初升高数学暑假衔接（人教版）初高衔接第02讲：因式分解

第02讲：因式分解

【考点梳理】

考点一、公式法（立方和、立方差公式）

/+//=（〃+b）（a2-ab+b2）

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）.

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.

考点二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如

〃口+〃力+，园+〃〃既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来

因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.

考点三、十字相乘法

1.f+（〃+c/）x+型的因式分解

（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和.

X2+（/?+q）x+pq=x2+px+qx+pq=x（x+p）+q（x+〃）=（x+p）（x+q）.

因此，V+（〃+g）x+=（工+〃）（x+q）

2.一般二次三项式a?+H+c型的因式分解

大家知道，（。［*十。|）（。/十。2）=。［。2"2+（。|。2十/C］）X+《。2.

反过来，就得到：+（，&+。2。1）》+。1。2=（。1工+。］）（〃2k+。2）

我们发现，二次项系数。分解成4%，常数项c•分解成qg,杷写成Wx。，这里按斜线交叉相

a2C2

乘，再相加，就得到+。2。1，那么田+〃X+C就可以分解成.

这种借助画卜字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

题型突破

题型一：提取公因式和公式法因式分解

1.多项式9・4g，-2y+x+4）2分解因式后有一个因式是x・2y,另一个因式是（）

A.x+2y+lB.x+2y-1C.x-2y+lD.r-2y-I

【答案】C

【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案.

【详解】解：x2-4xy-2y+x+4)N

=(x2-4不，+4)2)+(x-2y)

=(x-2y)2+(.x-2y)

=(x2y)(x2yi1).

故选：C.

【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式(x-2y),将其当成

整体提出，进而得到答案.

2.因式分解

(1)6/力-18。〃+3〃

(2)a'+2a2+a

(3)9(a-b)2-163+6)2

(4)/-1

【答案】⑴3.2。2-6。+1)

⑵

(3)-(a+7Z?)(7.+〃)

(4)(4Z-l)(6f+l)(472+l)

【分析】(1)提公因式即可；

(2)先提公因式，再用完全平方公式分解即可：

(3)用平方差公式分解即可；

(4)用两次平方差公式分解即可.

【详解】(1)原式=342片-6。+1)；

(2)原式=4(42+%+1)=〃(〃+11；

(3)原式=[3(a-/?)-4(〃+划[3(a-l})+4(a+b)]=-(a+7b)(7a+/?)；

(4)原式=(。2-1),2+1)=,_1),+1乂1+])

【点睛】本题考查因式分解，根据不同题目选择合适的方法是解题的关键.

3.阅读下列材料：

已知a2+a-3=0,求a2(a+4)的值.

解：■:a2=3-a,

a2(a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=-a2-a+12=-(3-a)-a+12=9,

a2(a+4)=9.

根据上述材料的做法，完成下列各小题：

(1)若a2-a-10=0,则2(aI4)(a-5)的值为.

(2)Sx2+4x-l=0,求代数式2x，+8x3-4x2-8x+l的值.

【答案】(1)-20；(2)-1

【分析】(1)仿照材料中的解法过程，利用整体代入方法求解即可；

(2)根据因式分解和整式的混合运算化简，再整体代入求解即可.

【详解】解：(1)Va2-a-10=0,

/.a2-a=10,

A2(a+4)(a-5)=2(a2-a-20)=2x(10-20)=-20,

故答案为：-20：

(2)Vx2+4x-1=0,

22

x+4x=11x=1-4x,

.\2x4+8x3-4x2-8x+l

=2x2(x2+4x-2)-8x+l

=2(1-4x)(1-2)-8x+1

=-2+8x-8x+l

=-1.

【点睛】本题考查了因式分解的应用'整式的混合运算、代数式的求值，运用类比和整体代入思想是解答的关键.

4.【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如。小+加：+«〃£())的多项式变形为〃(犬+机)2+〃的形式，我们把这样的

变形方法叫做多项式如2+云+°(。工0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解

或有关运算.

例如：对于/+6〃+8.(1)用配方法分解因式；(2)当。取何值，代数式/+6〃+8有最小值？最小值是多少？

解：(1)原式=/+6〃+8+1-1

=/+6。+9-1

=(«+3/-1

=[(«+3)+!][(«+3)-1]

=(〃+4)(〃+2).

(2)由(I)得：。2+6。+8=(。+3)2-1,

V(«+3)2>0,

.*.(a+3)2-l>-l,

.•.当。=-3时,代数式〃2+3+8有最小值,最小值是-1.

【问题解决】利用配方法解决下列问题：

(I)用配方法因式分解：V+2x-8;

⑵试说明不论用为何值，代数式+4〃?-5恒为负数；

Ib—c

(3)若已知(a+c)(b-a)=：("。尸且。工0,求----的值.

4a

【答案】⑴(X+4)(X-2)

(2)见解析

(3)2

【分析】(1)根据题干信息，利用配方法分解因式即可；

(2)先利用配方法将-m2+4m-5变形为-(巾-2)2-1,根据二次方的非负性，求出-M+4〃L5的值恒为负数;

ly__r

(3)先将(a+c)S-a)=：S+c)'变形为(Za-b+c)?=。，得出%-Z?+c=O,即可求出---=2.

4a

【详解】(1)解：V+2.1-8

=x2+2.V+1-9

=(x+l):-9

=(x+l-3)(x+l-3)

=(x+4)(x-2).

(2)解：-m2+4w-5

--(m2-4m+4)-1

=-(tn-2)2-1,

.(w-2)'NO,

：.-(m-2)2MO,

.1.-(/M-2)2-1<-l<0

••・不论切为何值，代数式->+4〃L5恒为负数.

⑶解：(a+c)(h-a)=\(b+c)2,

/.ab-ur±be-ac=—(Z/2+2bc+c2),

4

4ab-4/+4bc-4ac=b2+2bc+c'>

(4(/-4ab+〃')+2(2a-b)c+c2=0,

/.(2a-A)2+2(2〃-h)c+<?2=0,

(2a-b+c)2=0,

2a-b+c=0,

2ci=b-c,

aw(),

【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式/±2"+从=(〃±4.

题型二：分组分解法

5.把下列各式因式分解

(l)a(a-3)+2(3-a)

(2)(a-b+cy—(6Z—/?-c)2

(3)4(工+»-20(x+y)+25

(4)4a2-h2+6a-3h

【答案】(1)(a-3)(a-2)(2)4a(b+c)(3)(2x十2)，一5『(4)(2a-b)(2a+b+3)

【详解】试题分析：

(1)先把原式化为〃(〃-3)-2(。-3),再用“提公因式法”分解即可；

(2)先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可；

(3)用“完全平方公式”分解即可；

(4)先把原式分组化为(4〃2一〃2)+(6。—3与，两组分别分解后，再奏“公因式”即可.

试题解析：

(1)a(a-3)+2(3-a)

=a(a-3)-2(a-3)

=(a-3)(a-2).

(2)(a+b+c)2—(a-b-c)2

=[(a+b+c)+(a-b-c)][<a+b+c)-(a-b-u)]

=(a+b+c+a-b-c)(a+b+c-a+b+c)

=2a(2b+2c)

=4a(b+c).

(3)4(x+»-20(x+y)+25

=[2(x+y)>2?(x的)+2

=[2(x+y)-5了

=(2x+2y-5)’.

(4)4a2-b2+6a-3b

=(4a2-b2)+(6a-3b)

=(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)

=(2a-b)(2a+b+3).

6.(1)分解因式：a2-a-4b2+2b

(2)分解因式：33+9)」一108加

【答案】(1)(a-2b)(a+2b-t).(2)3«8+3『伍-3『

【分析】(1)根据分组分解法进行因式分解即可；

(2)先提取公因式3。，然后根据平方差公式因式分解，最后根据完全平方公式因式分解即可.

【详解】解：(1)cr-a-4b2+2b

=a~—^b~-a+21)

=(〃-2Z?)(a+2Z?-1)；

(2)3a(Z?2+9)2-108^2

=3々[伊+9)2-366

=3a(工+9+财仅2+9-6Z?)

=3"。+3『(0-3)2.

【点睛】本题考查了因式分解，常见的方法有：提公因式法，公式法，分组分解法等，灵活选择因式分解的方法是

解题的关键.

7.阅读下列材料：

常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的多项式只用上述方法就无法分解，^X2-4/+2X-4>',细心

观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：

x2-4/+2x-4y=（x2-4），）+（2x—4y）分组

=（'一2），）（汇+2），）+2（工一2力组内分解因式

=（.L2必/2尸2）整体思想提公因式

这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

（1）分解因式：9x2-9x+3y-y2；

⑵已知“BC的三边〃、b、c满足/-从一心+次.=0,判断以3c的形状并说明理由.

【答案】（l）（3x-y）（3x+y-3）

（2）「43C为等腰三角形；理由见解析

【分析】（1）先用平方差公式与提公因式法分组分解，然后根据整体思想提公因式即可：

（2）将a?-从-ac+〃c=o通过因式分解化为（。-3（。+〃一。）=0；由三角形的三边关系可知a+6-c>0；所以

a-〃=0,即。=〃，从而得出结论：

【详解】（I）解：9x2-9x+3y-y2

=（9x2->,2）-（9x-3y）

=（3x-y）（3x+j）-3（3x-j）

=（3x-y）（3x+y-3）

（2）解：依据分组分解法，得

（/_b）-（ac-be）=0

（a-b）ia+b）-c^a-b）=O

（a-b）（a+b-c）=O

根据三角形三边关系，易得。+匕-。>0

a-b=0

••a=b

••・A8C为等腰三角形

【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

8.阅读材料：若r—2x），+2y2一8），+16=0,求x,y的值.

解：VA2-2Ay+2/-8y+16=0

(x2-2xy+y2)+(y2-8y+16)=0

/.(x-y)2+(y-4)2=0

(x-y)2=0,(y-4)2=0

)，=4,x=4

根据上述材料，解答下列问题：

(1)nr—2mn+2n2—2/i+1=0»求2m+n的值；

(2)fl-/?=6,ab+c2-4c+13=0,求a+〃+c的值.

【答案】(1)2m+n=3；(2)a+b+c=2.

【分析】(D将方程”-2m+2〃2-2〃+1=0的左边分组配方,再根据偶次方的非负性,可求得「〃的值,最后

代入2〃什〃即可解题；

(2)由=6整理得，。=6+/九代入已知等式中，利用完全平方公式化简，最后由偶次方的非负性解题即可

【详解】解：(1),**m2—2nvi+2rr-2w+l=0

/.(m2-2mn+n2)+(〃？-2〃+1)=0

/.+(〃-1)?=o

(in-ny=0,("-1)2=0

H=1,m=n=\

2"?+〃=2x1+1=3；

(2)*：a-b=6,

/.a=6+b

,**ab+c2-4c+13=0

z.(b+6)b+c2-4c+13=0

A{b1+6Z?+9)+(C2-4C+4)=0

:.(Z?+3)2+(C-2)2=O

•••("3)2=0,(C-2)2=0

Z?=-3,c=2

/.4=6+(—3)=3

ci+b+c=3+(—3)+2=2.

【点睛】本题考查配方法的应用，涉及完全平方公式化简、偶次方的非负性，是重要考点.难度较易，掌握相关知

识是解题关键.

题型三：十字相乘法

9.阅读与思考：

整式乘法与因式分解是方向相反的变形.

由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+p%得x2+(p++/^=(x+p)(.r+<7)：

利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解.

例如：将式子/+3工+2因式分解.

分析：这个式子的常数项2=1x2,一次项系数3=1+2,所以/+3^+2=/+(1+2)x+1x2

解：/+3x+2=a+l)(x+2).

请仿照上面的方法，解答下列问题：

(1)因式分解：x24-7x—18=；

(2)填空：若d+px—8可分解为两个一次因式的积，则整数〃的所有可能值是

(3)利用因式解法解方程：/-64+8=0；

【答案】(l)(x-2)(升9)

(2)±2,±7

(3)耳=2,X2=4

【分析】(1)仿照例题的方法，这个式子的常数项T8=-9x2,一次项系数7=-2+9,然后进行分解即可；

(2)仿照例题的方法，这个式子的常数项-8=Yx2,-8=-2x4,—8=-lx8,-8=-8xl,然后进行计算求出〃的所

有可能值即可；

(3)仿照例题的方法，这个式子的常数项8=(-2)x(Y),一次项系数-6=-2+(Y),然后进行分解计算即可.

【详解】(1)解：X2+7X-18

=x2+(-2+9)x+(-2)x9

=(x-2)(x+9)

故答案为：(42)(x+9).

(2)解：：—8=-4x2,—8=-2x4,—8=—1x8,—8=—8x1,

，4+2=—2,〃=—2+4=2,p——1+8~7〃=—8+l=-7,

，若/+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数〃的所有可能值是：±2,±7.

故答案为：+2,+7.

(3)解：X2-6A+8=0,

(42)(x-4)=0,

(厂2)=0或(x-4)=0,

，％=2,%2=4.

【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，理解并掌握/+(p+q)x+pg=Cr+p)G+g)是解题的关键.

10.因为Y+2i-3=a+3XMl),这说明多项式W+2x-3有一个因式为x-l,我们把x=l代入此多项式发现x=l

能使多项式f+2x-3的值为0.

利用上述阅读材料求解：

⑴若。+3)是多项式Y+履+12的一个因式，求攵的值；

⑵若(/-3)和(-4)是多项式/+加+⑵+〃的两个因式，试求〃J〃的值.

⑶在(2)的条件下，把多项式父+,渥+12A+〃因式分解.

【答案】(1)%=7

(2)m=-7,〃=0

(3)x(x-3)(x-4)

【分析】(1)将x=-3代入多项式并使多项式等于0,求攵；

(2)将x=3和x=4分别代入多项式并使多项式等于0,解二元一次方程组，求阳，〃；

(3)将(2)中解得的加，〃的值代人多项式，然后进行因式分解即可.

【详解】(1)解：.x+3是多项式/+收+12的一个因式，

..・当X=-3时，履+12=9—3女+12=0,解得2=7；

(2)(工一3)和。一4)是多项式F+nvc+\2x+n的两个因式，

33+/??x32+12x3+72=0=一7

•,•</3.2s”八，解得〈n-

4+〃?x4~+12x4+〃=0[〃=0

m=-7,〃=0.

(3)解：由(2)得N+加+12x+〃即为d-7%2+12x，

?-7X2+12X

=x(x2-7x+12)

=A(X-3)(A-4).

【点睛】本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键.

1L因式分解:

(1)2(X2+6A-+1)24-5(X24-I)(X2+6X+1)+2(X2+1)2

23323

(2)x(y-z)+/(z-x)+z(x-y)

【答案】⑴9(W+4X+1)“+1『

(2)(x-y)(y-z)(z-x)(xy+jz+zr)

【分析】(1)先将f+6x+l和『+1分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，

最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；

(2)原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0,故原式含有因子工一九

又因为原式是关于羽-z的轮换对称式，故原式还含因子一二，二f，又因为原式为.r,y,z的五次式，因此可以设

x2(y-z)5+y2(z-x)3+z2(x-y)'=(A-y)(y-z)(z-x)A(x2+y2+z2)+B(xy+>^+zx)J,利用待定系数法即可求

解.

【详解】(1)解：2(x2+6x+l)"+5(A2+l)(x2+6X+1)4-2(X2+1)~

=(2.r4-12A+2+X2+1)(X2+6^+1+2/+2)

=9(x2+4x+l)(x2+2A+1)

-9(x24-4x+l)(x+1)2

(2)解：当x=y时，原式等于o,故原式含有因子x-y,

又因为原式是关于X,>，z的轮换对称式，故原式还含因子)T,

又因为原式为X,y,Z的五次式，故可设

x2(y-z)'+y2(z-x)3+z2(x-y)A=(A-y)(y-2)(2-x)[A(x2+y2+z2)+B(xy+>>z+z¥)J

令％=-1,y=0,z=l得2A-8=—l,

令x=0,y=l,z=2得5A+28=2,

解得A=0,B=1,

所以丁(丁一2)3+丁2(2—4)'+22(1—),)=(1一丁)(y-2)(2一司(*丁+尸+女).

【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是

解题的关键.

12.阅读材料•：解方程9+2i・35=0我们可以按下面的方法解答：

(1)分解因式/+2x-35,

①竖分二次项与常数项：f=、*，-35=C-5)x(+7).

x-5

②交叉相乘，验中项：X=7x-5x=Zr.

x+7

③横向写出两因式：x^+2x-35=(x+7)(x-5).

(2)根据乘法原理：若"=0,则“=()或Q0,则方程N+法-35=0可以这样求解了+ir-35=0方程左边因式

分解得(x+7)(x-5)=0所以原方程的解为x/=5,X2=-7

(3)试用上述方法和原理解下列方程：

①/+5.什4=0；

②/-6x-7=0；

③/3+8=0：

@2A-2+J-6=0.

3

【答案】①玉=一1,七=T；②玉=7,工2=-1：③%=2,占=4：®=—,x2=-2.

【分析】①②③④均是根据题目中的方法，先进行因式分解，然后根据乘法原理即可求解各一元二次方程.

【详解】解：①f+5x+4=(),

(x+l)(x+4)=0,

解得：K=-l,A-2=-4；

@X2-6X-7=0,

(x-7)|x+l)=0,

解得：芭=7,x2=-l；

③f—6x+8=0,

(x-2)(x-4)=0,

解得：再=2,X2=4；

④2f+x-6=0,

(2x-3|(x+2)=0,

解得：x,=|,X2=-2.

【点睛】题目主要考查解一元二次方程的十字相乘法，理解题目中的解法并学会运用是解题关键.

题型四：因式分解的综合

13.已知x=2+/y=2-6,求下列代数式的值：

(1)r-xy'+y2;

(2)A2-y

【答案】(1)13；(2)8G

【分析】(1)利用完全平方公式进行化简后代入求值即可解答；

(2)利用平方差公式进行化简后代入求值即可解答；

【详解】(1)x2-xy+y2-2xy+y2=(x-y)2+xy=(2-V3)2+(4-3)=13；

(2)A2-/=(x+y)(x-y)=4x2>/3=8>/3；

【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握并准确计算是解题的关键.

14.把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式.再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.

如：①用配方法分解因式：〃2+64+8,

解：原式="+&/+8+1-1=/+8+9-1=(。+2)(a+4)

②M=々2一2"+助2一28+2,利用配方法求M的最小值,

解：a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+l+l=(a-b)2+(b-l)2+1

(Z?-l)2>0

.••当。=人=1时，M有最小值1.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2-jx+.

(2)用配方法因式分解：4孙+3>2.

(3)若M=W+8x-4,求”的最小值.

(4)已知丁+2炉+22—2町」2)，-42+5=0,则x+y+z的值为.

【答案】(吗

⑵(x-y)(x-3y)

(3)-20

(4)4

【分析】(1)根据题意，由完全平方公式(。+〃尸=/+2时+",可以知道横线上是"，

(2)按照题干上的示例可以将1-4.9+3/分为(x2_4个，*4)，2)-)7,再利用完全平方公式即可求解，

(3)根据题意的方法，先将M因式分解为完全平方的形式即(x+4)、20,即可求出最小值，

(4)根据题意先将/+2/+22-2-，-2)，-42+5=0囚式分解，变成完全平方的形式即

U->')2+(y-D2+(z-2)2=0,然后得出x,V,z的值，代入x+y+z即可求出结果.

/、2

【详解】(1)解：x2--x+-=|X--I,

3913)

故答案为："；

(2)解：x2-4xy+3y2

=x2-4xy+4y2-y2

=(x-2y)2-y2

=(x-2y+y)(x-2y-y)

=(x-y)(x-3y);

(3)解：知=—+8工一4

=.r+8l+16-16-4

=(X+4)2-20,

V(X+4)2>0,

・•・当x=T时，M有最小值为-20；

(4)解：x2+2/+z2-2xy-2>'-4z+5=0,

x2-2xy+y2+y2-2y+\+z2-4z+4=0,

(x-y)2+(y-l)2+(z-2)2=O,

V(x-y)2>0,(y-l)2>0,(Z-2)2>0,

x-y=0

/.y-l=o,

z-2=0

**•x=1»y=1,z=2»

/.x+>'+z=l+l+2=4,

故答案为:4.

【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关

运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以

利用配方法求最小值，同时对于(4)中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这

一知识在数学中经常运用，要熟练掌握.

15.嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除“，她后来做了如下分析：

嘉淇的分析：

258=2x100+5x10+8=2x(99+1)+5x(9+1)+8

=2x99+2+5x9+5+8=(2x99+5x9)+(2+5+8)

=3(2x33+5x3)+3x5

•••2x33+5x3为整数，5为整数,

・•・3(2x33+5x3)能被3整除，3x5能被3整除，.二258能被3整除.

⑴通过计算验证258能否被3整除；

⑵用嘉淇的方法证明4374能被3整除：

(3)设砺是一个四位数.b,c,d分别为对应数位上的数字，请论证“若a+/，+c+d能被3整除，则这个数

可以被3整除”.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)根据整数的除法计算即可；

(2)仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论；

(3)仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论.

【详解】⑴解：258+3=86

工258能被3整除；

(2)4374-4xl(XX)+3xl(X)+7xl0-t-4

=4x(999+l)+3x(99+1)+7x(9+l)+4

=4x999+4+3x99+3+7x9+7+4

=(4x999+3x99+7x9)+(4+3+7+4)

=3x(4x333+3x33+7x3)+3x6

•「4x333+3x33+7x3为整数，6为整数，

・•・3x(4x333+3x33+7x3)能被3整除，3x6能被3整除，

，4374能被3整除.

（3）证明：=1000«+100/?+lOc+f/

=（999+l）a+（99+lW+（9+l）c+d

二（999〃+99/?+9c）+（a+Z?+c+d）

二3（333〃+3%+3c）+（a+〃+c+d）,

13（333。+33/7+3c）能被3整除，

・,•若“a+b+c+d”能被3整除,则砺能被3整除;

【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键.

16.材料一：若一个四位数的千位数字与十位数字之和为10,百位数字与个位数字之和为10,则称这个四位数为“十

全数交换这个“十全数”的千位数字与十位数字的位置，百位数字与个位数字的位置，得到新的四位数叫做这个“十

全数”的“对应数”.

例如：1298是“十全数”，其“对应数”为9812；5752是“十全数”,其“对应数”为5257.

材料二：若一个数能表示成某个整数H勺平方的形式，则称这个数为完全平方数.

例如：0=（）2,则。是完全平方数；121=1/，则121是完全平方数.

（1）证明：一个“十全数''与其"对应数''之差能被11整除；

（2）记”为“十全数”，〃为机的“对应数“，且若。（利〃）=会;+19,求满足5，几〃）是完全平方数的所有“十

□94

全数

【答案】（1）见解析

（2）7337

【分析】（1）用小力表示“十全数''和"对应数”，再求差并分解因式证明；

（2）列式表示。（孙〃），再利用代入验证法求解.

【详解】（1）解；设“十全数的千位数字为。，百位数字为'

则十位数字为（10-。），个位数字为（1。-与，

则这个“十全数”为：1000“+100。+10（10-〃）+10-〃=990“+99〃+110,

它的“对应数”为，1000（1。-♦）+100（1。-〃）+10"+〃=11000-990。-99〃，

（998+998+110）-（11000-990a-99〃）=1980a+19勖-10890=ll（180a+l汕-990）,

所以一个“十全数,，与其“对应数,，之差能被u整除；

（2）解：设“十全数”〃?的千位数字为小百位数字为"

则十位数字为（1。-〃），个位数字为（1。-“，

zw=1000a+100/?+10(10-6/)+10-Z?=990«4-99/?+110,

〃=1000(10-4)+100(10-6)+10a+〃=UC00-990a-99〃,

:.w-n=198(k/+198/?-10890,

由题意得：或〃=5且6,

・•・。(/几〃)=竺±+19

17594

1980«+198/?-10890

=-------------------+1i9n

594

1O«+P-55

----------+19

=")"；丑为完全平方数,

所以当。=7时b=3,m=7337.

【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握代入验证法是解题的关键.

【专题突破】

一、单选题

17.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x2-x-l=x(x-I)-lB.x2-l=(x-l)2

C.x2-x-6=(x-3)(x+2)D.x(x-l)=x2-x

【答案】C

【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可.

【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解.

A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；

B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；

C、符合因式分解的形式，符合题意；

D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义.

18.下列分解因式正确的是()

A.-x2+4x=-x(x+4)B.f+盯+工=工(1+),)

C.x(-'-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4.r+4=(x+2；(x-2)

【答案】c

【详解】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案.注意分解要彻底.

【详解】A.-X2+4X=-X(X-4),故A选项错误；

B.炉+冷，+/=/(%+y+]),故B选项错误：

C..«-)，)+y(y-x)=(x-»,故C选项正确；

D.x2-4A+4=(x-2)2,故口选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式.注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解.注意分

解要彻底.

19.已知a=2OI8x+2O18,b=2OI8x+2OI9,c=2OI8x+2O2O,则a2+b2+c2—ab-ac-bc的值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】把已知的式子化成(a-b)2+(a-c)2+(b-c)5的形式，然后代入求解即可.

【详解】原式二;(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)

=；[(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)]

=；[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]

二x(1+4+1)

二3,

故选D.

【点睛】本题考查J'因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键.

20.已知〃、氏c是自然数，且满足2'x3/'x4，=192,则a+b+c的取值不可能是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】将原式变形为2("+狗乂3〃=192,因式中含有3,所以得到192+3=64=26,而分不能被3整除,所以得到

2(fl+2c)x36=26x3,解得b=l,a+2c=6,进而得到。+〃+c=7-c,根据三个数均为自然数,解得OKcK3,此时分

类讨论a和c的值即可求解.

【详解】原式二2S2，)X3'=I92

•・•式中有乘数3的倍数

工192+3=64=26

V2“不能被3整除

・•・原式中只能有1个3

工原式化为2("2)x3〃=26x3

a+2c=6

••

b=l

a+b+c=l—c

Ta、b、。是自然数

«=6-2c>0

A7-c>0

c>0

解得04cW3

当c=0时，a=6,得a+〃+c=7；

当c=l时，a=4,得a+/?+c=6；

当c=2时，4=2,得a+Z?+c=5；

当c=3时，a=0,得a+/?+c=4；

故选D.

【点睛】本题考查了乘方的应用，同底数辕乘法的应用，因式分解.，重点是掌握相关运算法则.

21.已知a=2012x+2011,b=2012x+2012,c=2012x+2013,那么a2+b2+c2—ab-bc-ca的值等于()

A.0R.1C.2D.3

【答案】D

(分析】首先把/_ab-be-ac两两结合为a2-ab+b2-bc+c2-ac,利用提取公因式法因式分解，再把a>b、

c代入求值即可.

【详解】42+〃+/-ab・be-ac

=a2-ab+b2-bc+c2-ac

~a(a・b)+b+c(c-a)

当a=2012x+2011,b=2012x+2012,c=2012x+2013时，a-b=-1,b~c=—1,c~a=2,原式=(20I2x+2011)x(-

1)+(2012Y+2012)x(-1)+(2012x+2013)x2

=-2012r-2011-2012v-2012+2012xx2+2013x2

=3.

故选D.

【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用囚式分解，巧妙解答题目.

22.图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主=V+3x,S左=/+x,则%=()

主视图左视图

俯视图

图1图2

A.x24-3x+2B.x2+2x+1C.x2+4.r+3D.2x2+4x

【答案】C

【分析】由主视图和左视图的宽为c,结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案.

【详解】解：:S主+3x=x(r+3),S左+x=M%+l)，

工俯视图的长为(x+3),宽为(x+1),

2

50(}=(X+3)(X+1)=X4-4X+3.

故选：C

【点睛】本题主要考查由三视图判断口何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几

何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高.

23.已知RtqABC中，ZC=90°,若3c=a,AC=b,AB=c,Ra2-ab-21r=0,则a:》:c=()

A.1:2:75B.2:1:6C.l：2：x/3D.2:1:75

【答案】R

【分析】根据a2-ab-2b2=0,即可判断出a和b的关系，然后再根据勾股定理判断出c和b的关系，求出a：b：

c化简即可.

【详解】Va2-ab-2b2=0,

:.(a-2b)(a+b)=0,

，a=2b,或2=一(不符合题意)，

•••RsABC中，ZC-9O°,

:.c2=a2+b2=4b2+b2=5b2,

••c—y5b»

/.a：b：c=2b：b：百b=2：1：石.

故选：B.

【点睛】本题考查的是因式分解"十字相乘''以及勾股定理的应用，掌握因式分解的方法和勾股定理是解此题的关键.

二、填空题

24.分解因式：x)，2-x=

【答案】M)'+i)()'T)

【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案.

【详解】

=x(V2-l)

=Mv+i)(yT)

故答案为：x(y+i)(y—i).

【点睛】本题考查了因式分解的知识：解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解.

13

25.若K+-=—且0<xvl,则工2—-=_____.

x6.V

【答案】V

3o

I171751

【分析】根据工+'=：，利用完全平方公式可得0-上)2=舒，根据X的取值范围可得/-上的值,利用平方差公

xox3ox

式即可得答案.

【详解】Vx+-I=^13,

x6

A(x--)2=(x+-)2-4x-=||,

xxx3o

V0<x<l,

X<-,

•11-5

x6

.1,1、，113/5、65

2(一/一花

xxx6

故答案为：-黑

3。

【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键.

a-3a2-42

26.化简:-5---------------+-----

a'+4a+4a-3a+2

【答案】3

【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可.

［详解］上<,之

a+4a+4a-3a+2

a—3(£1+2)(a—2)2

(a+2)2a-3a+2

a-22a

-.......H----------------

a+2a+2a+2

故答案为一j

a+2

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键.

27.多项式々2一2ab+2/一命+27的最小值为.

【答案】18.

【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值.

【详解】解：a2-2ab+2b2-6/7+27,

=(«2-2«/?+/r)+(/?2-6/?+9)+l8,

二(〃一力-+(〃-3)2+18,

V(a-b)2>0,(b-3)2>(),

.・.(4一m2+(6一3尸+18的最小值为⑶

故答案为：18.

【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确

定最值.

28.如用，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN,已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四

个矩形的面积都是5.4E=a,DE=〃，且

(1)若小〃是整数，则。。的长是；

(2)若代数式/-26山-从的值为零，则Rs的值是___________.

J矩形PQMN

【答案】a-b3+2近

【分析】(1)根据图象表示出PQ即可；

(2)根据/一2他-〃=0分解因式可得(。-〃+伍)(，-力-同)=0,继而求得〃=匕+四，根据这四个矩形的面

积都是5,可得==再进行变形化简即可求解..

ah

【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，AF=n.DE=hf

PQ=a—b,

故答案为：a—b：

（2）va2-2ah-b2=G,

a2-Zab+b2-lb2=（a-b）2-2b2=（a-b+五b）（a-b-=0,

:."b+6b=a或a-b-6b=0,即“=〃一&〃（负舍）或〃=力+岳

•••这四个矩形的面积都是5,

.\EP=-,EN=-,

ab

c（«+/?）/—+—（.+.）.5（-+一）,、2

.S-边比AB。）_〃J_________ab_（♦+"）

S矩形刖（〃叫g叫.5（。”（。叫?

_a2+b?+2ab_，2+〃+。2-//_cC_

a1+b2-laba2Ab--a2b2'

=（八岛）、3+2夜.

b~

【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据.

29.阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知%-〃=2,求代数式6。-处-1的值.”可以这样解：

8-力-1=2（%-力）-l=2x2-l=3.根据阅读材料，解决问题：若尸2是关于x的一元一次方程m一+〃=3的解，

贝IJ代数式4〃+4。力+力2+4a+28一1的道是________.

【答案】14

【分析】先根据x=2是关于x的一元一次方程以+6=3的解，得到%+b=3,再把所求的代数式变形为

（2a+bf+2（2a+b）-lt把2a+b=3整体代入即可求值.

【详解】解：・・。=2是关于K的一元一次方程以+b=3的解，

/.2a+b=3,

4a2+4ab+b24a+2b—\

=（2fl+Z＞）2+2（2tz+/?）-l

=32+2X3-1

=14.

故答案为：14.

【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解

题的关犍.

三、解答题

30.在实数范围内分解因式：

(1)X2-8：

⑵f-5x;

(3)X2+3X-28;

(4)x2-lLt+30.

【答案】⑴(x-2夜)(x+2夜)

⑵x(x+6)(x-石)

(3)(A+7)(A-4)

(4)(x-5)(x-6)

【分析】(1)平方差公式因式分解；

(2)先提公因式，再运用平方差公式分解；

(3)运用十字相乘法分解；

(4)运用十字相乘法分解.

【详解】(1)x2-8=x2-(2V2)2=(X-F2>/2)(X-2V2)；

(2)x3-5x=x(x2-5)=x(x+\/5)(x-y/5)

(3)A2+3X-28=(X+7)(X-4)

(4)^2-11X+30=(X-5)(X-6).

【点睛】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解，观察多项式特征，选择合适的方法是解题关键.

31.把下列各式因式分解：

(l)(x2+I)-一4x(/+1)+4/；

⑵/一6划一165J；

(3)(x-y)2-2(y-x)-80；

(4)4x2-4xy+y2-z2.

【答案】(1)。一1)4

⑵(x-8y)(x+2y)

(3)(x-y+10Xx-y-8)

(4)(2x-y-z)(2x-y+z)

【分析】(1)将丁+1看出整体，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要彻底；

(2)利用十字相乘法分解因式即可；

(3)将工一)‘看成整体，利用十字相乘法分解因式即可；

(4)利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可.

【详解】⑴解:(炉+苗-4x(/+1)+4/

=(x2+l-2x):

(2)解：A2-6xy-16y*

=(x-8jXx+2y)；

(3)解：80

=(x-y]~+2(x-y)-80

=(x-y+IO)(x-y-8)；

(4)解：4x2-4xy+y2-z2

=(2.r-y)2-z2

=(2x-y-z)(2x-y+z).

【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用.

32.分解因式：2(x?+6x+l)~+5(f+6x+l)(d+1)+2(*2+1)2.

【答案】9(X2+4X+1)(X+1)2

【分析】先把(f+G+l)和(丁+1)看做一个整体利用十字相乘法分解因式，然后利用提取公因数和完全平方公式分

解因式即可.

【详解】解：原式=[2廿+6%+1)+(炉+川](1+6工+1)+2廿+叨

=(3x2+12A+3)(3X2+6X+3)

=9(X2+4X+I)(X2+2X+1)

=9(X2+4X+1)(X+1)2.

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键.

33.把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题

方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用.

例1.用配方法因式分解：a2+6r/+8.

原式=/+6〃+9-l=(a+3『-【=(4+3-1)(4+3+1)=(4+2)(〃+4).

例2.若〃=/一2,而+2/一2〃+2,利用配方法求M的最小值；

a1-2ab-^2b2-lb^2=a2--lab+b1+b2-2b+\+\=(a-b^+{b-\^\x

•/(67-^)2>0,(/>-l)2>0,

・••当a=》=l时，M有最小值1.

请根据上述自主学习材料解决下列问题：

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：/+10〃+；

(2)用配方法因式分解：/-12a+35;

⑶若加=/-3〃+1,求M的最小值是多少；

(4)已知a2+2^+c2-2aO