《简明线性代数》1-1-矩阵及其运算

§1.3逆矩阵第一章矩阵与行列式§1.1

矩阵及其运算§1.2行列式§1.4矩阵分块法二、矩阵的乘法运算§1.1矩阵及其运算

一、矩阵及其线性运算三、矩阵的转置运算

用粗体大写字母表示矩阵,以上矩阵记为

A

(aij).

m

n

矩阵

aij

:矩阵的第i

行第j列的元素,简称(i,j)元.一、矩阵及其线性运算

由m

n

个数aij

(i

1,2,,m;j1,2,,n)排成的m

行n

列的矩形数表称为m

n

矩阵,矩阵是一个整体,总是加一括号.

当标明矩阵

A

的行列数时,表示为Am

n

,或(aij)m

n

.并称m

n

为矩阵的型.

相等矩阵

设A=(aij)与B=(bij)都是m

n

矩阵,如果那么称矩阵A

与矩阵B

相等,记为

A=B.

零矩阵

所有元素为0的矩阵称为零矩阵,用

O

记之.注:不同型的零矩阵是不相等的.

只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵或行(列)向量.

为避免元素间的混淆,行矩阵A

(a1

a2

an)也记为(2)数与矩阵的乘积(数乘运算)

矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算.

线性运算律

设A,B,C

为同型矩阵,k,l为数,则成立

矩阵的线性运算

设A=(aij)和B=(bij)是m

n

矩阵,k

为数.(1)矩阵的加法运算矩阵的减法A

的负矩阵

A

(1)A例1

设A+2B

-C=O,其中解

求x,y,u,v

的值.解得由A+2B

-C=O,得二、矩阵的乘法运算

设有从变元x1,

,xn

到变元

y1,

,ym

的线性变换记称矩阵A

为线性变换的系数矩阵.

设有两个线性变换将(2)代入(1)得线性变换其中推导:

两矩阵的乘积

设有两个线性变换将(2)代入(1)得线性变换其中

线性变换(1)-(3)的系数矩阵依次记为A,B,C,定义C=

AB.

设A=(aik

)m

l

,B=(bkj

)l

n

,记称矩阵C=(cij

)m

n

为矩阵A

与B

的乘积,记为C=

AB.

两矩阵的乘积

设A=(aik

)m

l

,B=(bkj

)l

n

,记称矩阵C=(cij

)m

n

为矩阵A

与B

的乘积,记为C=

AB.

AB

中的(i,j)元为A

的第i

行与B

的第

j

列的乘积.

乘积AB

存在时,要求

A

的列数与B

的行数相等.

很可能AB

有意义,而BA

没有意义.

零矩阵的运算性质例2

计算解解例3

设计算AB,BA.

矩阵的乘法不满足交换律.

在AB

中,称用

A

左乘

B,或称用B

右乘

A.

由AB=O,不能断言A=O

或B=O.

乘法运算律

假设以下有关运算可行,则成立(1)(2)(3)

线性变换可写成矩阵形式利用矩阵乘法,上式记为矩阵形式

y=Ax,其中

线性方程组可记为矩阵形式

Ax=b,其中

当b0时,称方程组为非齐次的.当b=0时,称方程组为齐次的;称矩阵A为线性方程组的系数矩阵.称矩阵为线性方程组的增广矩阵.例4

已知两个线性变换解

求从x1,x2,x3

到z1,z2,z3

的线性变换.所求为n

阶方阵

行数和列数都等于n

的矩阵称为

n

阶方阵.

当标明方阵

A

的阶数时,用An

表示.

三角矩阵

上三角[矩]阵

上(下)三角阵的乘积也是上(下)三角阵下三角[矩]阵

对角矩阵

单位矩阵

(单位矩阵也用I

记之)

单位矩阵的运算性质

对角阵的运算性质

方阵的幂

设A

是方阵,由k

个

A

组成的乘积

A

A,称为方阵A

的k

次幂,记为Ak.规定A0=

E.

方阵幂的性质

当方阵

A与

B可交换(AB=BA)时,有下列几个公式:(1)(2)(3)

对角阵的幂解先计算低次幂,观察特点.例5

设求An.假设因此则解1

因此例6

设

求An.

解2

假设则解

其中例7

设求An.

因aE

与B

可交换,于是

>>>

>>>

转置矩阵三、矩阵的转置运算

把矩阵

A

的各行作为相同序号的列,形成矩阵B,称矩阵B

为矩阵A的转置矩阵,记为

AT

或A

.

例如,设矩阵

则矩阵A的转置矩阵为试观察矩阵A有何特点?

——3阶幻方>>>

转置运算的性质(1)(2)(3)(4)(4)的证明设记则于是所以D

=

CT,即(穿脱律)

对称矩阵

设A

为方阵,若AT

=

A,则称A

为对称矩阵.

反对称矩阵

设A

为方阵,若AT

=

-A,则称A

为反对称矩阵.

任一方阵都可表示为一个对称阵与一个反对称阵之和.证明设A

为方阵,因