课件：平面向量的坐标运

平面向量的坐标表示向量是表示大小和方向的量。平面向量可以用坐标来表示，这种表示方法既简洁又便于运算。平面向量的定义1定义具有大小和方向的量叫做向量。在平面内，我们称之为平面向量。2表示用有向线段表示向量，起点称为始点，终点称为终点。3相等方向相同且长度相等的向量称为相等向量。4零向量长度为0的向量称为零向量，零向量没有方向。平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，可以用一对有序实数来表示一个平面向量，称为该向量的坐标。设向量a的起点为O，终点为A，则A的坐标为(x,y)，则向量a的坐标为(x,y)，记为a=(x,y)。坐标表示可以方便地进行向量运算和分析。平面向量的基本运算加法运算两个向量的加法可以用平行四边形法则或三角形法则进行。减法运算两个向量的减法可以通过将第二个向量反向后进行加法运算。数乘运算一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量，其方向与原向量相同或相反，大小为原向量大小的k倍。加法运算1平行四边形法则将两个向量首尾相接2坐标法则对应坐标相加3几何意义向量之和为两个向量首尾相接所构成的平行四边形的对角线减法运算1定义两个向量相减，就是将被减向量加上减向量的相反向量。2公式设向量a=(a1,a2),向量b=(b1,b2),则a-b=(a1-b1,a2-b2).3几何意义向量a-b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量。数乘1定义实数λ与向量a的积，记作λa，称为向量a的数乘。λa的方向与a的方向相同，当λ>0时，λa的模是|λ|倍的a的模；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反，λa的模是|λ|倍的a的模；当λ=0时，λa是零向量。2几何意义数乘向量是指将向量按比例放大或缩小。当数乘系数为正数时，向量方向不变；当数乘系数为负数时，向量方向反向。3运算性质λ(a+b)=λa+λb,(λ+μ)a=λa+μa,(λμ)a=λ(μa),1a=a,0a=0。平面向量的长度设向量a=(x,y)，则其长度（或模）记为|a|，表示向量a的起点到终点的距离。根据勾股定理，可得|a|=√(x2+y2)。平面向量的夹角定义两个非零向量a和b的夹角是指它们起点重合时所成的角，记作∠aob，其中0°≤∠aob≤180°。计算设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a和b的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ=(a·b)/(||a||||b||)正交向量定义如果两个非零向量a和b的夹角为90度，则称a和b互相正交。性质两个正交向量的点积为0。平面向量的性质加法交换律a+b=b+a加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)数乘分配律k(a+b)=ka+kb数乘结合律(k1*k2)a=k1(k2a)平面向量的几何意义平面向量不仅是数学概念，更与几何图形有着密切的联系。平面向量可以用来表示平面上点的位移、方向、长度等几何要素。例如，向量AB可以表示点A到点B的位移，其长度等于A和B两点之间的距离，其方向则指向B点。平面向量的投影定义将一个向量投影到另一个向量上，得到一个新的向量，称为原向量的投影向量。计算投影向量可以通过点乘和向量长度计算得出。应用投影向量广泛应用于力学、几何学等领域。正交分解1向量分解将一个向量分解成两个或多个互相垂直的向量2正交分解将向量分解成两个互相垂直的向量，称为正交分解3应用简化向量运算，解决实际问题平面向量的应用力的合成与分解利用向量的加减运算，可以方便地进行力的合成与分解。速度及加速度的合成与分解利用向量运算，可以方便地计算速度和加速度的合成与分解。平面几何问题的向量法解利用向量运算，可以将平面几何问题转化为向量运算问题，从而简化求解过程。力的合成与分解1力的合成多个力共同作用于同一个物体，它们的作用效果可以用一个等效的力来代替，这个等效力称为合力。2力的分解将一个力分解为两个或多个力的作用，称为力的分解。3平行四边形法则两个力合成时，以这两个力为邻边作平行四边形，合力为平行四边形的对角线。速度及加速度的合成与分解速度合成速度是矢量,可以进行合成和分解.速度分解将一个速度分解成两个或多个相互垂直的成分.加速度合成加速度也是矢量,可以进行合成和分解.加速度分解将一个加速度分解成两个或多个相互垂直的成分.平面几何问题的向量法解1建立坐标系将几何图形放置在平面直角坐标系中，用坐标表示各个点和向量。2向量表示利用向量的坐标表示，将几何问题转化为向量问题。3运用向量运算根据向量的性质和运算规则，进行向量运算，求解问题。平面向量的点乘定义两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)的点乘定义为：a·b=x1x2+y1y2运算结果点乘的结果是一个标量，而不是向量。公式a·b=|a||b|cosθ，其中θ是向量a和b的夹角。点乘的性质1交换律a·b=b·a2分配律(a+b)·c=a·c+b·c3结合律(ka)·b=k(a·b)点乘的几何意义投影长度两个向量点乘的结果等于其中一个向量在另一个向量上的投影长度，再乘以另一个向量的长度。夹角计算点乘可以用于计算两个向量之间的夹角。可以通过点乘公式来计算夹角的余弦值。平面向量的叉乘定义设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a×b=x1y2-x2y1性质叉乘结果是一个数值，不构成向量。a×b=-b×a几何意义叉乘结果的绝对值等于由向量a和b所构成的平行四边形的面积叉乘的性质反交换律a×b=-b×a分配律(a+b)×c=a×c+b×c结合律(ka)×b=k(a×b)=a×(kb)叉乘的几何意义两个向量的叉积是一个与这两个向量都垂直的向量，它的方向由右手定则决定。叉积的模长等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。平面向量的坐标表示应用1线段的坐标表示可利用坐标表示求线段长度、中点坐标等信息2平行向量的判定可利用坐标表示判断两个向量是否平行3垂直向量的判定可利用坐标表示判断两个向量是否垂直线段的坐标表示1起点线段的起始位置2终点线段的结束位置线段的长度方法公式向量法|AB|=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]平行向量的条件方向相同两个向量方向相同或相反，则它们平行