16.1 二次根式 - 人教版数学八年级下册教学课件

第十六章二次根式第1课时

二次根式的概念人教版数学八年级下册思考

用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1)如图①的海报为正方形，若面积为3m2，则边长为_____m；若面积为

Sm2，则边长为_____m．

图①知识点1：二次根式的概念及有意义的条件探究新知正方形的面积3=边长(x)×边长(x)(x＞0)解析：

x2=3同理：正方形的面积

S

边长

(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为

130m2，则它的宽为_____m．图②解析：长方形的面积130=长(2x)×宽(x)(x＞0)2x2=130x2=65(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度

h(单位：m)满足关系

h=5t2，如果用含有

h的式子表示t，那么

t为

．开始落下的高度

h=5t2(t＞0)解析：

h=5t2被开方数(式)大于0不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根.问题1

这些式子还有什么共同特征？含有“”，根指数是2问题2

是否存在

，为什么呢？3

S

65

0

a

a

a

a

a

那对于形如

的式子我们怎么去定义它呢？注意：a可以是数，也可以是式.通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？

一般地，我们把形如

(a≥0)的式子叫做二次根式.

“”称为二次根号.两个必备特征①外在特征：含有“”②内在特征：被开方数(式)

a≥0二次根式的定义例1

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：√√√××典例精析有意义例2

当

x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义?答案：当

x≥2时，

在实数范围内有意义.【变式题1】当

x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)答案：x≤5.总结(1)单个二次根式如有意义的条件：A≥0；答案：2≤x≤3.

多个二次根式相加如

有意义的条件：总结答案：x＞1.二次根式要求：x-

1＞0二次根式作为分式的分母如

有意义的条件：

A＞0.分式要求：总结x-

1≥0分式要求：x-1≠0二次根式要求：x+3≥0二次根式与分式的和如

有意义的条件：

A≥0且

B≠0.总结

x≥-3且

x≠1知识点2：二次根式的双重非负性

那么当

a≥0时，

的大小是怎样的呢？有意义a≥0回顾之前思考的过程.分别表示

3，S，65，

，0

的

根．算术平方

探究形如(一般)意义大小总结(a＞0)(a=0)表示

a的算术平方根表示0的算术平方根

＞0

＝0当

a≥0时，

≥0实例(特殊)二次根式的被开方数或式非负(a≥0)二次根式的值非负

(

≥0)二次根式

的双重非负性

二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式归纳总结答：前者

x为全体实数；后者

x≥0.问题

当

x是怎样的实数时，

在实数范围内有意义？

呢？答案：a-

b+c＝3.分析：a-

2＝0，b-

3＝0，c-

4＝0a，b，c的值总结

多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例3

若，求

a-

b+c的值.定义在有意义条件下求字母的取值范围二次根式的双重非负性二次根式抓住被开方数必须为_________，从而建立不等式求出其解集我们把形如___________的式子叫做二次根式课堂小结非负数二次根式

中，____________a≥0且≥0第十六章二次根式16.1二次根式第2课时

二次根式的性质人教版数学八年级下册根据活动直接写出结果420探究新知思考能用字母表示你所发现的规律吗？并说明理由.算术平方根的含义：代表平方等于

a的非负数()2=

a(a≥0)知识点1：（a≥0）的性质归纳总结注意：不要忽略

a≥0这一限制条件.这是使二次根式

有意义的前提条件.a可以是数，也可以是式.一般地，＝a(a≥0).典例精析例1

计算：

解析：1.5积的乘方：(ab)2=a2b220＝a(a≥0)2.等式

成立的条件是

.

1.计算：分析：

x

-2≥0

x≥2练一练分数的乘方：答案：(1)5.

＝a(a≥0)

(2)18.(3)12.

(4)...平方运算算术平方根20.1

0...a(a≥0)

...观察两者有什么关系？

填一填：

a2

4

0.010

20.10知识点2：的性质归纳总结即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.一般地，根据算数平方根的意义，

＝a(a≥0).例2化简：解析：453.计算：

8-1.2练一练π-3.14

3-1

3-13.14-π＜0幂的乘方的逆运算：amn=(am)n

？猜想：证明：思考：当

a＜0时，

=当

a＜0时，

=-a∵

a＜0，∴

-a＞0，则5回顾

例1(2)的讲解过程，同学们猜测下结果.归纳总结即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.a(a≥0)-a(a＜0)例3

实数

a、b

在数轴上的对应点如图所示，请你化简：ab分析：

|

a

|

-

|

b

|+|

a-

b

|-2a

原式

=

-a

-

b

-

(a-

b)上式

a＜0，b＞0，a

-

b＜0××√√辩一辩

利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据

a，b的大小讨论绝对值内式子的符号.总结()

()

请同学们快速分辨下列各题的对错．()

()

从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方，后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数

a的算术平方根的平方表示一个实数

a的平方的算术平方根议一议：如何区别

与

？知识点3：代数式的定义用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把

或

连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.数表示数的字母如我们学过的：5，a，a2

-

b2，ab，

(a≥0)等.

初中阶段，我们已经学习了哪些种类的代数式？

(可类似数系的分类)有理数无理数实数整数分数？？代数式整式分式有理式无理式用字母表示数单项式多项式含字母的二次根式例4

一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是vkm/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；答：

船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h，

逆水行驶的速度是(v

-2.5)km/h．分析：船顺水速度=船静水速度+水流速度，

船逆水速度=船静水速度

-

水流