中考数学二轮复习二次函数重难点练习专题25 二次函数与最大角问题（解析版）

专题25二次函数与最大角问题解题点拨【问题描述】1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．【问题铺垫】圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．如图，．换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角．【问题解决】结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，∠AMB即为圆O的圆外角，∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有．（切割线定理）证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）∴△AOP∽△POB，∴，∴．即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．直击中考1．（山东·统考中考真题）如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点.双曲线经过点，连接，.(1)求抛物线的表达式；(2)点，分别是轴，轴上的两点，当以，，，为顶点的四边形周长最小时，求出点，的坐标；（3）动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿0C方向运动,运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大?(请直接写出结果)【答案】(1)；(2)；；(3)【分析】（1）先求D的坐标，再代入二次函数解析式解析式求解；（2）分别作点，关于轴，轴的对称点，，连接交轴，轴于点，.即，F,N，在同同一直线上时，四边形的周长最小，用待定系数法求直线的表达式，再求N,F的坐标；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解：(1)由题意，得点的坐标，.∵，∴.∴点的坐标.将点，分别代人抛物线，得解得∴抛物线的表达式为.(2)分别作点，关于轴，轴的对称点，，连接交轴，轴于点，.由抛物线的表达式可知，顶点的坐标，∴点的坐标.设直线为，∵点的坐标，∴解得∴直线的表达式为.令，则，解得，∴点的坐标.令，则，∴点的坐标.（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时此时圆心N到BD的距离最小，圆心角∠DNB最大，则，∠BPD的度数最大；则N（r，t），∴PN=ND，∴∴t2-6t-4r+13=0，易求BD的中点为直线BD的解析式为y=-3x+9，∴BD的中垂线解析式y=N在中垂线上，∴t2-18t+21=0，∴∴t的值为【点睛】考核知识点：二次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.2．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且顶点的纵坐标为，点D是线段BC的中点，点E、F分别是线段OB，OC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点E，F，使得DEF为等边三角形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当∠BFD的度数最大时，求tan∠OBF的值．【答案】（1）y＝x²+x+4；（2）存在，DEF为等边三角形时，E（，0），F（0，﹣2）；（3）tan∠OBF＝【分析】（1）将一般式配方成为顶点式，根据顶点的纵坐标为，列出方程，求出的值，即可求解；（2）延长至，使，连接，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，得到，再由中点求出，，则，求出，又由，则，可求，；（3）过的外接圆，当与轴相切时，切点为，此时最大，设的中点，则，，可证明，由，求出，则，，求出直线的解析式为，设，则，由，得到，再由，可求，则，即可求．【详解】解：（1）将抛物线化为顶点式：y＝ax²﹣2ax﹣3a，＝a（x﹣1）²﹣4a，∴﹣4a＝，∴a＝，∴抛物线的解析式：；（2）存在，理由如下：设E（a，0），F（0，b），令x＝0，则y＝4，∴C点坐标（0，4），令y＝0，则，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵D为BC的中点，∴D点坐标（，2），如图1，延长DE至G，使DE＝EG，连接FG，过点D作DM⊥y轴交于点M，过G点作GN⊥y轴交于点N，∵DEF是等边三角形，∴EF＝EG＝DF＝DE，∠DEF＝∠DFE＝60°，∴∠FEG＝120°，∴∠EFG＝30°，∴∠DFG＝90°，∵∠MFD+∠MDF＝90°，∠MFD+∠NFG＝90°，∴∠MDF＝∠NFG，∴FMD∽GNF，，，，∴，，，，，∵E点是DG的中点，∴G（2a﹣，﹣2），∴ON＝2，，，，，，，，，，为等边三角形时，，，；（3）如图2，过BDF的外接圆M，当⊙M与y轴相切时，切点为F，此时∠BFD最大，设的中点，则，，，∵OC＝4，BO＝3，∴CB＝5，∵∠COB＝∠BHG＝90°，∠CBO＝∠HBG，∴BOC∽BHG，，即，，，，设直线GH的解析式为y＝kx+b，则，，，设M（r，t），则F（0，t），∵FM＝MB＝r，∴r2＝t2+（3﹣r）2，∴t2＝6r﹣9，，，，，，，，．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等相关知识以及（2）中倍长线段、构造字型相似，（3）中构造的外接圆与轴相切时最大是解题的关键．3．（2022·山东日照·日照市新营中学校考一模）如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，①求线段PD长度的最大值．②若为直角三角形，求出P点坐标(3)点E为y轴上一动点，连接AE，BE，形成，当的度数最大时，求点E的坐标．【答案】(1)y=x2-4x+3(2)①；②（1，0）；(3)或【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；（2）①根据抛物线解析式设出P点坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，确定D点的坐标，根据二次函数的性质得出PD的最大值即可；②分情况讨论求出P点的坐标即可；（3）作△ABE的外接圆，根据圆心在抛物线的对称轴上，且当半径最小时∠AEB有最大值，即外接圆与y轴相切时，求出此时的E点坐标即可．(1)解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），∴解得∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；(2)①设P（m，m2-4m+3），由抛物线解析式知，C（0，3），设直线BC的解析式为y=sx+t，将点B、C坐标代入得解得∴直线BC的解析式为y=-x+3，∴D（m，-m+3），∴PD=（-m+3）-（m2-4m+3）=-m2+3m=∴当时，PD有最大值为(3)②若△PBD为直角三角形，则存在以下两种情况：（Ⅰ）如下图，当P点与A点重合时△PBD为直角三角形，即P（1，0），（Ⅱ）如下图，当∠DBP=90°时，∵OB=OC=3，∴∠DBO=45°，∴此时△BPD为等腰直角三角形，由（Ⅰ）知PD=-m2+3m，且BD=BP，∴-m2+3m=2（3-m），且|-m2-4m+3|=-m+3此时无解，∴P点坐标为（1，0）；（3）如下图，作△ABE的外接圆M，则圆心M在AB的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上，AB长度不变，要使∠AEB最大则当⊙M半径最小时，即⊙M与y轴相切时，设E（0，e），则M（2，e），且AM=EM=2，∴E点的坐标为或【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识，熟练掌握二次函数的性质及分类讨论思想是解题的关键．4．（2022·山东济宁·统考一模）如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(，0)，F(0，)；（3）t=9﹣2．【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣x+，∴N(，0)，F(0，)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=，tan∠PBO=，令y=tan∠BPD=，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=(舍)或y=，∴t=﹣×，∴t=9﹣2，∴P(0，9﹣2)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．5．（2020·浙江宁波·统考模拟预测）已知，如图1，O是坐标原点，抛物线（a≠0）经过A、B、C三点，AB⊥y轴于点A，AB=2，AO=4，OC=5，点D是线段AO上一动点，连接CD、BD．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的对称轴分别交BD、CD于点E、F，当△DEF为等腰三角形时，求出点D的坐标；（3）当∠BDC的度数最大时，请直接写出OD的长．【答案】（1）；（2）当△DEF为等腰三角形时，点D的坐标为（0，）或（0，）或（0，12﹣2）；（3）【分析】（1）先确定出点A，B，C的坐标，进而用待定系数法即可得出结论．（2）先判断出要△DEF是等腰三角形，即：△BDH是等腰三角形，设出点D坐标，进而表示出BD，DH，BH，分三种情况建立方程求解即可得出结论．（3）先判断出当△BDC的外接圆与AO相切时，∠BDC最大，后利用三角形，勾股定理计算即可．【详解】（1）∵AB⊥y轴于点A，AB=2，AO=4，OC=5，∴A（0，4），B（2，4），C（5，0），∵抛物线a≠0）经过A、B、C三点，∴解得,∴抛物线解析式为．（2）如图，过点B作BG⊥OC于G，交CD于H，∴点H，G的横坐标为2，∵EF⊥OC，∴EF∥BH，∵△DEF是等腰三角形，∴△BDH是等腰三角形，设D（0，5m）（0≤m≤），∵C（5，0），∴直线CD的解析式为y=﹣mx+5m，∴H（2，3m），∴BH=4﹣3m，∴，，，当BD=DH时，=，∴m=（舍）或m=，∴5m=，∴D（0，），当BD=BH时，=，∴m=，∴D（0，），当BH=DH时，=，∴m=或m=（舍去），∴D（0，12﹣2），即：当△DEF为等腰三角形时，点D的坐标为（0，）或（0，）或（0，12﹣2）；（3）如图，当△BDC的外接圆与AO相切时，∠BDC最大，设外接圆的圆心为E，Q是异于点D的一点，连接QB，QC，交圆于点M，则∠BDC=∠BMC，根据三角形外角性质，得∠BMC＞∠BQC，故∠BDC＞∠BQC，∴∠BDC最大，设OC与圆交于点H，连接DH，DE，根据切线性质，∴∠EDO=∠DOC=90°，作直径HN，连接DN，∴∠HDN=90°，∠DNH=∠DCH，∵ED=EH，∴∠EDH=∠EHD，∴90°-∠EDH=90°-∠EHD，∴∠ODH=∠OCD，∴△ODH∽△OCD，∴OD：OC=OH：OD，∴OD：OC=OH：OD，∴，设DO=y，OH