2024-2025学年高中数学课时分层作业15等比数列前n项和的性质及应用含解析新人教B版必修5

PAGE1-课时分层作业(十五)等比数列前n项和的性质及应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在等比数列{an}中，假如a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．135 B．100C．95 D．80A[eq\f(a3＋a4,a1＋a2)＝q2＝eq\f(60,40)＝eq\f(3,2)，a7＋a8＝(a1＋a2)q6＝40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝135.]2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31 B．32C．63 D．64C[法一：由性质2可得(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即144＝3(S6－15)，解得S6＝63.法二：由性质4可得S4＝S2＋q2S2⇒15＝3＋3q2⇒q2＝4，所以S6＝S2＋q2S4＝3＋4×15＝63.]3．等比数列{an}的通项an＝2·3n－1，其前n项和为Sn，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝()A．3n－1 B．32n－1－1C．eq\f(1,4)(9n－1) D．9n－1C[S2n＝a1＋a3＋…a2n－1＋a2＋a4＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)(1＋q)，∴a1＋a3＋…＋a2n－1＝eq\f(1,4)S2n＝eq\f(1,4)×eq\f(21－32n,1－3)＝eq\f(1,4)(9n－1)．]4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，27a4＋a7＝0，则eq\f(S4,S2)＝()A．10 B．9C．－8 D．－5A[设公比为q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0.因为a4≠0，所以27＋q3＝0，则q＝－3，故eq\f(S4,S2)＝eq\f(1－q4,1－q2)＝10.]5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N＋)，则a6等于()A．3×44 B．3×44＋1C．45 D．45＋1A[an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第2项起先是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n＝1，,3×4n－2n≥2.))∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.]二、填空题6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.2[设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S奇＝eq\f(a1[1－q2n],1－q2).由题意得eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(3a11－q2n,1－q2).∴1＋q＝3，∴q＝2.]7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝5，则eq\f(S15,S10)＝________.eq\f(21,5)[由性质得：S5、S10－S5，S15－S10成等比数列．因为eq\f(S10,S5)＝5，所以设S10＝5S5，所以S10－S5＝4S5，所以S15－S10＝16S5，∴S15＝21S5，∴eq\f(S15,S10)＝eq\f(21S5,5S5)＝eq\f(21,5).]8．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．450[由eq\f(a2＋a4＋…＋a100,a1＋a3＋…＋a99)＝q，q＝2，得eq\f(a2＋a4＋…＋a100,150)＝2⇒a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.]三、解答题9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．[解]∵S30≠3S10，∴q≠1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S30＝13S10，,S10＋S30＝140，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S10＝10，,S30＝130，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q10,1－q)＝10，,\f(a11－q30,1－q)＝130，))∴q20＋q10－12＝0.∴q10＝3，∴S20＝eq\f(a11－q20,1－q)＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.10．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．[解]设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又a1·a1q·a1q2＝64，∴aeq\o\al(3,1)·q3＝64，得a1＝12.故所求通项公式为an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1.[实力提升练]1．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8 B．12C．16 D．24C[设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.]2．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)()A．300米 B．299米C．199米 D．166米A[小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8＝299eq\f(39,64)≈300(米)．]3．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________.30[由题意得q>0且q≠1，依据性质2知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列．设S2n＝x(x>0)，则2，x－2,14－x成等比数列，(x－2)2＝2(14－x)，解得x＝6.由S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，可得(6－2)×(S4n－14)＝(14－6)2，解得S4n＝30.4．假如数列{an}满意a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.2n－1[an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a1＝2，,a3－a2＝22，,…,an－an－1＝2n－1.))相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1.]5．已知等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，公比q＝eq\f(1,3).(1)若Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝eq\f(1－an,2)；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b[解](1)证明：∵an＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＝eq\f(1,3n)，Sn＝eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co