备战2023年高考数学一轮复习-第一课时-证明平行和垂直

第6节立体几何中的向量方法1.理解直线的方向向量及平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.1.方向向量与空间位置关系(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量,一条直线的方向向量有个.

(2)平面的法向量直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有个,它们是共线向量.

(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm(λ∈R)平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m=02.两条异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围(0,π2

求法cosθ=

cosβ=a3.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sinθ==.

4.求二面角的大小(1)如图①,AB,CD分别是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<AB→,CD(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

5.空间中的距离(1)利用|AB→|2=AB→·(2)空间点面之间的距离已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离为|BO→|=1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-12A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A.π4 B.3C.π4或34π D.π23.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A.22 B.155 C.644.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105第一课时证明平行和垂直平面的法向量、直线的方向向量及其应用1.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是()A.(33,33,-B.(33,-33,C.(-33,33,D.(-33,-33,-2.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确3.已知AB→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z),若AB→⊥BCA.337,-157,4 B.407C.407,-2,4 D.4,401.直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则AB→及与AB2.平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组n·利用向量证明平行问题(2021·河北石家庄高三一检)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M为AD的中点,N为PC上的点,且PC=3PN.求证:MN∥平面PAB.用向量方法证明空间中的平行关系(1)线线平行:证明两直线的方向向量平行.(2)线面平行:一是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是在平面内找一向量与直线的方向向量共线;三是证明直线的方向向量可以利用平面中的两不共线向量线性表示.(3)面面平行:一是证明两个平面的法向量平行;二是转化为线面平行、线线平行问题.[针对训练]1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.利用向量证明垂直问题如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,设E,F分别为PC,BD的中点.求证:(1)EF∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PDC.利用空间向量证明线、面垂直的一般步骤(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究垂直关系.(4)根据运算结果解释相关问题.[针对训练]1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过点E作EF⊥PB于点F.求证:(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD.2.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥底面ABCD.用向量方法证明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.平行与垂直关系中的探索性问题如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证:BD⊥AA1;(2)在直线CC1上是否存在一点P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.立体几何开放性问题的求解方法(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证明,得出结论.(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.[针对训练]1.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,2AB=2AD=CD,侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中点.(1)求证:BE⊥平面PCD;(2)在PB上是否存在一点F,使AF∥平面BDE?若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由.