[思路探究]平均每天所支付的总费用＝eq\f(x天支付的总费用,天数x)，依据题意列出函数式，利用均值不等式求解．[解](1)设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝3×eq\f(x6x＋6,2)＝9x(x＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y1元，则Y1＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6＝9x＋eq\f(900,x)＋10809≥2eq\r(9x·\f(900,x))＋10809＝10989，当且仅当9x＝eq\f(900,x)，即x＝10时取等号．该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此实惠条件后，每x天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每eq\f(210,6)＝35天购买一次面粉，即x≥35.设平均每天支付的总费用为Y2元，则Y2＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6×eq\f(9,10)＝9x＋eq\f(900,x)＋9729(x≥35)，记f(x)＝x＋eq\f(100,x)，x∈[35，＋∞)，设x1，x2∈[35，＋∞)，取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(100,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(100,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x1)－\f(100,x2)))＝eq\f(x1－x2x1x2－100,x1x2)，∵35≤x1<x2，x1x2>100，∴x1－x2<0，x1x2－100>0，∴eq\f(x1－x2x1x2－100,x1x2)<0，f(x1)－f(x2)<0，∴函数f(x)＝x＋eq\f(100,x)在[35，＋∞)上是增函数，∴当x≥35时，f(x)min＝f(35)．∴当x＝35时，Y2有最小值，此时Y2的最小值小于10989.故该厂应接受此实惠条件．求实际问题中最值的一般思路：(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．(4)正确写出答案．3．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，运用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次，某班有48名同学，老师准备组织同学们集体去游泳，除须要购买游泳卡外，每次还要包1辆车，无论乘坐多少名乘客，包车费均为40元，若使每位同学游泳8次，每人需至少交多少钱？[解]法一：设购买x张游泳卡，活动总开支为y元，则购买游泳卡需240x元，48名同学每人游8次，共48×8次．但游泳卡只有x张，则每批只有x人参与，共分eq\f(48×8,x)批，故包车费为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(48×8,x)×40))元，∴y＝240x＋eq\f(48×8,x)×40＝240eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(64,x))).∵x>0，∴x＋eq\f(64,x)≥2eq\r(x·\f(64,x))＝16，∴y≥3840.当且仅当x＝eq\f(64,x)，即x＝8时，取等号．3840÷48＝80(元)．∴每人需至少交80元．法二：设分n批去游泳，活动总开支为y元，则包车费为40n元，每批去eq\f(48×8,n)人，需购买游泳卡eq\f(48×8,n)张．∵n>0，∴y＝40n＋eq\f(48×8,n)×240＝40eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(482,n)))≥40×2eq\r(482)＝40×2×48＝3840，当且仅当n＝eq\f(482,n)，即n＝48时，取等号.3840÷48＝80(元)．∴每人需至少交80元．1．本节课的重点和难点是一元二次不等式的实际应用．2．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，依据题意，列出不等关系再求解．3．利用均值不等式来解决函数的最值或值域问题时，肯定要弄清从实际问题中抽象出函数模型的结构形式及其定义域，若不具备运用均值不等式的形式，则可考虑能否先变形再应用．另一个重要问题是运用均值不等式时肯定要留意能否取得等号，假如不能取得等号，那么可考虑用函数的单调性处理．1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若b>a>0，m>0，则有eq\f(a＋m,b＋m)<eq\f(a,b)成立．()(2)依据调查，某厂生产的一种产品n月份盈利为f(n)万元(n＝1,2，…，12)，其近似地满意f(n)＝eeq\f(n,2)(13n－22－n2)(e＝2.718…)，为了获得一年的最大利润，那么该产品每年只要生产7个月即可．()(3)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，则当这艘轮船以40海里/小时的速度航行时，费用总和取得最小值．()[解析](1)∵eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(ab＋m－ba＋m,bb＋m)＝eq\f(ma－b,bb＋m)，又∵b>a>0，m>0，∴b(b＋m)>0，a－b<0.∴eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)<0，即eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)，故(1)错；(2)由f(n)≥0可知－n2＋13n－22≥0，即(n－2)(n－11)≤0，解得2≤n≤11.所以为获得一年的最大利润，该产品每年只要生产8个月，故(2)错；(3)设轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费为u，速度为v，则u＝kv2.∵当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．∴6＝100k，则k＝eq\f(3,50).∴u＝eq\f(3,50)v2，再设轮船匀速行驶10海里的总费用为y，则y＝eq\f(10,v)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)v2＋96))＝eq\f(3,5)v＋eq\f(960,v)≥2eq\r(\f(3,5)v·\f(960,v))＝48.当且仅当eq\f(3v,5)＝eq\f(960,v)，即v＝40时取等号．∴这艘轮船的速度为40海里/小时时，费用总和最少．[答案](1)×(2)×(3)√2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2A．6.5m B．6.8mC．7m D．7.2mC[设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq\f(1,2)ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝4＋2eq\r(2)≈6.828(m)．因为要求够用且奢