河南省信阳市2024-2025学年高三第二次教学质量检测数学试题

★2025年1月20日2024-2025学年普通高中高三第二次教学质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，若，则（）A. B.2 C. D.3.已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（）A. B.2 C. D.4.若，则（）A. B. C. D.5已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.866.函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）．A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是A. B. C. D.8.已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（）A B. C. D.二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（）A.众数为12 B.平均数为14 C.中位数为14.5 D.第85百分位数为1610.已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（）AB.若以线段AB为直径的圆过点F，则C.若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则D.若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切11.已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（）A.B.关于点对称C.D.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，的系数为______________.13.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________.14.某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%，产品合格率比去年12月份增加0.4%，计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第________月.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.（1）求角A；（2）若，求的取值范围.16.设是等差数列，是等比数列.已知，，.（1）求和的通项公式；（2）数列和项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和.17.2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园.（1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望；（2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：游园方式游园结果观光车自行车步行参观完所有展园808040未参观完所有展园20120160用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.18.已知函数.（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）证明：（为自然对数的底数）.19.已知动点与定点距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程，并说明轨