第7章 参数估计

参数估计《概率论与数理统计》&人民邮电出版社07目录/Contents7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.1点估计一、矩估计二、极大似然估计

两个常用方法:矩估计法和极大似然估计法.所求出的估计量则分别称为矩估计量和极大似然估计量.

AB一、矩估计

例101OPTION02OPTION

一、矩估计

解一、矩估计

一、矩估计

一、矩估计解（1）

一、矩估计解（2）

例3一、矩估计

解

一、矩估计

关于矩估计量有下列结论:一、矩估计

例4解

一、矩估计01OPTION02OPTION03OPTION

一、矩估计

补例解一、矩估计

补例由已知条件可求得

解

一、矩估计例5

设一箱子中装有黑和白两种颜色的球，其中一种颜色的球有99个，另一种颜色的球只有1个.但是不知道那个颜色的球是只有1个.我们随机地从这个箱子里有放回地取2个球，结果取得的都是白球，问这个箱子中那个颜色的球只有1个？二、极大似然估计

二、极大似然估计

二、极大似然估计

二、极大似然估计分析：

二、极大似然估计

二、极大似然估计极大似然估计的定义：

二、极大似然估计

二、极大似然估计可微函数时,则将似然函数取对数：

二、极大似然估计

建立并求解似然方程组:一般说来,极大似然估计值可由解对数似然方程得到.当似然函数不可微时,也可直接寻求使得似然函数达到最大的解来得到极大似然估计值和估计量.二、极大似然估计

例7

二、极大似然估计

二、极大似然估计②对似然函数取对数:解（1）①写出似然函数

例8

二、极大似然估计解方程组得③建立似然方程组:

二、极大似然估计④由此即得未知参数的极大似然估计量为

二、极大似然估计

二、极大似然估计

二、极大似然估计

解样本的似然函数为

二、极大似然估计

二、极大似然估计

二、极大似然估计于是从原始定义出发讨论,发现

二、极大似然估计

二、极大似然估计

解总体分布为补例二、极大似然估计

②对似然函数取对数二、极大似然估计这就是使似然函数达到最大的参数取值,即极大似然估计值.

③对未知参数求导并令其为零,即建立似然方程:

二、极大似然估计

④写出未知参数的极大似然估计量:

性质二、极大似然估计

二、极大似然估计

解样本观测值的似然函数为

二、极大似然估计

二、极大似然估计

取对数:二、极大似然估计

建立并求解似然方程组:一般说来,极大似然估计值可由解对数似然方程得到.似然函数不可微时,也可直接寻求使得似然函数达到最大的解来得到极大似然估计值和估计量.二、极大似然估计极大似然估计求解对数似然求导法直接法似然函数二、极大似然估计目录/Contents7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.2点估计的优良性评判标准一、无偏性二、有效性三、相合性

如果定义1一、无偏性

解

(1)由矩估计定义可知

试求1

23例1一、无偏性

故

一、无偏性

一、无偏性

例2一、无偏性

解

一、无偏性

则有

因此,样本均值是总体均值的无偏估计,样本方差是总体方差的无偏估计,而样本的二阶中心矩是总体方差的渐近无偏估计。定理1一、无偏性

由统计量性质知

补例解

一、无偏性

定义2

例1续二、有效性

又

进一步可得二、有效性

试求解下列问题:试比较这两个估计的有效性.

补例01OPTION02OPTION二、有效性

故因此可见这两个估计都是无偏的;

二、有效性

解⑵又因为因此二、有效性

定义3

三、相合性

定理2

三、相合性

例3证明

三、相合性

补例

证明三、相合性7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents

置信区间

置信区间6

置信区间6

置信区间置信水平95%的几何解释

6置信区间置信水平50%的几何解释

6置信区间定义2

置信区间

置信区间定义3

求参数置信区间的一般步骤:

1置信区间2

置信区间34

置信区间

置信区间

置信区间7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.4单正态总体下未知参数的置信区间一、均值的置信区间二、方差的置信区间

目录/Contents

12一、均值的置信区间

取

一、均值的置信区间

相应的置信区间观测值为:

一、均值的置信区间

一、均值的置信区间

例1

故期望的双侧0.95置信区间为

一、均值的置信区间

一、均值的置信区间相应的置信区间观测值为

一、均值的置信区间

一、均值的置信区间

一、均值的置信区间一、均值的置信区间

单侧下限单侧上限一、均值的置信区间

12二、方差的置信区间

二、方差的置信区间

二、方差的置信区间

二、方差的置信区间而标准差的置信区间为

二、方差的置信区间

例2续

二、方差的置信区间

补例二、方差的置信区间

二、方差的置信区间

二、方差的置信区间二、方差的置信区间7.17.27.37.47.5点估计点估计的优良性评判标准置信区间单正态总体下未知参数的置信区间两个正态总体下未知参数的置信区间目录/Contents7.5两个正态总体下未知参数的置信区间一、均值差的置信区间二、方差比的置信区间目录/Contents

一、均值差的置信区间

1一、均值差的置信区间2

一、均值差的置信区间1

相应的单侧置信区间：

一、均值差的置信区间

例1解一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间

2

一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间相应的单侧置信区间：

一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间

一、均值差的置信区间

12

二、方差比的置信区间

1

二、方差比的置信区间

二、方差比的置信区间

二、方差比的置信区间2

二、方差比的置信区间

例3解二、方差比的置信区间

二、方差比的置信区间参数估计点估计点估计的定义点估计的方法矩估计极大似然估计评判标准无偏性有效性相合性区间估计置信区间定义正态总体参数的置信区间单正态总体情形两个正态总体情形总结/summary谢谢观赏《概率论与数理统计》&人民邮电出版社