2025高考数学一轮复习-数列中的子数列、新情境问题【课件】

第六章数列补上一课数列中的子数列、新情境问题1.在一个数列中通过插项、提项或提取两个数列的公共项重构一个新的数列叫做子数列问题.2.数列的创新问题是指新定义数列，利用图表表示数列等.题型一子数列问题角度1公共项例1

(2024·嘉兴模拟)已知{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1. (1)证明{bn－n}是等比数列，并求{an}，{bn}的通项公式；解由题意可得an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，而b1＝4，bn＋1＝3bn－2n＋1，变形可得bn＋1－(n＋1)＝3bn－3n＝3(bn－n)，b1－1＝3，故{bn－n}是首项为3，公比为3的等比数列，从而bn－n＝3n，即bn＝3n＋n(n∈N*).(2)若数列{an}与{bn}中有公共项，即存在k，m∈N*，使得ak＝bm成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{cn}，求c1＋c2＋…＋cn.解由题意可得3k－1＝3m＋m(k，m∈N*)，因为3k，3m是3的倍数，所以m＋1也为3的倍数，令m＋1＝3n，则m＝3n－1(n∈N*)，则3k－1＝33n－1＋3n－1＝3(33n－2＋n)－1，此时满足条件，即当m＝2，5，8，…，3n－1时为公共项，所以c1＋c2＋…＋cn＝b2＋b5＋…＋b3n－1＝32＋35＋…＋33n－1＋(2＋5＋…＋3n－1)角度2插项、提项例2

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋1.(1)求{an}的通项公式；解由数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋1，当n≥2时，Sn－1＝2n－1＋1，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，n≥2，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3，不符合上式，(2)保持{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T100的值(用数字作答).解保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入k个1，则新数列{bn}的前100项为3，1，21，1，1，22，1，1，1，23，1，1，1，1，24，…，212，1，1，1，1，1，1，1，1，1，则T100＝[3＋(21＋22＋…＋212)]＋[(1＋2＋3＋…＋12)＋9]＝90＋213－2＝88＋213＝8192＋88＝8280.感悟提升1.两个等差(比)数列的公共项是等差(比)数列，且公差(比)是两等差(比)数列公差(比)的最小公倍数，一个等差与一个等比数列的公共项，则要通过其项数之间的关系来确定.2.数列的插项、提项问题可通过研究前n次的变化探究出一般性规律，从而确定新数列的首项、项数、公差(或公比)、末项等信息.训练1(2024·济南模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝4，b1＝2，a2＝2b2－1，a3＝b3＋2.(1)求{an}和{bn}的通项公式；解设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，∴q＝2，d＝3，∴an＝3n＋1，bn＝2n.(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前60项和S60.解当{cn}的前60项中含有{bn}的前6项时，此时至多有41＋6＝47项，不符合题意.当{cn}的前60项中含有{bn}的前7项时，令3n＋1<28＝256，∴n<85，且22，24，26是{an}和{bn}的公共项，则{cn}的前60项中含有{bn}的前7项且含有{an}的前56项，再减去公共的三项.题型二新情境、新定义问题解设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0，表中到12行尾共含数列{an}的前78项，a81是表中第13行第三列，感悟提升新情境下的数列问题的求解策略(1)深入理解新情境，建立数列模型；(2)利用新定义，求解数列模型，将新定义和原有知识相联系，利用数列的通项、求和求解.解数列{an}为“紧密数列”，理由如下：(3)设数列{an}是公比为q的等比数列.若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围.解因为数列{an}是公比为q的等比数列，前n项和为Sn，当q＝1时，有an＝a1，Sn＝na1，课时分层精练KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1＝

b3－2b1，S7＝7a3.

第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；解由题意知a1＝2，a2＝4，a3＝8，所以等比数列{an}的公比q＝2，an＝a1qn－1＝2n.设等差数列{bn}的公差为d，则2＝b3－2b1＝2d－b1，所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n.(2)若cn＝[lgbn]，其中[x]是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[lg2]＝0，[lg98]＝1，求数列{cn}的前100项的和T100.解因为bn＝2n，所以cn＝[lg(2n)].所以T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg2]＋[lg4]＋…＋[lg8]＋[lg10]＋…＋[lg98]＋[lg100]＋…＋[lg200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝3n－1，当n＝1时，上式也成立，所以bn＝2n.(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列称为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.解设3n－1＝2m＝(3－1)m＝3M＋(－1)m，m∈N*，M为3的正整数倍，故当m为奇数时，n＝M，故公共项为m＝1，3，5，7，…，∴21，23，25，27，…，构成首项为2，公比为4的等比数列，cn＝2·4n－1，3.定义：若数列{an}对任意的正整数n，都有|an＋1|＋|an|＝d(d为常数)，则称{an}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”.已知“绝对和数列”{an}中，a1＝2，绝对公和为3，求数列{an}前2025项和S2025的最小值.解依题意，要使S2025的值最小，只需每一项的值都取最小值即可.因为a1＝2，绝对公和d＝3，所以a2＝－1或a2＝1(舍去)，所以a3＝－2或a3＝2(舍去)，所以a4＝－1或a4＝1(舍去)，…，4.(2024·西安调研)已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，a－2Sn＝n＋1(n∈N*)，其中Sn是数列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式；解当n＝1时，a2＝2，因为数列{an}各项均为正数，所以an＋1－an＝1，又∵a2－a1＝1，∴数列{an}为等差数列，故an＝a1＋n－1＝n.(2)在ak和ak＋1(k∈N*)中插入k个相同的数(－1)k＋1·k，构成一个新数列{bn}：

a1，1，a2，－2，－2，a3，3，3，3，a4，…，求{bn}