四川省巴中市2024-2025学年高三上学期期末数学试题【含答案解析】

绝密★启用前高三数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，根据交集和补集的概念求出答案.【详解】因，，所以．故选：B2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用复数的乘除法运算即可.【详解】因为，所以．故选：D.3.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据奇函数判断排除B，C，在内选择特殊值得排除D.【详解】函数是定义域为函数，奇函数，所以排除B，C，又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数，如0.1，得，所以排除D．故选：A.4.在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根据台体的结构特征以及台体的体积公式运算求解.【详解】连接相交于点，相交于点，连接，则为正四棱台的高，作，垂足为，则，，四边形是等腰梯形，，所以，，，由，得，可得．故选：C.5.设函数在区间上单调递减，则的最大值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】利用复合函数和对数函数的性质转化为二次函数单调性的问题，建立不等式组求解取值范围，再求最值即可.【详解】令，，则可视为由和构成的复合函数，由对数函数性质得在区间上单调递增，因为在区间上单调递减，所以由复合函数性质得在区间上单调递减，由二次函数性质得的对称轴为直线，显然开口向上，故，解得，则的最大值为4，故C正确.故选：C6.为了加强家校联系，某班举行一次座谈会，会上邀请了6位学生及他们的父母总共18人参加，并从中选出6位代表发言，如果这6人由其中一个家庭的3人与其他三个家庭中的各1人组成，那么不同的选人方案有（）A.720种 B.1240种 C.1440种 D.1620种【答案】D【解析】【分析】先选出一个家庭，该家庭的所有成员都被选中，再从剩余家庭中选出3个，每个家庭再选一人即可，按照分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】根据题意可知从6个家庭中任意选出一个，这个家庭的3人都被选中，共有种选择；再从剩余5个家庭里面选出3个家庭，共有种选择；最后从3组家庭中各选一人，即有种；因此不同的选人方案共有种.故选：D7.已知双曲线：（，）的右焦点为，其中一条渐近线上存在一点，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的性质，利用垂直平分线的性质得出，联立两条直线方程求出点的坐标，利用勾股定理建立等式计算出即可求解．【详解】不妨设渐近线垂直平分线段，所以．由解得所以点的坐标为．由，得，所以双曲线的离心率，故选：A．8.若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围.【详解】由可得：；即是上的“完整函数”，所以存在，使得成立；即存在，使得成立；又因为，因此，‘即在上至少存在两个最大值点，所以，解得；当，即时，一定满足题意；若，因为，，所以，又易知；所以只需保证即可，解得综上可知的取值范围为.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“完整函数”定义，将问题转化为在上至少存在两个最大值点，再通过比较区间长度和周期之间的关系即可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按，，…，分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.该工业园区内年收入落在区间内的小型民营企业的频率为0.55B.样本中年收入不低于500万元的小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少C.规定年收入在400万元以内（不含400万元）的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小型民营企业能享受到减免税政策D.估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数【答案】BD【解析】【分析】利用频率分布直方图的性质一一判定选项可得答案.【详解】对于A，因为，所以，则年收入落在区间内的小型民营企业的频率为，故A错误；对于B，样本中年收入低于500万元的小型民营企业的频率为，故B正确；对于C，因为年收入在400万元以内的小型民营企业的频率为0.3，所以该工业园区有30%的小型民营企业能享受到减免税政策，C错误．对于D，因为，所以中位数应该在内，设为，则，解得，所以中位数约为480，平均数约为，中位数等于平均数，D正确．故选：BD.10.已知函数，且是的一个极值点，下列说法正确的是（）A.实数的值为1或B.在上单调递增C.若是的一个极小值点，则当时，D.若是的一个极大值点，则当时，【答案】ACD【解析】【分析】由是的一个极值点，得，求出实数的值并分析其单调性，并根据单调性判断即可；【详解】函数的定义域为，．令，得，，①当时，，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，此时是的一个极大值点．②当时，解得，则，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，此时是的一个极小值点．故A正确，B错误；若是的一个极小值点，则，在上单调递增，因为，则，所以，故C正确；若是的一个极大值点，则，在上单调递增，因为，所以，，且等价于，即当时，，所以，故D正确．故选：ACD.11.如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，，它们的中心分别为，，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的各棱长都为2，则下列命题正确的是（）A.异面直线与所成的角为B.平面C.该多面体外接球的表面积为D.直线与下底面所成角的正弦值为【答案】BCD【解析】【分析】根据几何特征应用线面垂直判定定理判断B，求出外接球的表面积判断C，计算异面直线所成角，线面角判断A，D.【详解】对于A，设，在下底面的射影分别为，，则平分，为等边三角形，所以异面直线与所成的角为，故A错误．对于B，易知垂直于底面，所以，又平分，所以，因为平面，所以平面，从而平面，故B正确．对于C，设的中点为，在下底面上的射影为，上、下两底面间的距离为，外接球的半径为，则，，所以，，从而所求外接球的表面积为，故C正确．对于D，设直线与下底面所成的角为，由上面可知，所以，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，满足，则_______．【答案】2【解析】【分析】通过平方得到，进而可求解；【详解】由，平方可得：，即，所以，所以，故答案为：2.13.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，与准线交于点，，则直线的斜率为______，______．【答案】①.②.4【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算求出，利用点在抛物线上求解坐标，进而求出点的不同坐标，分类讨论结合两点间距离公式求解即可.【详解】设直线的方程为，由题意得的准线为，令，解得，则点的坐标为，，设，故，，因为，所以，，解得，故，因为点在抛物线上，所以，解得．故或，当时，由两点间距离公式得，当时，由两点间距离公式得，综上可得，.故答案为：；414.设的内角的对边分别为，若，则_______．【答案】【解析】【分析】根据题意并利用正弦定理可得，再根据三角形内角和以及三角恒等变换计算即可求得结果.【详解】由可得，由正弦定理可得，即；又在中，,所以，即；所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间，利用函数的极值与导数的关系，结合题意可求得实数的值.【小问1详解】因为，所以，，所以，又，所以所求切线的方程为，即．【小问2详解】的定义域为，，当时，或．由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值．由，解得．16.一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：倾向于购买燃油车倾向于购买新能源车合计女性居民150250400男性居民350250600合计5005001000（1）依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异；（2）从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率；（3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异；（2）（3）分布列见解析，期望值【解析】【分析】（1）根据表中数据代入公式计算即可判断得出结论；（2）由分层抽样确定不同性别的人数，再利用条件概率公式计算可得结果；（3）根据分层抽样确定倾向于购买新能源车与燃油车的人数，得出的所有可能取值并计算对应的概率可得分布列并求得期望值.【小问1详解】零假设为：对新能源车与燃油车的购买倾向不存在性别差异；易知，所以依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立，即认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异，此推断犯错误的概率不大于；【小问2详解】根据表中数据可知按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人中3人为女性，7人为男性；再从中抽取4人进行座谈，共有种，其中有女性居民参加座谈的情况共有种；恰有2名男性居民参加座谈的情况共有种；因此在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率为；【小问3详解】从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，可知抽取结果如下表：倾向于购买燃油车倾向于购买新能源车男性居民75再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，的所有可能取值为；所以，；，，的分布列如下：0123数学期望.17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，点在线段上．（1）证明：平面．（2）若平面，，，，平面与平面夹角的余弦值为，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用平行四边形性质结合中位线定理得到线线平行，再利用线面平行的判定定理证明即可，法二建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明求解即可.（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法结合给定面面角的余弦值建立方程，求解参数，得到比值即可.【小问1详解】法一：如图，连接，设，连接．因为四边形是平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以由中位线定理得，因为平面，平面，所以平面．法二：因为，，，所以，则．又平面，所以，，两两垂直．以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．由，，，可知，，，，，，则，，．设是平面的法向量，则得取，可得．因为，所以，则平面．【小问2详解】因为，，，所以，则．又平面，所以，，两两垂直．以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．由，，，可知，，，．设（），则，．设是平面的法向量，由得取，可得．取平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则，解得，所以．18.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，圆与椭圆相交于，两点，，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的动直线与椭圆有两个交点，，以线段为直径作圆，点始终在圆内（包括圆周），求的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】方法一：（1）利用余弦定理得出，再由的面积求出、可得答案；（2）设点，，当直线的斜率不存在时，的方程为可得答案；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据点在圆内（包括圆周）得，韦达定理代入，再利用恒成立可得答案；方法二：（1）利用是正三角形，、的面积求出、可得答案；（2）当直线的斜率为0时，根据圆以椭圆的长轴为直径可得答案；当直线的斜率不存在，或斜率不为0时，设的方程为，与椭圆方程联立，根据点在圆内（包括圆周）得，韦达定理代入，再利用恒成立可得答案；【小问1详解】方法一：因为，所以，则，解得．因为的面积为，所以，，，所以椭圆的标准方程为；方法二：因为，，所以是正三角形，，所以点在线段的中垂线上，则，是椭圆的短轴端点．因为的面积为，所以，在中，易知，故椭圆的标准方程为；【小问2详解】方法一：设点，．当直线斜率不存在时，的方程为，代入椭圆方程得，不妨设，，易求．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则消去得，，所以，．因为点在圆内（包括圆周），所以，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．综上，的取值范围为．方法二：当直线的斜率为0时，圆以椭圆的长轴为直径，所以．当直线的斜率不存在，或斜率不为0时，设的方程为，且，．联立，消去得，所以，．因为点在圆内（包括圆周），所以，所以，所以，所以，所以，即恒成立，所以，解得．综上，的取值范围为．19.若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”．（1）设，，证明：数列是数列的“分割数列”．（2）设，是数