2024年高考物理一轮复习专题6.1动量和动量定理动量守恒定律精讲含解析

PAGEPAGE13专题6.1动量和动量定理动量守恒定律1.理解动量的的概念，知道冲量的意义；2.理解动量，会计算一维动量变更；3.理解动量变更和力之间的关系，会用来计算相关问题；学问点一动量及动量变更量的理解1．动量(1)定义：运动物体的质量和速度的乘积叫作物体的动量，通常用p来表示。(2)表达式：p＝mv。(3)单位：kg·m/s。(4)标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同。2．动量、动能、动量变更量的比较动量动能动量变更量定义式p＝mvEk＝eq\f(1,2)mv2Δp＝p′－p矢标性矢量标量矢量特点状态量状态量过程量关联方程Ek＝eq\f(p2,2m)，Ek＝eq\f(1,2)pv，p＝eq\r(2mEk)，p＝eq\f(2Ek,v)学问点二冲量、动量定理的理解及应用1．冲量(1)定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量。公式：I＝F·t。(2)单位：冲量的单位是牛·秒，符号是N·s。(3)方向：冲量是矢量，恒力冲量的方向与力的方向相同。2．动量定理(1)内容：物体在一个过程始末的动量变更量等于它在这个过程中所受力的冲量。(2)表达式：Ft＝Δp＝p′－p。(3)矢量性：动量变更量的方向与合外力的方向相同，可以在某一方向上应用动量定理。【拓展提升】动量定理的理解(1)方程左边是物体受到的全部力的总冲量，而不是某一个力的冲量。其中的F可以是恒力，也可以是变力，假如合外力是变力，则F是合外力在t时间内的平均值。(2)动量定理说明的是合外力的冲量I合和动量的变更量Δp的关系，不仅I合与Δp大小相等而且Δp的方向与I合方向相同。(3)动量定理的探讨对象是单个物体或物体系统。系统的动量变更等于在作用过程中组成系统的各个物体所受外力冲量的矢量和。而物体之间的作用力(内力)，由大小相等、方向相反和等时性可知不会变更系统的总动量。(4)动力学问题中的应用。在不涉及加速度和位移的状况下，探讨运动和力的关系时，用动量定理求解一般较为便利。不须要考虑运动过程的细微环节。学问点三动量守恒定律的理解及应用1．动量守恒的条件(1)系统不受外力或所受外力之和为零时，系统的动量守恒。(2)系统所受外力之和不为零，但当内力远大于外力时系统动量近似守恒。(3)系统所受外力之和不为零，但在某个方向上所受合外力为零或不受外力，或外力可以忽视，则在这个方向上，系统动量守恒。2．动量守恒定律的内容假如一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变。3．动量守恒的数学表达式(1)p＝p′(系统相互作用前总动量p等于相互作用后总动量p′)。(2)Δp＝0(系统总动量变更为零)。(3)Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，两物体动量增量大小相等，方向相反)。【拓展提升】动量守恒定律的“五性”矢量性动量守恒定律的表达式为矢量方程，解题应选取统一的正方向相对性各物体的速度必需是相对同一参考系的速度(没有特别说明要选地球这个参考系)。假如题设条件中各物体的速度不是相对同一参考系时，必需转换成相对同一参考系的速度同时性动量是一个瞬时量，表达式中的p1、p2…必需是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量，p′1、p′2…必需是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量，不同时刻的动量不能相加系统性探讨的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统，而不是其中的一个物体，更不能题中有几个物体就选几个物体普适性动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统，还适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统【典例】（2024·湖南衡阳八中模拟）两磁铁各放在一辆小车上，小车能在水平面上无摩擦地沿同始终线运动。已知甲车和磁铁的总质量为0.5kg，乙车和磁铁的总质量为1.0kg。两磁铁的N极相对，推动一下，使两车相向运动。某时刻甲的速率为2m/s，乙的速率为3m/s，方向与甲相反。两车运动过程中始终未相碰。则：(1)两车最近时，乙的速度为多大？(2)甲车起先反向运动时，乙的速度为多大？【答案】(1)1.33m/s(2)2m/s【解析】(1)两车相距最近时，两车的速度相同，设该速度为v，取乙车的速度方向为正方向。由动量守恒定律得m乙v乙－m甲v甲＝(m甲＋m乙)v，所以两车最近时，乙车的速度为v＝eq\f(m乙v乙－m甲v甲,m甲＋m乙)＝eq\f(1.0×3－0.5×2,0.5＋1.0)m/s＝eq\f(4,3)m/s≈1.33m/s。(2)甲车起先反向时，其速度为0，设此时乙车的速度为v乙′，由动量守恒定律得m乙v乙－m甲v甲＝m乙v乙′，得v乙′＝eq\f(m乙v乙－m甲v甲,m乙)＝eq\f(1.0×3－0.5×2,1.0)m/s＝2m/s。【方法规律】应用动量守恒定律的解题步骤(1)明确探讨对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及探讨的过程)。(2)进行受力分析，推断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒)。(3)规定正方向，确定初、末状态动量。(4)由动量守恒定律列出方程。(5)代入数据，求出结果，必要时探讨说明。考点一对动量的理解【典例1】(2024·江苏卷)如图所示，悬挂于竖直弹簧下端的小球质量为m，运动速度的大小为v，方向向下．经过时间t，小球的速度大小为v，方向变为向上．忽视空气阻力，重力加速度为g，求该运动过程中，小球所受弹簧弹力冲量的大小。【答案】2mv＋mgt【解析】取向上为正方向，由动量定理得mv－(－mv)＝I且I＝(eq\x\to(F)－mg)t解得IF＝eq\x\to(F)t＝2mv＋mgt【举一反三】(多选)（2024·北京师范高校附中模拟）关于动量的变更，下列说法中正确的是()A．做直线运动的物体速度增大时，动量的增量Δp的方向与运动方向相同B．做直线运动的物体速度减小时，动量的增量Δp的方向与运动方向相反C．物体的速度大小不变时，动量的增量Δp为零D．物体做平抛运动时，动量的增量肯定不为零【答案】ABD【解析】当做直线运动的物体的速度增大时，其末态动量p2大于初态动量p1，由矢量的运算法则可知Δp＝p2－p1＞0，与物体运动方向相同，如图(a)所示，所以A选项正确。当做直线运动的物体速度减小时，p2＜p1，如图(b)所示，Δp与p1(或p2)方向相反，与运动方向相反，故B选项正确。当物体的速度大小不变时，其方向可能变更，也可能不变更，故动量可能不变更即Δp＝0，也可能动量大小不变而方向变更，此种状况Δp≠0，故C选项错误。当物体做平抛运动时，速度的大小和方向变更，即动量肯定变更，Δp肯定不为零，如图(c)所示，故D选项正确。【方法技巧】理解动量和动能的四点留意(1)动量是矢量，动能是标量。(2)动量和动能都是状态量。冲量引起动量的变更，总功引起动能的变更。(3)若物体的动能发生了变更，其动量也肯定会发生变更；而物体的动量发生变更时，其动能不肯定发生变更。(4)动量和动能均与参考系的选取有关，中学阶段通常选取地面为参考系。它们的大小关系：p＝eq\r(2mEk)或Ek＝eq\f(p2,2m)。【变式1】(2024·全国卷Ⅰ，14)高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，列车的动能()A．与它所经验的时间成正比 B．与它的位移成正比C．与它的速度成正比 D．与它的动量成正比【答案】B【解析】列车启动的过程中加速度恒定，由匀变速直线运动的速度与时间关系可知v＝at，且列车的动能为Ek＝eq\f(1,2)mv2，由以上整理得Ek＝eq\f(1,2)ma2t2，动能与时间的平方成正比，动能与速度的平方成正比，A、C错误；将x＝eq\f(1,2)at2代入上式得Ek＝max，则列车的动能与位移成正比，B正确；由动能与动量的关系式Ek＝eq\f(p2,2m)可知，列车的动能与动量的平方成正比，D错误。考点二动量定理的应用【典例2】(2024·全国卷Ⅱ)高空坠物极易对行人造成损害。若一个50g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下，与地面的碰撞时间约为2ms，则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为()A．10NB．102NC．103ND．104N【答案】C【解析】依据自由落体运动和动量定理有2gh＝v2(h为25层楼的高度，约75m)，Ft＝mv，代入数据解得F≈1×103N，所以C正确。【方法技巧】动量定理的应用技巧(1)应用I＝Δp求变力的冲量假如物体受到大小或方向变更的力的作用，则不能干脆用I＝Ft求冲量，可以求出该力作用下物体动量的变更Δp，等效代换得出变力的冲量I。(2)应用Δp＝FΔt求动量的变更例如，在曲线运动中，速度方向时刻在变更，求动量变更(Δp＝p2－p1)须要应用矢量运算方法，计算比较困难。假如作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换得出动量的变更。【变式2】（2024·山西平遥中学模拟）(多选)在某次杂技表演中，一演员平躺在水平面上，腹部上方静置一质量M＝80kg的石板，另一演员手持一质量为m＝5kg的铁锤，从h1＝1.8m高处由静止落下，与石板撞击后反弹至h2＝0.05m处，结果石板裂开而平躺着的演员没有受伤。若铁锤撞击石板的时间为t1＝0.01s，由于缓冲，演员腹部与石板相互作用的时间为t2＝0.5s，铁锤的下落视为自由落体运动，重力加速度g取10m/s2，则()A．铁锤撞击石板前瞬间的速度大小为6m/sB．撞击过程中铁锤受到的冲量大小为25N·sC．撞击过程中铁锤对石板的平均作用力大小为3550ND．缓冲过程中石板对演员的平均作用力大小约为4300N【答案】AC【解析】设铁锤撞击石板前瞬间的速度大小为v，则由自由落体运动规律可得v2＝2gh1，解得v＝6m/s，A正确；设撞击后铁锤反弹的速度大小为v′，则由v′2＝2gh2，解得v′＝1m/s，由动量定理可得撞击过程中铁锤受到的冲量大小I＝m(v′＋v)，解得I＝35N·s，B错误；设撞击过程中石板对铁锤的作用力大小为F，则有I＝(F－mg)t1，解得F＝3550N，由牛顿第三定律可知铁锤对石板的作用力大小为3550N，C正确；碰撞过程时间很短，可近似认为动量守恒，设碰撞后瞬间石板的速度大小为v1，则由动量守恒定律可得mv＝Mv1－mv′，代入数据解得v1＝eq\f(7,16)m/s，设缓冲过程中人对石板的作用力大小为F′，由动量定理可得(F′－Mg)t2＝Mv1，解得F′＝870N，D错误。考点三动量定理与图象的结合【典例3】(多选)(2024·全国卷Ⅲ)一质量为2kg的物块在合外力F的作用下从静止起先沿直线运动。F随时间t变更的图线如图所示，则()A．t＝1s时物块的速率为1m/sB．t＝2s时物块的动量大小为4kg·m/sC．t＝3s时物块的动量大小为5kg·m/sD．t＝4s时物块的速度为零【答案】AB【解析】A对：前2s内物块做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝eq\f(F1,m)＝eq\f(2,2)m/s2＝1m/s2，t＝1s时物块的速率v1＝a1t1＝1m/s。B对：t＝2s时物块的速率v2＝a1t2＝2m/s，动量大小为p2＝mv2＝4kg·m/s。C错：物块在2～4s内做匀减速直线运动，加速度的大小a2＝eq\f(F2,m)＝0.5m/s2，t＝3s时物块的速率v3＝v2－a2t3＝(2－0.5×1)m/s＝1.5m/s，动量大小p3＝mv3＝3kg·m/s。D错：t＝4s时物块的速度v4＝v2－a2t4＝(2－0.5×2)m/s＝1m/s。【变式3】（2024·辽宁大连二十四中模拟）(多选)水平力F方向确定，大小随时间的变更如图甲所示，用力F拉静止在水平桌面上的小物块，物块质量为3kg，在F从0起先渐渐增大的过程中，物块的加速度随时间变更的图象如图乙所示，重力加速度大小为10m/s2，最大静摩擦力大于滑动摩擦力，由图象可知()甲乙A．物块与水平桌面间的最大静摩擦力为3NB．在0～4s时间内，水平力F的冲量为48N·sC．在0～4s时间内，合外力的冲量为12N·sD．在0～4s时间内，合外力做的功为24J【答案】CD【解析】由题图乙可知，t＝2s时刻物体刚起先运动，静摩擦力最大，最大静摩擦力等于此时的拉力，由题图甲读出最大静摩擦力为6N，故A项错误；在0～4s时间内，用面积法求水平力F的冲量为24N·s，故B项错误；a­t图象与时间轴所围的面积表示速度的变更量，则得0～4s内物体速度的增量为Δv＝eq\f(1＋3,2)×(4－2)＝4m/s，依据动量定理，0～4s内合外力的冲量为I＝Δp＝mΔv＝3×4＝12N·s，故C项正确；依据动能定理，0～4s内合外力做的功为W＝eq\f(1,2)mv2＝24J，故D项正确。考点四应用动量定理处理“流体”类问题【典例4】(2024·高考全国卷Ⅰ)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试胜利，这标记着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展．若某次试验中该发动机向后喷射的气体速度约为3km/s，产生的推力约为4.8×106N，则它在1s时间内喷射的气体质量约为()A．1.6×102kgB．1.6×103kgC．1.6×105kgD．1.6×106kg【答案】B【解析】依据动量定理有FΔt＝Δmv－0，解得eq\f(Δm,Δt)＝eq\f(F,v)＝1.6×103kg/s，所以选项B正确。【易错警示】两类流体运动模型第一类是“汲取模型”，即流体与被碰物质接触后速度为零，其次类是“反弹模型”，即流体与被碰物质接触后以原速率反弹．设时间t内流体与被碰物质相碰的“粒子”数为n，每个“粒子”的动量为p，被碰物质对“粒子”的作用力为F，以作用力的方向为正，则“汲取模型”满意Ft＝0－n(－p)，“反弹模型”满意Ft＝np－n(－p)．“反弹模型”的动量变更量为“汲取模型”的动量变更量的2倍，解题时肯定要明辨模型，避开错误．【变式】(2024·全国卷Ⅰ)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算便利起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周匀称散开。忽视空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。求：(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。【答案】(1)ρv0S(2)eq\f(v\o\al(2,0),2g)－eq\f(M2g,2ρ2v\o\al(2,0)S2)【解析】(1)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则Δm＝ρΔV ①ΔV＝v0SΔt ②由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为eq\f(Δm,Δt)＝ρv0S。 ③(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v。对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得eq\f(1,2)(Δm)v2＋(Δm)gh＝eq\f(1,2)(Δm)veq\o\al(2,0) ④在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变更量的大小为Δp＝(Δm)v ⑤设水对玩具的作用力的大小为F，依据动量定理有FΔt＝Δp ⑥由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得F＝Mg ⑦联立③④⑤⑥⑦式得h＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)－eq\f(M2g,2ρ2v\o\al(2,0)S2)。 ⑧【方法技巧】应用动量定理求解流体冲击力的详细思路1．探讨对象经常须要选取流体为探讨对象，如水、空气等。2．探讨方法先隔离出肯定形态的一部分流体作为探讨对象，然后列式求解。3．基本思路(1)在极短时间Δt内，取一小柱体作为探讨对象。(2)求小柱体的体积ΔV＝vSΔt(3)求小柱体质量Δm＝ρΔV＝ρvSΔt(4)求小柱体的动量变更Δp＝vΔm＝ρv2SΔt(5)应用动量定理FΔt＝Δp【变式4】（2024·黑龙江鹤岗一中模拟）一艘宇宙飞船以v＝1.0×104m/s的速度进入密度为ρ＝2.0×10－7kg/m3的微陨石流中，假如飞船在垂直于运动方向上的最大截面积S＝5m2，且认为微陨石与飞船碰撞后都附着在飞船上。为使飞船的速度保持不变，飞船的牵引力应为多大？【答案】100N【解析】设t时间内附着在飞船上的微陨石总质量为Δm，则Δm＝ρSvt ①这些微陨石由静止至随飞船一起运动，其动量增加是受飞船对其作用的结果，由动量定理有Ft＝Δp＝Δmv ②则微陨石对飞船的冲量大小也为Ft，为使飞船速度保持不变，飞船应增加的牵引力为ΔF＝F ③综合①②③并代入数值得ΔF＝100N，即飞船的牵引力应为100N。考点五动量守恒的推断及应用【典例五】（2024·江苏卷）质量为M的小孩站在质量为m的滑板上，小孩和滑板均处于静止状态，忽视滑板与地面间的摩擦．小孩沿水平方向跃离滑板，离开滑板时的速度大小为v，此时滑板的速度大小为_________。A． B． C． D．【答案】B【解析】设滑板的速度为，小孩和滑板动量守恒得：，解得：，故B正确。【变式5】(2024·全国卷Ⅰ)将质量为1.00kg的模型火箭点火升空，50g燃烧的燃气以大小为600m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为(喷出过程中重力和空气阻力可忽视)()A．30kg·m/s B．5.7×102kg·m/sC．6.0×102kg·m/s D．6.3×102kg·m/s【答案】A【解析】由于喷气时间短，且不计重力和空气阻力，则火箭和燃气组成的系统动量守恒。燃气的动量p1＝mv＝0.05×600kg·m/s＝30kg·m/s，则火箭的动量p2＝p1＝30kg·m/s，选项A正确。考点六多物体多过程的动量守恒问题【典例六】(2024·高考全国卷Ⅱ)一质量为m＝2000kg的汽车以某一速度在平直马路上匀速行驶．行驶过程中，司机突然发觉前方100m处有一警示牌，马上刹车．刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间的变更可简化为图(a)中的图线．图(a)中，0～t1时间段为从司机发觉警示牌到实行措施的反应时间(这段时间内汽车所受阻力已忽视，汽车仍保持匀速行驶)，t1＝0.8s；t1～t2时间段为刹车系统的启动时间，t2＝1.3s；从t2时刻起先汽车的刹车系统稳定工作，直至汽车停止．已知从t2时刻起先，汽车第1s内的位移为24m，第4s内的位移为1m.(1)在图(b)中定性画出从司机发觉警示牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v－t图线；(2)求t2时刻汽车的速度大小及此后的加速度大小；(3)求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小及t1～t2时间内汽车克服阻力做的功；从司机发觉警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少(以t1～t2时间段始末速度的算术平均值替代这段时间内汽车的平均速度)?【答案】(1)见解析图(2)28m/s8m/s2(3)30m/s1.16×105J87.5m【解析】(1)v－t图象如图所示．(2)设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小为v1，则t1时刻的速度也为v1；t2时刻的速度为v2.在t2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速度大小为a.取Δt＝1s．设汽车在t2＋(n－1)Δt～t2＋nΔt内的位移为sn，n＝1，2，3….若汽车在t2＋3Δt～t2＋4Δt时间内未停止，设它在t2＋3Δt时刻的速度为v3，在t2＋4Δt时刻的速度为v4，由运动学公式有s1－s4＝3a(Δt)2①s1