山东省德州市2024届高三上学期适应性联考（一）数学试题含答案

山东省高三年级适应性联考（一）数学试题本试卷共3页，22题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答，用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B．C． D．2．若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑．（注：图4由左依次是堑堵、阳马、鳖臑）图3图4上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（）A． B． C．2 D．4．已知，则（）A． B． C． D．5．已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为A． B． C． D．6．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．设，，，则有（）A．最小值3 B．最大值3 C．最小值 D．最大值8．已知，，，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（）A．B．当时，的最大值为13C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D．数列前项和为，最大10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（）A．关于的函数解析式为B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）11．已知函数，下列结论正确的是（）A．若函数无极值点，则没有零点B．若函数无零点，则没有极值点C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点D．若函数有二个零点，则一定有二个极值点12．直四棱柱，所有棱长都相等，且，为的中点，为四边形内一点（包括边界），下列结论正确的是（）A．平面截四棱柱的截面为直角梯形B．面C．平面内存在点，使得D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，为非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，则的模为______．14．对于数列，由作通项得到的数列，称为数列的差分数列，已知数列为数列的差分数列，且是以1为首项以2为公差的等差数列，则______．15．已知矩形，，，是边的中点．和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时．异面直线和所成角的余弦值为______．16．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，，且，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上，角和角为直角，，设，．（1）求的长（用，表示）；（2）求面积的最小值．18．（12分）记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角和角之间的等式关系；（2）若，为角的角平分线，且，的面积为，求的长．19．（12分）已知函数．（1）求的极值；（2）若在区间有2个零点，求的取值范围．20．（12分）如图，三棱台中，面面，．的面积为1，且与底面所成角为60°．（1）求到平面的距离；（2）求面与面所成角的正弦值．21．（12）设数列的首项，且数列的项和为．（1）求；（2）求．22．（12分）设，为实数，且，函数（），直线．（1）若直线与函数（）的图像相切，求证：当取不同值时，切点在一条直线上；（2）当时，直线与函数有两个不同的交点，交点横坐标分别为，，且，求证：．山东省高三年级适应性联考（一）数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C解析：由得，选C．2．B解析：由不能得，由能得，选B．3．D解析：鳖臑的外接球和正方体的外接球是同一外接球，由鳌臑的外接球的体积为，得外接球的半径为，正方体的体对角线长度是，正方体的棱长为2，鳖臑体积为，选D．4．D解析：由，得，则，选D．5．C解析：，点在线段上（不包括端点），向量，可得，，，，当且仅当时成立，选C．6．C解析：当时，在单调递增，单调递减，题目要求在区间上单调递减，所以需满足，当满足题意，当时，在单调递增，需满足真数，则，综上．选C．7．B解析：，，，当且仅当时成立，选B．8．A解析：先证，设，求导可得，所以，当时取等号，得，再证设时，成立，设，当时，，其中需证，因为，所，所以，选A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AD解析：（1），显然A正确（2）由题意得，，，，B错（3）数列为等差数列，且和数列的首项相同、公差为，C错（4）由题意得，，，得，，，令，，，D对10．BCD解析：（1）关于的函数解析式为，A错（2）摩天轮速旋一周需24分钟，第二次高度相同，，B对（3）游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，C对（4）关于的函数解析式为与，两个图像递减区间的交集为．D对11．AD解析：函数的图像可以为如下4种图像：12．ABD解析：（1）取的中点为，，为截面，垂直面，，A对（2），，B对（3）在面的射影不可能与垂直，C错（4），，D对三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．解析：，为非零向量，由得，由，得，，，可求的模为14．65解析：由题意得，累加得，则．15．解析：矩形，，，是边的中点．和交于点，可得，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时．可得，即面和面垂直时，利用三余弦定理，异面直线和所成角的余弦值为．16．6解析：为偶函数，得，两边同时求导得，即，，得关于对称，由，可得，两式相加得的周期为6，关于对称，，由，得，所以四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由，，得，由正弦定理得得（2），得当且仅当时，面积的最小值为18．解：（1）由得，得，即，得或（2）由（1）或，因为，得，为角的角平分线，得，，，由正弦定理得，，由的面积为，得，即，，得19．解：（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则恒成立，所以在上单调递增，无极值当时，令，解得，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减：所以当时，在处取极大值分；（2），令，得，令，在区间有2个零点，即与在区间有2个交点，，，，当，，单增，当，，单减，当，单调递减，，的最大值为，与在区间有2个交点，则．20．解：（1）∵，作交于，∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面而平面，即有，∵，，∴面，平面平面，作交于，平面，，为等边三角形，为中点，到平面的距离为等于．（2）由的面积为1，得∴，以为坐标原点，取中点为，所，，在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，∴，设平面的法向量，则，令，，，得∴，，所以面与面所成二面角的正弦值为．21．解：（1）若为偶数，则，即，所以，于是．故若为奇数，则，即，所以．于是，；（2），因为，为奇数，所以，，．2