线性代数第5版课件：二次型的标准形

线性代数复习正交替换法配方法初等变换法

化二次型为标准形复习标准形二次型线性替换:X＝CY.可逆（非退化）线性替换；正交替换

原二次型

f(X)＝XTAXX＝CY新二次型

f(Y)＝YTBYB与A关系：合同B＝CTAC(反身、对称、传递性，秩相等)化二次型为标准形

给定对称矩阵A，求可逆矩阵C,使CTAC＝D(对角阵)二次型对称矩阵二次型的标准形的定义所变成的平方和形式注：1）任一二次型的标准形是存在的.

2）可应用配方等方法得到二次型的标准形.二次型

经过非退化线性替换

的一个标准形.

称为

在解析几何中,选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴

(标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线

从代数观点看作适当的非退化线性替换

只含平方项的多项式二次齐次多项式

(标准形)一、正交替换法定理1

任一实二次型

f(X)＝XTAX均可经正交替换

X＝QY化为标准形

,其中

为A的全部特征值,Q的列向量为对应于的标准正交特征向量.定理对实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ＝QTAQ为对角阵。f=XTAXf=YTDYX＝CYD＝CTAC前例:

求正交阵Q,使Q-1AQ为对角形.2.用正交替换法化实二次型为标准形1.已知实对称矩阵A,求正交阵Q,使QTAQ为对角阵.

改为本章题型：例1求正交变换X＝QY，将二次型化为标准形.解：正交化:将单位化为，则Q是正交矩阵.经过正交替换X＝QY，原二次型化为标准形：令例2.将曲面方程化为标准方程,并指出所代表的曲面(引例)解:左边二次型

f

的矩阵为单位化后按列排成矩阵得Q是正交矩阵，且故曲面方程经正交变换即化为标准方程由解析几何知，曲面是椭球面.二、配方法定理2

数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线性替换化为标准形.证明略。后面以例说明.

定理3

数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同.A二次型XTAX定理2标准形YTDYD5.1定理D=CTAC

A

D用“矩阵合同”概念表述定理:例3.

用配方法化二次型为标准形，并求出所用的非退化线性替换.y1＝x1－2x2y2＝x2＋x3y3＝x3解：注：用正交替换法化该二次型为标准形与配方法结果不同，二次型的标准形不唯一.正交替换X＝QY，原二次型化为：例4.

用配方法化二次型

为标准形,并求出所用的非退化线性替换.解：例5.

用配方法化二次型

为标准形,并求出所用的非退化线性替换.解:二次型中不含平方项,无法配方.由于含交叉项,故先作非退化线性替换：得：再配方，得令即标准形：二次型化为标准形：所作非退化线性替换为：X＝CZ，其中思考：用可逆线性替换将下列二次型化为标准形三、初等变换法若对A施以初等行变换的同时施以相应的初等列变换，将A化为对角矩阵D,则对E仅施以上述一系列列变换即得C．C可逆C=P1P2…PkEP1P2…Pk＝CPkT…P2TP1TAP1P2…Pk＝D化二次型为标准形

给定对称矩阵A，求可逆矩阵C,使CTAC＝D(对角阵)CT=PkT…P2TP1TCTAC＝D即:PkT…P2TP1TAP1P2…Pk＝DAE

行变换DC相应列变换操作过程原矩阵行列对应单位矩阵只做列变换例6.

用初等变换法化为标准形.解：?！c1+c2r1+r2r2-r1r3-r1c2-c1c3-c1标准形为：非退化线性替换为：机动

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习题5.2

1(1),2,4

线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言．

David.C.Lay

二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。

魏尔斯特拉斯（1815-18979，德国数学家，微积分严格化领袖）比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。

魏尔斯特拉斯

二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日和