人教版九年级上册数学压轴题试卷及答案

人教版九年级上册数学压轴题试卷及答案

一、压轴题

1.在锐角△/切。中，力8引C,AD为BC边上.的高,E为九'中点.

(1)如图1,过点。作C£L/由于尸点，连接阮若/浏我20°,求的度数；

(2)若V为线段划上的动点(点"与点〃不重合)，过点。作于N点,射线

EN,AB交于P点、.

①依题意将图2补全；

②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点.M运动的过程中，始终有/力陷2/物〃.

小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：连接外;要证N.仍用2NJ例〃，只需证/加上2乙必〃.

想法2：设乙必方。，4MUB,只需用a,B表示出/侬；通过角度计算得

4APE=2a.

想法3：在脑•上取点Q,使NA%02/物〃，要证/力峪2/物〃只需证

[\NAQsXAPQ....

请你参考上面的想法，帮助小宇证明N4%=2Z.W.(一种方法即可)

图1图2

2.已知函数X=工+2机-1,%=(2〃?+1»+1均为一次函数，m为常数.

(1)如图1,将直线A。绕点4(—1,0)逆时针旋转45°得到直线/,直线/交y轴于点

B.若直线/恰好是凹=1+2加-1,〉，2=(2〃?+1»+1中某个函数的图象，请直接写出点B

坐标以及m可能的值；

（2）若存在实数b,使得|〃2|-（。-1）/~=0成立，求函数

X=x+2机-1,必=（2〃1+I）x+1图象间的距离；

（3）当6>1时，函数y=工+2〃?-1图象分别交x釉，y轴于C,E两点，

y=（2w+l）x+l图象交X轴于D点，将函数y=的图象最低点F向上平移56

2m+1

个单位后刚好落在一次函数M=x+2/〃—1图象上，设），=y・），2的图象，线段OD,线段

OE闱成的图形面积为S,试利用初中知识，探究S的一个近似取信范I韦I.（要求：说出

一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范

围两端的数值差不超过0.01.）

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁二一耳一+从+耳与x轴正半轴交于点八，且点

A的坐标为（3,0）,过点A作垂直于x轴的直线/.Q是该抛物线上的任意一点，其横坐

3

标为〃？，过点〃作PQ，/于点Q；历是直线/上的一点，其纵坐标为-机+一，以

2

PQ,QM为边作矩形PQMN.

（1）求。的值.

（2）当点。与点M重合时，求〃？的值.

（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求〃7的值.

（4）当抛物线在矩形PQ/WN内的部分所对应的函数值y随工的增大而减小时，直接写出

〃?的取值范围.

4.已知点P（2,・3）在抛物线L：y=ax?-2ax+a+k（a,k均为常数，且aM）上，L交y轴

于点C,连接CP.

（1）用a表示k,并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；

（2）当L经过（3,3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；

（3）横，纵坐标都是整数的点叫做整点.如图，当aUO时，若L在点C,P之间的部分与

线段CP所围成的区域.内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；

（4）点M（xi,yi）,N（X2,yz）是L上的两点，若tWxEt+1,当xz23时,均有yRyz,直接写

出t的取值范围.

5.如图，直线/：y=-3x+3与x轴，y轴分别相交于4B两点,抛物线y=-x2+2x+b经

过点B.

（1）该抛物线的函数解析式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点M

的横坐标为m,△48M的面积为5,求5与m的函数表达式，并求出5的最大值：

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点/VT.

①写出点M'的坐标；

②将直线/绕点A按顺时针方向旋转得到直线九当直线/'与直线A”重合时停止旋转，在

旋转过程中，直线/'与线段8”交于点C,设点8,“到直线7的距离分别为山，山，当

山+山最大时，求直线/'旋转的角度（即N8AC的度数）.

6.如图1,抛物线y=or2+bx-4与工轴交于4-3,0）、8（4,0）两点，与y轴交于点

C,作直线8c.点。是线段8C上的一个动点（不与8,。重合），过点。作

釉十点E.设点O的横坐标为机（0〈机v4）.

(1)求抛物线的表达式及点。的坐标；

(2)线段。石的长用含加的式子表示为一；

(3)以DE为边作矩形。瓦C,使点”在x轴负半轴上、点G在第三象限的抛物线上.

①如图2,当矩形力石尸C成为正方形时，求机的值；

②如图3,当点。恰好是线段打的中点时，连接尸。，FC.试探究坐标平面内是否存在

一点尸，使以P,C,F为顶点的三角形与AFCD全等？若存在，直接写出点尸的必

标；若不存在，说明理由.

7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0),顶点D在y轴上，与x轴的一个交点的横坐标为".

⑴求a、c满足的关系式；

⑵若直线丫=1«<-2a与抛物线交于A、B两点(点A在点B左侧)，以AB为直径的圆恒过点

D.

①求抛物线的解析式；

②设直线y=kx-2a与y轴交于点M、直线/I：y=px+q过点B,且与抛物线只有一个公共

点，过点D作x轴的平行线£/1与〃交于点N.分别记JVDM的面积为S1，

S,

S2，求不-.

8.如图，。。经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D,且与AB相切于点A.

(1)求证：BC为。。的切线；

(2)求NB的度数.

(3)若。0半径是4,点E是弧AC上的一个动点，过点E作EM_LOA于点M,作EN_LOC

于点N,连接MN,问：在点E从点A运动到点C的过程中，MN的大小是否发生变化？如

果不变化，请求出MN的值；如果变化，请说明理由.

9.将抛物线C：)，=(工-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线G，再将抛物线G向左平

移2个单位长度得到抛物线C2.

（I）（2）

（1）直接写出抛物线Ci，G的解析式；

（2）如图（1）,点4在抛物线a对称轴/右侧上，点8在对称轴/上，［Q48是以08

为斜边的等腰直角三角形，求点4的坐标；

（3）如图（2）,直线），=履（4wO,攵为常数）与抛物线G交于E，尸两点，M为

4

线段£户的中点：直线），=一下、与抛物线Q交于G,"两点，N为线段GH的中

K

点.求证：直线MN经过一个定点.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线’1与”轴交于点4匕与'轴交于点Q%的解析式

12

为,一寸，若将抛物线”平移，使平移后的抛物线’2经过点4对称轴为直线

%=-6,抛物线,2与％轴的另一个交点是E,顶点是0,连结

6

（1）求抛物线”的解析式；

⑵求证：

（3）半径为1的OP的圆心「沿着直线”=-6从点°运动到R-6,0）,运动速度为1单位/

秒，运动时间为t秒，G）P烧着点,顺时针旋转90°得。匕，随着。尸的运动，求匕的运动路

径长以及当。「I与'轴相切的时候t的值.

11.已知四边形A8CO是矩形.

（1）如图1,£、尸分别是A3、8上的点，CE垂直平分8尸，垂足为G,连接

DG.

①求证：DG=CG；

②若8c=2A8,求/DGC的大小;

APD

图1图2

(2)如图2,AB=BC=6,M、N、。分别是AN、CD、AO上的点，MV垂直平分

成，点Q是。。的中点，连接MRPQ,若PQ_LMP,直接写出CN的长.

12.小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD边打台球，该球桌长AB=4m,宽AD=2m,点0、

E分别为AB、CD的中点，以AB、0E所在的直线建立平面直角坐标系。

(1)如图1,M为BC上一点；

①小明要将一球从点M击出射向边AB,经反弹落入D袋，请你画出AB上的反弹点F的位

置；

②若将一球从点M(2,12)击出射向边AB上点F(0.5,0),问该球反弹后能否撞到位于(一

0.5,0.8)位置的另一球?请说明理由

(2)如图2,在球桌上放置两个挡板(厚度不计)挡板MQ的端点M在AD中点上且

MQ1AD,MQ=2m,挡板EH的端点H在边BC上滑动，旦挡板EH经过DC的中点E；

①小聪把球从B点击出，后经挡板EH反弹后落入D袋，当H是BC中点时，试证明：

DN=BN；

②如图3,小明把球从B点击出，依次经挡板EH和挡板MQ反弹一次后落入D袋，已知

ZEHC=75°,请你直接写出球的运动路径BN+NP+PD的长。

13.如图，RtAxABC中，ZC=90°,AB=15,BC=9,点P,Q分别在BC,AC上，CP=

3x,CQ=4x(0<x<3).把aPCQ绕点P旋转，得到APDE,点D落在线段PQ上.

(1)求证：PQ/7AB；

(2)若点D在NBAC的平分线上，求CP的长；

(3)若4PDE与AABC重叠部分图形的周长为T,且12WTW16,求x的取值范围.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，过。7•外一点P引它的两条切线，切点分别为M,

N,若60°KNMPN<180°，则称P为。7■的环绕点.

①在6（1,0）,8（1,1）,4（0,2）中，。。的环绕点是;

②直线片2x+b与x轴交于点4y轴交于点8,若线段人8上存在。。的环绕点，求b的取

值范围；

,且用为半径的所

（2）。7的半径为1,圆心为（0,t）,以rn,—m（加>0）为圆心

33

有圆构成图形H,若在图形H上存在。T的环绕点，直接写出t的取值范围.

15.如图，在直角A43C中，ZC=90%AB=5,作乙ABC的平分线交AC于点D,

在A3上取点。，以点。为圆心经过4、。两点画圆分别与A3、BC相交于点E、F

（异于点8）.

（2）若点石恰好是A。的中点,求BF的长;

（3）若的长为3.

4

①求。。的半径长：

②点F关于3。轴对称后得到点F，求ABFF'与ADEF的面积之比.

16.如图，在平面直角坐标系中，以原点。为中心的正方形ABCD的边长为4m,我们把

A8〃），轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点0顺时针旋转任意角度。时，

k

它能够与反比例函数），=一仅>0）的图象相交于点E,F,G,H,则曲线段EF,HG与线段

x

EH,GF围成的封闭图形命名为"曲边四边形EFGH〃.

（1）①如图1,当轴时，用含m,k的代数式表示点E的坐标为；此时

存在曲边四边形EFGH,则k的取值范围是；

②已知女=3〃/，把图1中的正方形ABCD绕点0顺时针旋转459时，是否存在曲边四边

形EFGH?请在备用图中画出图形，并说明理由.当把黑1中的正方形ABCD绕点0顺时针

旋转任意角度。时，直接写出使曲边四边EFGH存在的k的取值范围.

③若将图1中的正方形绕点0顺时针旋转角度。（0。<〃<180。）得到曲边四边形EFGH,

根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH

是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；

（2）正方形ABCD绕点。顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数

k

y=—（A>0）的图象上，AB与y轴交于点M,A8=8,AM=1,试问此时曲边四边

x

EFGH存在吗?请说明理由.

17.如图，在直角坐标系中，点。在第一象限，C3_L工轴于3，C4_Ly轴于A，

CB=3,C4=6,有一反比例函数图象刚好过点C.

(1)分别求出过点。的反比例函数和过A，8两点的一次函数的函数表达式；

(2)直线/_Lx轴，并从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动，交反

比例函数图象于点。，交AC于点E,交直线于点尸，当直线/运动到经过点8时，

停止运动.设运动时间为/(秒).

①问：是否存在/的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出f的值；若不存在，

说明理由；

②若直线/从V轴出发的同时，有一动点。从点4出发，沿射线8C方向，以每秒3个单

位K度的速度运动.是否存在/的值，使以点。，E，2，C为顶点的四边形为平行四边

形；若存在，求出，的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存

在，说明理由.

18.我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60。的凸四边形叫做''准筝形”.

备呻

(1)如图1,在四边形ABCD中，ZA+ZC=270°,ZD=30°,AB=BC,求证：

四边形ABC力是“准筝形”；

(2)如图2,在“准筝形”48co中，AB=AD,ZBAC=ZBCD=,8c=4,

CQ=3,求AC的长；

(3)如图3,在二ABC中，ZA=45°,ZABC=120°,AB=3-6设。是

..A3C所在平面内一点，当四边形A3CQ是“准筝形”时，请直接写出四边形A3CD的

面积.

19.如图①，在矩形48C。中，AB=3cm,点E从点A出发，沿射线AC

以。(cm/s)的速度匀速移动.连接力石，过点E作所，力/与射线BC相交于点

E,作矩形。ENG,连接CG.设点E移动的时间为"s),ACOE的面积为S(cm2),S与

/的函数关系如图②所示.

⑵求矩形OE/P面积的最小值;

⑶当ACDG为等腰三角形时，求f的值.

20.如图，已知点A(3,0),以A为圆心作OA与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点

为B,过B作0A的切线I.

(1)以直线I为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式；

(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作OA的切线DE,E为切点，求此切线长;

(3)点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长.

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一、压轴题

1.(1)证明见解析；(2)①补图见解析;②证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

(1)证明：*：AB=AC,力。为比1边上的高，N力介20°,

:・NBAC=2NBAD=4G°.

•:CF工AB,

・・・N/Q90°.

YE为力。中点，

：.EF=EA=-AC.

2

(2)①当点P在边AB上是，补全图形如图

当点P在AB的延长线上是，补全图形如图

②I、当点尸在边月8上时,

证明：想法1:如图3,

连接DE.

■:A年AC,月〃为比边上的窗，

••・〃为应?中点.

♦"为/C中点,

:.ED〃AB,

:./PEA/APE.

•・・4%=90。,。为/1C中点,

・•.AE=DE=CE=-AC

2

同理可证AE=NE=CE=^AC

2

：.A^NE=CE=DE,

:,A,N,D,C在以点£为圆心，力。为直径的圆上,

，N4方2/扬〃

:./AP拄2乙MAD

想法2:设乙必介。，N以0尸，

•:CMLAM,

:.N4M>90。.

Of为4C中点,

1

:.A扭N也一AC.

2

,ZA*N也右乙例分/!)AC=a+万.

:.ZNEC=ZANE+ZNAC=2a+2B.

■:小AC,ADA.BC,

：,ZBAC=2ZDAC=20.

:.4AP和/PEe/BA82%

••・N/1畛2N,必〃

n、当点尸在4?的延长线上时

证明：想法1:

连接M.

；48=祀，，4。为比边上的高,

・•・〃为比中点.

•・•£为力C中点，

:.ED〃AB,

；"1二NAPE.

TN力屐90°,E为力。中点，

・•・AE=DE=CE=-AC.

2

同理可证A£=NE=CE=LAC.

2

:・A片般C&DE.

:.A,N,D,C在以点£为圆心,4C为直径的圆上.

•・・N1=2/彬

・•・Z/1/^2Z.W.

想法2:设乙物分。，/DAC=B,

ar±

母90。.

£为力C中点,

1

\AE=NE=-AC.

2

•・/AN步/NAC=NMA//DAO。+尸.

•・/NEU/ANE+2NAO2a+2B.

JAB^AC,AD1BC,

,・4BAC=24I)AC=2B.

\4AP24PEe/BAC=2c.

•・N月峪2N.明〃

想法3：在跖上取点。，使N胡仍2N.M〃,

"1=/2

vAB=AC.AD±BC

:.ZBAD=ZCAD

ZBAD-Zl=ZC4D-Z2

即/3=Z4.

.♦.Z3+4NAQ=N4+ZNAQ

即/PAQ=/EAN

vCNLAM

.\ZANC=90

YE为AC的中点，

z.AE=NE=-AC

2

/.ZANE=NE4N,ZPAQ=ZANE

-ZAQP=ZAQP

：.当PAQ〜ANQ

ZAPE=4NAQ=2NMAD

、348103

2.(1)(0,1)；1或0⑵y/2(3)---------<S<—

1200010

【解析】

【分析】

（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线/的解析式，再分情况讨论即可解的m值；

（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设》与x轴、y轴交于T,

P，为分别与x轴、y轴交于G,H,连接GP,TH,证得四边形GPTH是正方形，求出GP

即为距离；

（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为

y=X=（2机+1）丁+4"221+2机一1,得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低

27n2（2加2T2

点为其顶点尸--~~~~7-，根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m

2tn+12ni+]

\z

值，即可得知点D、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，

如：S<SODE，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积.

【详解】

解：（1）由题意可得点b坐标为（0,1）,

设直线/的表达式为y=kx-l,将点A（-1,0）代入得：k=l,

所以直线/的表达式为：y=x+l,

若直线/恰好是y=x+2〃?-l的图象，则2m-1=1,解得：m=l,

若直线/恰好是必=（2〃?+l）x+l的图象，则2m+l=l,解得：m=0,

综上，〃2=1或者m=0

（2）如图，v|/n|"（/?-l）Vr^=O

.,.|m|+（l-Z?）>/l-Z?=0

v|/H|>0,1-/?>0

/.|w|=0,1一力=0

/.772=0

y,=x-1,y2=x+\

设H与x轴、y轴交于T,P,为分别与x轴、y轴交于G,H,连接GP,TH

•：OG=OH=OP=OT=\,PH1GT

..・四功形GPTH是正方形

:.GH//PT,/HGP=90。，即”G_LGP

\-HP=2

GP=&：

（3）=X+2/n-1,v2=（2/774-1）x4-1

・.,y=x+2"?-l分别交X轴，y轴于C,E两点

/.C（l-2w,0）,E（0,2--1）

•・•％=（2m+l）x+l图象交x轴于D点

（1、

:.D----------,0

I2m+1）

22

y=yx-y2=（X+2//2-1）[（2/M4-1）^+1]=（2/Z2+1）A+4mjr+2m-l

tn>1

/.2m+1>0

・•・二次函数）=（2〃7+1）工2+4机、+2机一1开口向上，它的图象最低点在顶点

・•・顶点F

2m+1

/

抛物线顶点F向上平移;^一，刚好在一次函数X=X+2加-1图象上

2m+1

..._色:3-+*-=_区二+（2〃L1）且〃?>1

2m+12/?7+12m+1

：.m=2

2

y=y-y2=5x+16x+3=（x+3）（5x+1）,

）\=x+3ty2=5x+1

（iA

.,.由X=x+3,），2=5/+l得到Q--,0,E（0,3）,

由y=5/+16x+3得到与x轴，y轴交点是（一3,0）,卜川，（0,3）,

（i、

抛物线经过。--,0,E（0,3）两点

I。/

•.・〉'=）j%的图象，线段OD,线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的

面积

探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积.

探究过程：

①观察大于S的情况.

很容易发现S<S“E

（1A

:D—,0,E（0,3）

<5；

SOD£=-x3xi=—,

ODt2510

（若有s小于其他值情况，只要合理，参照赋分.）

②观察小于S的情况.

选取小于5的几个特殊值来估计更精确的5的近似值，“又值会因人而不同，下面推荐一种

方法，选取以下三种特殊位置：

位置一：如图

当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x,y轴分别交于M,N

o\£（0,3）

I5J

直线OE:y=15x+3

设直线MN:y=15x+A

y=5^2+16x+3

5x~+x+3—仇=0

.*.A=1-4X（3-Z?）=0,“喘

59

二.直线MN:y=15x+—

20

RM

•••点M

l300）

159593481

.s=—x——x-----=----------

・•JOMN22030012000

当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R

设直线OR：)二丘+8,。(一g,0

直线DR:y=kx+±k

y=5x2+16x+3

5寸+(16-%)尤+3-3=()

.•.△=(16—)2-4x5x3-(攵)=0,4=14

14

直线。/?:)，=14工+行

(14、

・・•点R0,—

\3/

c11417o7

S=­x—x—=—,S>—

fO),nRK2552525

位置三：如图

x

当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q

设直线EQ：y=u+3

,/y=5x2+16.v+3

.-.5X2+(16-Z)X=0

.•.A=(16-Z)2=0,r=16

・•・直线EQ：y=16x+3

•••点《磊。)

,c_13,9.c9

OEQ2163232

348197

...----->-->--

120003225

我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中

间部分时取值越接近S的值

探究的结论：按上述方法可得一个取值范围工生L<s<a

1200010

（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案.只要来龙去脉清晰、合

理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得

分.）

【点睛】

本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐

标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次

方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定

系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计

算.

3.（1）Z?=l；（2）=4；（3）m=->/7+1：（4）0<m<3或加>4.

【解析】

【分析】

（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；

（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相

同，列出方程求解即可；

（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形PQMN是正方形时PQ=,即可求得

m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；

（4）分〃，£1,1<m<3,m=3,加>3四种情况讨论，结合图形分析即可.

【详解】

13

解：（1）将点A（3,0）代入y=—万工2+法+万

।3

得0=一一X32+3ZJ+-,

22

解得b=l,；

（2）由（1）可得函数的解析式为），二一gf+x+|,

（I3、

••DP\zn,—2m+H—

I22）

・.・PQtl于点Q,

.熊1，31

•+m+—,

•••M是直线/上的一点，其纵坐标为-〃7+』，

2

3

M（3,—tnH—）,

2

若点Q与点M重合，则

133

—nr+m+—=-m+—，

222

解得g=0,加2=4；

(3)由(2)可得"Q=|3・邮，

31,31,

MQ=\(-m+—)-(-/"广+〃2+/)|=|/”厂-2m\,

当矩形PQMN是正方形时，PQ=MQ

BP|—m2-2m)=\3-m\,

2

即一团2_2/n=3-m或一W-2fn=tn-3,

22

解L/.

2m=3-得肛=+1,/=-+1,

2

解一〃/-2m=m-3得〃4=3+百,〃4=3-V5»

2

13]

又y=——x2+x+—=——(x-l)+2,

222

J抛物线的顶点为(1，2),

•・•抛物线的顶点在该正方形内部，

•••P点在抛物线对称轴左恻，即机<1,且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即

-in+—>2,

2

解得m<-y,故m的值为-I1；

当打£1时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值随x的增大而减小,

则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，旦P点应该在x轴上侧，

3]313

即・m+—<-—nr+m+二旦——zn2+/n+—>0,

22222

3\3

解-m+-<--m2+"什5得0<〃?<4,

1,3

解—〃厂+根+—>0得一1vv3,

22

0<m<1,

②如下图

当1<v3时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值）'随X的增大而减小,

则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，

313

即-〃?+—<——m2+/»+解得0<相<4,

222

1</?z<3；

③当"7=3时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；

④如下图

当初〉3时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随X的增大而减小,

则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，

3]3

即-〃?+—>——m2+m+―,解得〃7<0或〃？>4,

222

故机>4,

综上所述0v〃7<3或〃z>4.

【点睛】

本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式.能分别表示出M、P、Q

的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论.

4.(1)k=-3-a；对称轴x=l；y轴交点(0,・3)；(2)y=2x2-4x-3,顶点坐标(1,-5)；

(3)-5^a<-4；(4)-10W2.

【解析】

【分析】

(1)将点P(2,-3)代入抛物线.匕求得k用a表示的关系式：抛物线L的对称轴为直线

x=--=1,并求得抛物线与y轴交点；

2a

(2)将点(3,3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a,解得a=2,k=-5,即可求得抛物线解析式

与顶点坐标；

(3)抛物线L顶点坐标(1,-a-3),点C,P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边

界)恰有4个整点，这四个整点都在x=l这条直线上，且y的取值分别为-2、-1、0、1,

可得l<-a-3W2,即可求得a的取值范围；

(4)分类讨论取a>0与aVO的情况进行讨论，找出X1的取值范围，即可求出t的取值

范围.

【详解】

解：(1)..•将点P(2,-3)代入抛物线L：y=ax2-2ax+a+k,

-3=4a-4a+a+k=a+k

:.k=-3-a；

-2a

抛物线L的对称轴为直线X=------二1,即x=l：

2a

将x-o代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3,故与y轴交点坐标为(0,-3)；

(2)•・，经过点(3,3),将该点代入解析式中，

9a-6a+a+k=3»且由(1)可得k=-3-a,

4a+k=3a-3=3»解得a=2,k=-5,

・・・L的表达式为y=2x2-4x・3；

将其表示为顶点式：y=2(x-l)2-5,

・•・顶点坐标为(1,-5)；

(3)解析式L的顶点坐标(1,-a-3).

••・在点C,P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点，这四个整

点都在x=l这条直线上，且y的取值分别为-2、-1、0、1,

/.l<-a-3<2,

-5^a<-4；

(4)①当aVO时，Vx2>3,为保证》之丫2，且抛物线L的对称轴为x=l,

・••就要保证X1的取值范围要在卜1,3］上，

即t2-l且t+lW3,解得-lWtW2；

②当a>0时，抛物线开口向上，t23或t+lW-1,解得：t23或tW-2,但会有不符合题意

的点存在，故舍去，

综上所述：/WtW2.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关

键.

I(c\27525(57、

5.(1)y=—x2+2x4-3；(2)S=—m—H-----,—;(3)①M'—；

2(2J88(24)

②45。

【解析】

【分析】

(1)利用直线/的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的

值.

(2)设M的坐标为(m,-"+2必+3),然后根据面积关系将△48M的面积进行转化.

(3)①由(2)可知m=2,代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值.

2

②可将求di+(h最大值转化为求AC的最小值.

【详解】

(1)令x=0代入y=-3x+3,

Ay=3,

AB(0,3),

把B(0,3)代入y=-x'2x+b并解得：b=3,

2

・•・二次函数解析式为：y=-x+2x+3.

(2)令y=0代入y=-X2+2X+3,

/.x=-1或3,

，抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3,

在抛物线上，且在第一象限内，

/.0<m<3,

令y=O代入y=-3x+3,

/.x=l,

••・A的坐标为(1,0),

由题意知：M的坐标为(m,-m2+2m+3),

•*»S=S四边形OAMB-SAAOB=SAOBM+SAOAM-SAAOB

=­xmx3+—xlx(-m2+2m+3)--xlx3

222

1/5,25

=-——(m--)2+—,

228

595

••・当m=7时，S取得最大值一.

28

57

(3)①由(2)可知：IVT的坐标为(一，一).

24

②设直线『为直线I旋转任意角度的一条线段，过点作直线h〃匕过点B作BF_Ui「点

根据题意知：di+d2=BF,

此时只要求出BF的最大值即可，

•・・/BFM'=90°,

・••点F在以BIW为直径的圆上，

设直线AIVT与该圆相交于点H,

•・•点C在线段BM，上，

，F在优弧BM'H上，

・••当F与重合时，

BF可取得最大值，

此时BMz±li,

57

VA(1,0),B(0,3),Mz(-,一)，

24

，由勾股定理可求得：AB=V10,M，A=—邑，

44

过点M作M，GJ_AB于点G,

设BG-x>

・•・由勾股定理可得:MB-BG2=MZA2-AG2,

.85I—125

--x)=2

•-7167~1r6r-x

.5瓦

8

BGV2

cosZMzBG=--------=------,ZMZBG=45°

BM，2

X，/ZM,BG=ZCBA=45°

AZBAC-450.

【点睛】

本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次

函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键.

6.(1)y=-x2--x-4,C(0,-4)；(2)4一机；(3)①〃2的值为之；②存在；点

334

142242

夕的坐标为(-4,-2)或(一7，一彳)或［，?•

【解析】

【分析】

(1)将4(一3,0)、44,0)代入)，=〃小+加一4,得到关于a、b的二元一次方程组，解

方程组即可求出a、b的值，进而可得到抛物线的表达式和点C的坐标；

(2)设直线BC的解析式为)，=履+〃即可求出解析式的表达式，々x=m,即可得到线段

DE的长用含m的式子表示为〃2-4；

(3)①由点。的横坐标为机，且0〈根＜4,可得(花=根，再根据四边形OEFG是正

方形求出点G的坐标，代入函数解析式即可求出m的值：

②利用①中的方法求出点D的坐标、。/、CO的值，再分不同情况讨论，利用两点间距

离公式和全等三角形对应边相等列方程组求解即可.

【详解】

(1)将A(-3,0)、8(4,0)代入)，=or?+bx-4中，

[967-3/7-4=0

得4,

16。+4〃­4=0

1

a--

3

解，得，

b=--

3

工抛物线的表达式为y=_lx_4.

将尤=0代入，得y=-4,

・••点C(0,-4).

(2)设直线BC的解析式为y="+〃，

将点3(4,0)、C(0,-4)代入可得，

44+〃=0

'b=-4'

k=1

解得〈/

匕=一4

•・•直线BC的表达式为

当x=m时，y=m-4,

即线段DE的长用含m的式子表示为4-m.

故答案为：4一〃?；

(3)①•・•点。的横坐标为机，且0＜帆＜4,

OE=m,

•・•四边形。EFG是正方形，

：.DE=EF=FG=4—m,

OF=EF-OE=4-in-m=4-2ni,

•・•点G在第三象限,

，点G的坐标为(2机一4,机一4),

•・•点G在抛物线y=上，

，g(2加一4尸--(2/77-4)-4=in-4,

解町二4(不符合题意，舍去)，加2二:，

•••当矩形OEFG成为正方形时，/"的值为2.

4

②存在；理由如下：

由①可知FG=DE=4-m,

•・•点0是线段EF的中点，

工点G的坐标为（-m,m-4）,

•・•点G在抛物线y=一:工一4上,

'33

—(2m—4)~——(2〃z—4)—4="2—4,

解犯二0（不符合题意，舍去），叱=2,

，点D的坐标为（2,・2）,

•"=122+42=2后,CD=7（2-0）2+（-2+4）2=272，

如图，设点的坐标为（X,y）,分以下三种情况：

・•・PF=J(x+2)2+y2=2逐，PC=Jf+(y+4)2=20，

4

X2=~

X=-4:（不合题意，舍去），

解得

J=-2'

%=一

5

・••点P的坐标为（Y,-2）；

II、当位于点P'时，方法同I可得点。的坐标为高）；

42

HL当位于点。'时，方法同I可得点尸的坐标为［,.）；

142242

综上，点P的坐标为（T-2）或（—彳,—彳）或「,?.

JJJJ

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定解析式，两点间的距离公式，全等三

角形的性质，解本题的关诞是确定函数关系式.

1、

7.(1)c=-6a；(2)①y=-x~-3；②2.

2

【解析】

【分析】

(1)先根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，然后根据二次函

数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系即可得；

(2)①先根据(1)可得地物线的解析式和顶点D的坐标，再设

A(x，g-2幻,8(%,履2-2幻，从而可得直线AD、BD解析式中的一次项系数，然后根

据一元二次方程的根与系数的关系可得玉+心=&,X(X2=-4,最后根据圆周角定理可

~a

+4。/ex+4a

得从而可得一一一~=T,化简可求出a的值，由此即可得出答

X工2

案；

②先求出点B、D的坐标，再根据直线乙与抛物线只有一个交点可得出

一3-9=g〃2，w=〃，然后联立直线4与4求出点N的坐标，最后利用三角形的面积公

式分别求出S1,S2，由此即可得.

【详解】

(1)抛物线》=公2+法+。(。>0),顶点D在y轴上，

•.・抛物线的对称轴为y轴，即r=0,

/.Z?=0»

抛物线与X轴的一个交点的横坐标为、后，

•.・抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为-石，

/.仇和-#是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，

—=>/6x(—■\/6),

a

即c=-6a；

(2)①由(1)可得：抛物线的解析式为y=aP-6a,

顶点D的坐标为。(0,—6a),

由题意，设点A、B的坐标分别为4(内,烟-2。),8(勺,线-2。)，且工2>%，

处-2a+6a_kxi+4。

由点A、D的坐标得：直线AD解析式中的一次项系数为

X)—0内

kx2-2a+6a_kx2+4