2023年八年级数学全册教案新人教版

第十一章全等三角形

11.1全等三角形

教学目的:

1理解全等形及全等三角形的的概念；

2理解全等三角形的性质；

3在图形变换以及实际操作的过程中发展学生日勺空间观念，培养学生的几何直觉；

4学生通过观测、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索

和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。

重点：探究全等三角形的性质

难点：掌握两个全等三角形的对应边，对应角

教学过程：

观测下图案，指出这些图案中中形状与大小相似的图形

问题：你还能举出生活中某些实际例子吗？

这些形状、大小相似的图形放在一起可以完全重叠。可以完全重叠的I两个图形叫做

全等形

可以完全重叠日勺两个三角形叫做全等三角形

引导学生完毕书本P3思索:

归纳:

一种图形通过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即

平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用“丝”表达，读作“全等于”

两个三角形全等时，一般把表达对应顶点的字母写在对应的位置上，如ZIABC和/

DEF全等时，点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点，记作/ABC丝NDEF。

把两个全等的三角形重叠到一起，重叠H勺顶点叫做对应顶点，重叠日勺边叫做对应边,

重叠口勺角叫做对应角

思索:如书本P3思索图11.1T中,/ABC丝/DEF,对应边有什么关系？对应角呢?

归纳：

全等三角形性质：

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等。

思索：

(1)下面是两个全等的三角形，按下图形的位置摆放，指出它们H勺对应顶点、对应

边、对应角

(2)将/ABC沿直线BC平移，得到/DEF,说出你得到的结论，阐明理由？

AD

(3)如图，ZIABE^JACD,AB与AC,AD与AE是对应边，己知：ZA=43°,ZB=30°,

求NADCRj大小。

A_

作业：P4习题11.1第1,2,3题。

课题：11.2三角形全等日勺鉴定（1）

教学目的

①经历探索三角形全等条件的过程，体会运用操作、归纳获得数学结论的过程.

②掌握三角形全等的“边边边”条件，理解三角形的稳定性.

③通过对问题时共同探讨，培养学生日勺协作精神.

教学难点

三角形全等条件的探索过程.

一、复习过程，引入新知

多媒体显示，带领学生复习全等三角形口勺定义及其性质，从而得出结论：全等

三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等.反之，这六个元素分别相等，这样

n勺两个三角形一定全等.

二、创设情境，提出问题

根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，与否一定需要六个条件呢?假如只满

足上述六个条件中的一部分，与否也能保证两个三角形全等呢？

组织学生进行讨论交流，通过学生逐渐分析，多种状况逐渐明朗，进行交流予以汇

总归纳.

三、建立模型，探索发现

出示探究1,先任意画一种△ABC,再画一种△A'B'C',使AABC与△A'B'C',满足

上述条件中的一种或两个.你画出的△△‘B'C'与AABC一定全等吗？

让学生按照下面给出H勺条件作出三角形.

(1)三角形日勺两个角分别是30°、50°.

(2)三角形H勺两条边分别是4cm,6cm.

(3)三角形的一种角为30°,一条边为3cm.

再通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：只给出一种或两个条件时,

都不能保证所画出的三角形一定全等.

出示探究2,先任意画出一种△ABC,使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A,=CA,

把画好『、JZ^ABC剪下，放至U^ABC上，它们全等吗?

让学生充足交流后，在教师的引导下作出△A'B'C',并通过比较得出结论：

三边对应相等的两个三角形全等.

四、应用新知，体验成功

实物演示：由三根木条钉成口勺一种三角形的框架，它口勺大小和形状是固定不

变犯

鼓励学生举出生活中口勺实例.

给出例1,如下图4ABC是一种钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,

求证△ABDgAACD.

BDC

让学生独立思索后口头体现理由，由教师板演推理过程.

例2如图是用圆规和直尺画已知角的平分线日勺示意图，作法如

下：

①以A为圆心画弧，分别交角H勺两边十点B和点C；

②分别以点B.C为圆心，相似长度为半径画两条弧，两弧交于点D；

③画射线AD.

AD就是NBAC的平分线.你能阐明该画法对的日勺理由吗？

例3如图四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD提成两个互

相全等的三角形吗?你有几种措施?你能证明你H勺措施吗?试一试.

AD

BC

五、巩固练习：书本P8页的练习.

六、反思小结

回忆反思本节课对知识的研究探索过程、小结措施及结论，提炼数学思想，掌握数

学规律.

七、布置作业

书本P15习题11.2第1.2题.

课题：11.2三角形全等日勺鉴定2)

教学目的

①经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观测分析图形能力、动手能力.

②在探索三角形全等条件及其运用的过程中，可以进行有条理的思索并进行简朴的

推理.

③通过对问题的共同探讨，培养学生口勺协作精神.

教学难点

指导学生分析问题，寻找鉴定三角形全等口勺条件.

知识重点

应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.

教学过程（师生活动）

一、情境，引入课题

多媒体出示探究3:已知任意△ABC,画△ABC,使A，B，=AB,A，C=AC,ZA'

=NA.

教帅点拨，学生边学边画图，再让学生把画好口勺△A'B'C',剪下放在△ABC上,

观测这两个三角形与否全等.

二、交流对话，探求新知

根据前面的操作，鼓励学生用自己的语言来总结规律：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）

补充强调：角必须是两条相等日勺对应边的夹角，边必须是夹相等角H勺两对边.

三、应用新知，体验成功

出示例2,如图，有一池塘，要测池塘两端A、BR勺距离，可先在平地上取一种可以

直接抵达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE

=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离，为何？

2

呼D

让学生充足思索后，书写推理过程，并阐明每一步的根据.

（若学生不能顺利得到证明思绪，教师也可作如下分析：

要想证AB=DE,

只需证aABC丝ADEC

△ABC与4DEC全等的条件既有……还需要……）

明确证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题，常常通过证明这两个

三角形全等来处理.

补充例题：

1.已知：如图AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE

求证：△ABDgZ\ACE

证明：YNBAC=NDAE（已知）

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD

・•・NBAD=NCAE

在△ABD与△ACE

AB=AC（已知）

NBAD=ZCAE（已证）

AD=AE（已知）

AAABD^AACE（SAS）

思索：

求证：1.BD=CE2.NB=ZC3.NADB=ZAEC

变式1：已知：如图，AB±AC,AD±AE,AB=AC,AD=AE.

求证：△DAC@Z\EAB

BE=DCZB=ZCZD=ZEBE1CD

四、再次探究，释解疑惑

出示探究4,我们懂得，两边和它们日勺夹角对应相等日勺两个三角形全等.由“两边及

其中一边的对角对应相等”的条件能鉴定两个三角形全等吗?为何？

让学生模仿前面的探究措施，得出结论：两边及其中一边的对角对应相等的两

个三角形不一定全等.

教师演示：措施（一）教科书10页图11.2-7.

措施（二）通过画图，让学生更直观地获得结论.

五、巩固练习

书本P10页，练习1.2.

六、小结提高

1.鉴定三角形全等的措施；

2.证明线段、角相等常见日勺措施有哪些?让学生自由表述，其他学生补充，让学生

自己将知识系统化，以自己的方式进行建构.

七、布置作业

1.书本P15页，习题11.2第3・4题.

2.选作题：

（1）小明做了一种如图所示的风筝，测得DE=DF,EH=FH,你能发现哪些结沦?并阐

明理由.

⑵如图，Z1=Z2,AB=AD,AE=AC,求证BC=DE.

A

课题：11.2三角形全等的鉴定(3)

教学目的

①探索并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能应用它们鉴别两个三角

形与否全等.

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、伶图、归纳、体现、逻辑推理等能

力；并通过对知识措施的总结，培养反思的习惯，培养理性思维.

③勇于面对教学活动中的困难，能通过合作交流处理碰到的困难.

教学重点

理解，掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”.

教学难点

探究出“ASA”“AAS”以及它们口勺应用.

教学过程(师生活动)

创设情境

复习：

师：我们已经懂得，三角形全等的鉴定条件有哪些？

生:“SS5”“SAS”

师：那除了这两个条件，满足另某些条件口勺两个三角形与否

也也许全等呢？今天我们就来探究三角形全等的另某些条件。

探究新知：

一张教学用的三角形硬纸板不小心

被撕坏了，如图，你能制作一张与本来

同样大小的新教具？能恢复本来三角形

口勺原貌吗？

1.师：我们先来探究第一种状况.（课件出示“探究5……”）

⑴探究5

先任意画出一种△ABC,再画一种△ABC,使AB=AB,ZA'=ZA,ZB'=

NB（虽然两角和它们H勺夹边对应相等）.把画好的△ABC，剪下，放到aABC上，它们

全等吗？

师：怎样画出△A'B'C'?先自己独立思索，动手画一画。

在画H勺过程中若碰到不能处理H勺问题.可小组合作交流处理.

生：独立探究，试着画△A'B'C',（有问题H勺，可以小组内交流处理……）……

（2）全班讨论交流

我们又增长了一种鉴别三角形全等的措施.尤其应

注意，“边”必须是“两角的夹边”.

练习：已知：如图，AB=A，C,NA=NA',ZB=ZC

求证：ZXABE名AAJCD

己知：点D在AB上，点E在AC_L,BE和CD

相交于点0,AB=AC,ZE=ZCo求证：BD二CE

2.探究6

师：我们再看看下面的条件：

在aABC和ADEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF,AABC与ADEF全等吗？能

运用角边角条件证明你的结论吗？

师：看已知条什，能否用“角边角”条件证明.

师：你是怎么证明的？

（根据学生口勺不一样探究成果，进行不一样的引导）

师：从这可以看出，从这些已知条件中能得出两个三角形全等.这又反应了一种什

么规律？

师：生1很好，这条件我们可以简写成“角角边”或“AAS”，又增长了鉴定两

个三角形全等的一种条件.

强调“AAS”中的边是“其中一种角的对边”.

多让几种学生描述，深入培养归纳、体现口勺能力.

例2.书本P12页例3。

师：从这道例题中，我们又得出了证明线段相等口勺又一措施，先证两线段所在

向三角形全等，这样，对应边也就相等了.

探究7:

(1)三角对应相等门勺两个三角形全等吗？

师：想想，怎样来探究这个问题？

引导学生通过“画两个三角对应相等口勺三角形”，看与否一定全等，或“用两个同

一形状但大小不一样口勺三角板”等等措施来探究阐明.

师：这一规律我们可以怎样体现？

(2)师：说得非常好.目前我们来小结一下；鉴定两个三角形全等我们已经

有了哪些措施？

SSSSASASAAAS

小结提高

师：这节课通过对两个三角形全等条件的深入探究，你有什么收获？

巩固练习

书本P13页，练习1.2.

布置作业

1.书本P15页习题11.2第6.11题

2.如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他与否可以只带其中的一块碎片

到商店去，就能配•块与本来同样的三角形模具呢?假如可以，带哪块去合适?为何？

课题：11.2三角形全等口勺鉴定(4)

教学目口勺

①探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL,并能应用它鉴别两个直角三角形与

否全等.

②经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、径图、归纳、体现、逻辑推理等能

力；并通过对知识措施的总结，培养反思的习惯，培养理性思维.

③提高应用数学啊意识.

教学重点

理解，掌握三角形全等的条件：HL.

教学过程：

提问：

1.鉴定两个三角形全等措施有：，，，。

创设情境：

（显示图片），舞台背景的形状是两个直用三角形，工作人员想懂得这两个直角三

角形与否全等，但每个三角形均有一条直角边被花盆遮住无法测量.

（1）你能帮他想个措施吗？

措施一：测量斜边和一种对应H勺锐角.（AAS）

措施二：测量没遮住日勺一条直角边和一种对应H勺锐用.（ASA）或（AAS）

⑵假如他只带了一种卷尺，能完毕这个任务吗？

工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，

于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？

下面让我们一起来验证这个结论。

新课：

已知线段a、c(a<c)和一种直角a,运用尺规作一种Rt/XABC,使/C=Za,CB=a,

AB=c.

想一想，怎样画呢？

按照下面的环节做一做：

(1)作NMCN二Na=90°;

⑵在射线CM上截取线段CB二a

⑶以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;

⑷连接AB.

⑴△ABC就是所求作日勺三角形吗？

⑵剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重叠吗？

直角三角形全等日勺条件

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

简写成“斜边、直角边”或“HL”.

想一想

你可以用几种措施阐明两个直如三力形全等？

直角三角形是特殊的三角形，因此不仅有一般

三角形鉴定全等日勺措施:SAS、ASA、三S、SSS,

尚有直角三角形特殊日勺鉴定措施一一“HL”.

1.练一练:

如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上,

另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗

杆底部的距离相等吗？请阐明你的理由。

2.如图，有两个长度相似的滑梯，左边滑梯的高度AC

与右边滑梯水平方向Fl勺长度DF相等，两个滑梯口勺倾

斜角NABC和NDFE的大小有什么关系？

解：NABC+NDFE=90°.理由如下：

在RSABC和RtZsDEF中,

则

BC二EF,

AC二DF.

・•・RtAABC^RtADEF(HL).

AZABC=ZDEF

(全等三角形对应角相等).

又NDEF+NDFE=90°,

AZABC+ZDFE=90°.

小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流

作业：书本P16页第7、8题。

§11.3.1角日勺平分线日勺性质（一）

教学目日勺

（一）教学知识点

角平分线的画法.

（二）能力训练规定

1.应用三角形全等的知识，解释角平分线日勺原理.

2.会用尺规作一种已知角日勺平分线.

（三）情感与价值观规定

在运用尺规作图日勺过程中，培养学生动手操作能力与探索精神.

教学重点：运用尺规作已知角日勺平分线.

教学难点：角的平分线的作图措施的提炼.

教学过程：

一.提出问题，创设情境

问题1：三角形中有哪些重要线段.

问题2:你能作出这些线段吗？

假如老师手里只有直尺和网规，你能帮我设计一种作角向平分线口勺操作方案

吗？

二.导入新课

议一议：下图是一种平分角的仪器，其中AB二AD,BODC.将点A放在角口勺

顶点，AB和AD沿着角口勺两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能阐

明它的道理吗？

教师活动：

演示角平分仪器口勺操作过程，使学生直观理解得到射线AC的措施.

AB=AD

BC二DC

AC=AC

因此△ABC也ZXADC(SSS).

因此NCAD二NCAB.

即射线AC就是NDABH勺平分线.

老师再提出问题：

通过上述探究，能否总结出尺规作已知角日勺平分线H勺一般措施.自己动手做做

看.然后与同伴交流操作心得.

(分小组完毕这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，予以启发

和指导，使讲评更具有针对性)

讨论成果展示:

作已知角的平分线的措施:

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分线.

作法：

（1）以。为圆心，合适长为半径作弧，分别交OA.OB于M、N.

（2）分别以M、N为圆心，不小于MN『、J长为半径作弧.两弧在NAOB内部交

于点C.

（3）作射线0C,射线0C即为所求.

（教师根据学生的论述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提

高学习数学的爱好）.

议一议：

1.在上面作法的第二步中，去掉“不小于MN日勺长”这个条件行吗？

2.第二步中所作H勺两弧交点一定在NAOBH勺内部吗？

（设计这两个问题的目的在于加深对角H勺平分线日勺作法的理解，培养数学严密

性的良好学习习惯）

学生讨论成果总结：

1.去掉“不小于MN日勺长”这个条件，所作日勺两弧也许没有交点，因此就找不

到角日勺平分线.

2.若分别以M、N为圆心，不小于MN日勺长为半径画两弧，两弧日勺交点也许在

NAOB•欧J内部，也也许在NAOB的外部，而我们要找的是NAOB内部日勺交点，•否则

两弧交点与顶点连线得到的射线就不是NAOB的平分线了.

3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，•因此第二步中的两个

限制缺一不可.

4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.

练一练：任意画一角NAOB,作它的平分线.

三.随堂练习：书本P19练习.

练后总结：

平角NAOB的平分线0C与直线AB垂直.将0C反向延长得到直线CD,直线CD

与AB•也垂直.

四.课时小结

本节课中我们运用己学过H勺三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操

作原理.，由此归纳出角的平分线的尺规画法，深入体会温故而知新是一种很好口勺学

习措施.

五.课后作业

书本P22习题11.2第1、2题.

§11.3.2角日勺平分线的性质（二）

教学目日勺

（-）教学知识点：角的平分线的性质

（二）能力训练规定

1.会论述角的平分线口勺性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

2.能应用这两个性质处理某些简朴的实际问题.

（三）情感与价值观规定

通过折纸、画图、文字一符号n勺翻译活动，培养学生啊联想、探索、概括归纳

口勺能力，激发学生学习数学的爱好.

教学重点：角平分线口勺性质及其应用.

教学难点：灵活应用两个性质处理问题.

教学措施：探索、归纳的措施.

教学过程

一.创设情境，引入新课

［师］请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一种角，把剪好的角对

折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任

意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？

导入新课

角平分线的性质即己知用H勺平分线，能推出什么样的结论.

操作：

2.你与同伴用三角板检测你们所折口勺折痕与否符合图示规定.

画一画：

按照折纸的次序画出一种角向三条折痕，并度量所画PD.PE与否等长？

拿出两名同学日勺画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目日勺.

问题1：你能用文字语言论述所画图形欧I性质吗？

问题2:（出示投影片D

能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话.请填下

学生通过讨论作出下列概括:

已知事项：0C平分/AOB,PD10A,PE±OB,D.E为垂足.

由已知事项推出口勺事项：PD二PE.

于是我们得角的平分线的性质：

在角的平分线上日勺点到角H勺两边H勺距离相等.

［师］那么到角口勺两边距离相等时点与否在角的平分线上呢？（出示投影）

问题3：根据下表中日勺图形和已知事项，猜测由己知事项可推出的事项，并用符号语

言填写下表：

由已知事

图形已知事项项推出的

事项

PD±OBt

PE±OAf

垂足为

D、E

PD=PE

下面请同学们思索一种问题.

思索：如图所示，要在S区建一种集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离

公路与铁路交叉处500m,这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺

为1：20230）?

1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一种性质可

以处理这个问题？

2.比例尺为1：20230是什么意思？

讨论成果展示：

1.应当是用第二个性质.•这个集贸市场应当建在公路与铁路形成日勺角的平分

线上，并且规定离角的顶点500米处.

2.在纸.上画图时，我们常常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就波

及一种单位换算问题了.1m=100cm,因此比例尺为1：20230,其实就是图中1cm♦表

第一步：尺规作图法作出NA0BH勺平分线OP.

第二步：在射线0P上截取OC=2.5cm,确定C点，C点就是集贸市场所建地了.

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等口勺环节，•使问题简朴

化.因此若碰到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接运用性质处

理问题.

［例］如图，aABC的角平分线BM、CN相交于点P.

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

［师生共析］点P到AB.BC.CA的垂线段PD.PE、PF的长就是P点到三边的距离，・

也就是说要证：PD二PE二PF.而BM、CN分别是NB.NC口勺平分线，•根据角平分线性质

和等式口勺传递性可以处理这个问题.

证明：过点P作PDJ_AB,PEXBC,PF1AC,垂足为D.E、F.

由于BM是AABC口勺角平分线，点P在BM上.

因此PD=PE.

同理PE=PF.

因此PD=PE=PF.

即点P到三边AB.BC.CA的距离相等.

三.随堂练习

1.书本P22练习.

2.书本P22习题11.3第3题.

在这里要提醒学生直接运用角平分线H勺性质，不必再证三角形全等.

四.课时小结

今天，我们学习了有关角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的

距离相等；②到角日勺两边距离相等日勺点在角日勺平分线上.它们具有互逆性，可以看

出，伴随研究的深入，处理问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、

角相等问题，我们可以直接运用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得

出线段相等.

五.课后作业：书本P22页习题11.3第4、5、6题.

第十二章轴对称

§12.1轴对称（一）

教学目的

1.在生活实例中认识轴对称图.

2.分析轴对称图形，理解轴对称的概念.

教学重点：轴对称图形的概念.

教学难点：可以识别轴对称图形并找出它日勺对称轴.

教学过程

I.创设情境，引入新课

我们生活在一种充斥对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的

创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字

中些也具有对称性……对称给我们带来多少美日勺感受！初步掌握对称H勺奥秒，不仅

可以协助我们发现某些图形的特性，还可以使我们感受到自然界的美与友好.

轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对

称.今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴.

II.导入新课

出示书本的图片，观测它们均有些什么共同特性.

这些图形都是对称的.这些图形从中间分开后，左右两部分可以完全重叠.

小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子构造，从建筑物到艺术作品，•甚

至平常生活用品，人们都可以找到对称口勺例子.目前同学们就从我们生活周围口勺事

物中来找某些具有对称特性的例子.

结论：假如一种图形沿一直线折叠，直线两旁的部分可以互相重叠，这个图形

就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形有关这条

直线（成轴）•对称.

理解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做.

取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一种图案，•将

纸打开后铺平，你得到两个成轴对称H勺图案了吗？与同伴进行交流.

结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重叠.

由此可以得到轴对称图形的特性：一种图形沿一条直线折叠后，折痕两侧口勺图

形完全重叠.

接下来我们来探讨一种有关对称轴的问题.有些轴对称图形H勺对称轴只有一条,

但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形日勺对称轴甚至有无数条。

下列各图，你能找出它们H勺对称轴吗？

成果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条友称轴;

图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴.

像这样，把一种图形沿着某一条直线折碎，假如它可以与另一种图形重叠，那

么就说这两个图形有关这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对

应点，叫做对称点.

III.随堂练习：书本P30练习和P31练习

IV.课时小结

这节课我们重要认识了轴对称图形，理解了轴对称图形及有关概念，深入探讨

了轴对称的特点，辨别了轴对称图形和两个图形成轴对称.

V.作业：书本P36习题12.1第L2.6.7、8题.

VI.活动与探究：书本P31思索.

成轴对称的两个图形全等吗？假如把一种轴对称图形沿对称轴提成两个图形,

那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？

过程：在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看与

否重叠.再在硬纸板上画出一种轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪

开，看两部分与否可以完全重叠.

结论：成轴对称的两个图形全等.假如把一种轴对称图形沿对称轴提成两个图

形，这两个图形全等，并且也是成轴对称门勺.

轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一种具有特殊形状口勺图

形.

轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重叠；假如把轴对

称图形沿对称轴提成两部分，那么这两个图形就有关这条直线成轴对称；反过来，・

假如把两个成轴对称口勺图形当作一种整体，那么它就是一种轴对称图形.

板书设计

§12.1轴对称（一）

一、轴对称：假如一种图形沿一条直线折叠后，直线两旁的I部分可以完全重衿,

这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.

二、两个图形成轴对称：把一种图形沿着某一条直线折叠，假如它可以与另一

种图形重叠，那么就说这两个图形有关这条直线对称.

二、两个图形成轴对称：把一种图形沿着某一条直线折叠，假如它可以与另一

种图形重叠，那么就说这两个图形有关这条直线对称.

二、两个图形成轴对称：把一种图形沿着某一条直线折叠，假如它可以与另一

种图形重叠，那么就说这两个图形有关这条直线对称.

二、两个图形成轴对称：把一种图形沿着某一条直线折叠，假如它可以与另一

种图形重叠，那么就说这两个图形有关这条直线对称.

§12.1轴对称（二）

教学目日勺

1.理解两个图形成釉对称性的性质，理解轴对称图形日勺性质.

2.探究线段垂直平分线的I性质.

3.经历探索轴对称图形性质的过程，深入体验轴对称的特点，发展空间观测.

教学重点；1.轴对称的性质.2.线段垂直平分线的性质.

教学难点：体验轴对称的特性.

教学过程:

I.创设情境，引入新课

上节课我们共同探讨了轴对称图形，懂得现实生活中山于有轴对称图形，而

使得世界非常漂亮.那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？

今天继续来研究轴对称的性质.

II.导入新课：观看投影并思索.

如图，Z\ABC和4A'C’有关直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、

•B.C口勺对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系？

图中A.A'是对称点，AA'与MN垂直，BB'和CC'也与MN垂直.

AA，、BB'和CC'与MN除了垂直以外尚有什么关系吗？

△ABC与B'C'有关直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、CH勺

对称点，设AA'交对称轴MN于点P,将AABC和AA'B'C'沿MN对折后，点A与

A'重叠,于是有AP=A'P,NMPA=NMPA'=90°.因此AA'、BB'和CC'与MN除

了垂直以外，MN还通过线段AA'、BB'和CC'H勺中点.

对称轴所在直线通过对称点所连线段的中点，并口垂直于这条线段.我们把通过

线段中点并且垂直于这条线段H勺直线，叫做这条线段日勺垂直平分线.

下面我们来探究线段垂直平分线H勺性质.

[探究1]

如下图.木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB,Pl,P2,P3,…是L上的点，•分

别量一量点Pl,P2,P3,…到A与B»、J距离，你有什么发现？

1.用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB,过AB中点作AB的垂直平分

线L,在L上取Pl、P2.P3…,连结API、AP2.BP1、BP2.CP1、CP2…

2.作好图后，用直尺量出AP1.AP2、BP1.BP2、CP1.CP2…讨论发现什么样的规

律.

探究成果：

线段垂直平分线上口勺点与这条线段两个端点的距离相等.即APl=BPl,

AP2=BP2,…

[探究2]

如右图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一种简易口勺-H——，

“弓一“箭”通过木棒中央的I孔射出去，怎么才能保持出箭的方11/

向与木棒垂直呢？为何？

活动：1.用平面图形将上述问题进行转化.作线段AB,取其中点P,过P作L,

在L上取点PLP2,连结APLAP2、BP1.BP2.会有如下两种也许.

2.讨论：要使L与AB垂直，API、AP2、BPUBP2应满足什么条件？

探究过程：

1.如上图甲，若AP1WBP1,那么沿L将图形折叠后，A与B不也许重叠，也就

是NAPP1WNBPP1,即L与AB不垂直.

2.如上图乙，若API二BP1,那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重叠，就有N

APP1=NBPP1,即L与AE重叠.当AP2=BP2时，亦然.

探究结论：

与一条线段两个端点距离相等日勺点，在这条线段日勺垂直平分线上.也就是说在

[•探究2]图中，只要使箭端到弓两端日勺端点日勺距离相等，就能保持射出箭日勺方向与

木棒垂直.

［师］上述两个探究问题的成果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段

垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端

点距离相等的点都在它的垂直平分线上.•因此线段口勺垂直平分线可以当作是与

线段两端点距离相等口勺所有点的集合.

III.随堂练习：书本P34练习1、2.

IV.课时小结

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，­理解了线段口勺垂直平分线的有关性

质，同学们应灵活运用这些性质来处理问题.

V.课后作业：书本P36习题12.1第3、4、9题.

板书设计

§12.1轴对称（二）

一、复习：轴对称图形.

二、线段垂直平分线的定义：通过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做

线段的垂直平分线.

三、图形轴对称的性质：假如两个图形有关某条直线对称，那么对称轴是任何

一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称

点所连线段日勺垂直平分线.

‘四、线段垂直平分线日勺性质：线段垂直平分线H勺点到这条线段两个端点的距离

相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等日勺点都在它的垂直平分线上.

§12.2.1作轴对称图形

教学目的

1.通过实际操作，理解什么叫做轴对称变换.

2.怎样作出一种图形有关一条直线日勺轴对称图形.

教学重点

1.轴对称变换的定义.

2.可以按规定作出简朴平面图形通过轴对称后日勺图形.

教学难点

1.作出简朴平面图形有关直线日勺轴对称图形.

2.运用轴对称进行某些图案设计.

教学过程

I.设置情境，引入新课

在前一种章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形H勺某些有关的性责

问题.在上节课的作业中，我们有个规定，让同学们自己思索一种作轴对称图形日勺

措施，目前来看一下同学们完毕的怎么样.

将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一种图案，将纸打开后铺平，•得到的两个

图案是有关折痕成轴对称日勺图形.

准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸日勺一侧上滴上一滴墨水，将纸迅

速对折，压平，并且手指压出清晰日勺折痕.再将纸打开后铺平，•位于折痕两侧的墨

迹图案也是对称日勺.这节课我们就是来作简朴平面图形通过轴对称后日勺图形.

II.导入新课

•由我们已经学过的知识懂得，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.

类似地，我们也可以由一种图形得到与它成轴对称的另一种图形，反复这个过程，

可以得到漂亮口勺图案。对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也

会发生变化.大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，

体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途.

下面，同学们自己动手在一张纸上画一种图形，将这张纸折叠描图，•再汀开看

看，得到了什么？变化折痕口勺位置并反复几次，又得到了什么？同学们互相

交流一下.

结论：由一种平面图形呆以得到它有关一条直线L对称的图形，•这个图形与

原图形的形状、大小完全相似：新图形上的每一点，都是原图形上的某一点有关直

线L日勺时称点；连结任意一对对应点H勺线段被对称轴垂直平分.

我们把上面由一种平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

成轴对称的两个图形中的任何一种可以看作由另一种图形通过轴对称变换后得

到.一种轴对称图形也可以看作以它H勺一部分为基础，经轴对称变换扩展而成H勺.

取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，•一正一反像“手风

琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E,用小刀把画出的字母E挖去，拉

开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案H勺花边.回答问题.

（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？•相间的两个图案乂有什

么关系？说说你日勺理由.

（2）假如以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？•三个图案

为一组呢？为何？

(3)在上面的活动中，假如先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，•然后继

续上面的环节，此M会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一

做.

注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远某些.

(三)回忆本节课内容，然后小结.

IV.课时小结

本节课我们重要学习了怎样通过轴对称变换来作出一种图形的轴对称图形，•并

且运用轴对称变换来设计某些漂亮的图案.在运用轴对称变换设计图案时，要注意

运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特口勺漂亮图案.

V.动手并思索

(-)如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，•得到一种等腰直

角三角形，再沿斜边上日勺高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90c角的

部分，拆开折叠口勺纸，并将其铺平.

(2)你能阐明为何会得到这样日勺图案吗？应用学过日勺轴对称的知识试一试.

(3)假如将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部分，・

展开后成果又会怎样？为何？

(4)当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？

答案：(1)得到一种有2条对称轴的图形.

(2)按照上面的做法，实际上相称于折出了正方形的2条对称轴；因此(1)・

中的图案一定有2条对称轴.

（3）按题中的方式将正方形对折3次，相称于折出了正方形口勺4条对称轴，・

因此得到的图案一定有4条对称轴.

（4）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次，•剪出口勺

图案至少有4条对称轴.

（二）自己设计并制作一种花边.

作业：P45习题12.2第1、5题

板书设计

§12.2.1.1作轴对称图形

一.怎样由一种平面图形得到它日勺轴对称图形.二。运用轴对称设计图案

一.怎样由一种平面图形得到它日勺轴对称图形.二。运用轴对称设计图案

12.2.2用坐标表达轴对称

教学目的

1.在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位置关系，2.2.

再运用轴对称的性质作出成轴对称的图形

教学重点：用坐标表达轴对称

教学难点：运用转化H勺思想，确定能代表轴对称图形的要点

教学过程：

一、复习轴对称图形日勺有关性质

二、新授:

1.学生探索:

点(x,y)有关x轴对称的点的坐标(x,—y)；点(K,y)有关y轴对称的点的坐标(一

x,y)；点6,y)有关原点对称的点的坐标(一x,-y)

2.例3四边形ABCD的四个顶点口勺坐标分别为A(—5,1)、B(—2,1)、C(一2,5)、

D(—5.4),分别作出与四边形ABCD有关x轴和y轴对称的图形.

(1)归纳：与已知点有关y轴或x轴对称的点的坐标日勺规律；

(2)学生画图

(3)对于此类问题，只要先求出已知图形中的某些特殊点的对应点的坐标，描

出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形.

3.探究问题

分别作出△PQR有关直线x=l(记为m)和直线y二一1(记为n)对称口勺图形，你能发现

它们H勺时应点的坐标之间分别有什么关系吗？

(1)学生画图，由详细日勺数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系

(2)若APQR中P(x,y)有关x=l(记为m)轴对称的点的坐标P

(x,y),

贝|J,y=y。

若4PQR+P(x,y)有关y二一1(记为n)轴对称H勺点的坐标P

(x,y),

则x=x,=n.

三、练习：书本P44第1.2.3题

四、作业：书本P45第2、3、4、6题

§12.3.1.1等腰三角形（一）

教学目的

1.等腰三角形日勺概念.

2.等腰三角形的性质.

3.等腰三角形H勺概念及性质的应用.

教学重点：1.等腰三角形的I概念及性质.2.等腰三角形性质的应用.

教学难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.

教学过程

I.提出问题，创设情境

在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称口勺性质，•并且可以作

出一种简朴平面图形有关某一直线的轴对称图形，­还可以通过轴对称变换来设计某

些漂亮的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识某些我们熟悉的几何图形.

来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样口勺三角形是轴对称图形？

有H勺三角形是轴对称图形，有的三角形不是.

问题：那什么样的三角形是轴对称图形？

满足轴对称口勺条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对

折后两部分可以完全重叠的就是轴对称图形.

我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形一等腰三角形.

II.导入新课：规定学生通过自己的思索来做一种等腰三角形.

I'I

作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B有关直线L的对称点C,连

结AB.BC.CA,则可得到一种等腰三角形.

等腰三角形口勺定义：有两条边相等I的三角形叫做等腰三角形.相等日勺两边叫做

腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边行腰的夹角叫底角.同学们在

自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角.

思索：

1.等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它H勺对称轴.

2.等腰三角形的两底角有什么关系？

3.顶角的平分线所住H勺直线是等腰三角形H勺对称轴吗？

4.底边上日勺中线所在的直线是等腰三角形H勺对称轴吗？•底边上H勺高所在

日勺直线呢？

结论：等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角H勺平分线所在的直线.由

于等腰三角形的两腰相等，因此把这两条腰重叠对折三角形便知：等腰三角形是轴

对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.

规定学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底

角有什么关系.

沿等腰三角形的顶角［1勺平分线对折，发现它两旁内部分互相重叠，山此可知这

个等腰三角形的两个底角相等，•并且还可以懂得顶角的平分线既是底边上的中线,

也是底边上的高.

由此可以得到等腰三角形的性质：

1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角“）.

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重叠（一般称

作“三线合一”）.

由上面折叠日勺过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形日勺对称轴，得到两

个全等的三角形，从而运用三角形的全等来证明这些性质.同学们目前就动手来写

出这些证明过程）.

［例1］如图，在AABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD二BC二AD,

求：ZXABC各角H勺度数.

分析：根据等边对等角H勺性质，我们可以得到

ZA=ZABD,ZABC=ZC=ZBDC,•

再由ZBDC=NA+NABD,就可得到ZABC=ZC=ZBDC=2ZA.

再由三角形内角和为180。，•就可求出AABC的三个内角.

把/A设为xH勺话，那么NABC.ZC都可以用x来表达，这样过程就更简捷.

解：由于AB=AC,BD=13C=AD,

因此NABC=NC=NBDC.

ZA=ZABD（等边对等角）.

设NA=x,则ZBDC=ZA+ZABD=2x,

从而NABC=/C=NBDC=2x.

于是在aABC中，有

ZA+ZABC+ZC=x+2x+2x=1800,

解得x=36°.在△ABC中，ZA=35°,NABC=NC=72°.

［师］下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识.

III.随堂练习：1.书本P51练习1.2.3.2.阅读书本P49〜P51,然后小结.

IV.课时小结

这节课我们重要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简朴H勺应用.等腰三

角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形H勺对称他是它

顶角H勺平分线，并且它的顶向平分线既是底边上的中线，又是底边上的高.

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且可以灵活应用

它们.

V.作业：书本P56习题12.3第1、2、3、4题.

板书设计

12.3.1.1等腰三角形

一、设计方案作出一种等腰三角形

二、等腰三角形性质：1.等边对等角2.三线合一

二、等腰三角形性质：1.等边对等角2.三线合一

二、等腰三角形性质：1.等边对等角2.三线合一

§12.3.1.1等腰三角形（二）

教学目的

1.理解并掌握等腰三角形鉴定定理及推论

2.能运用其性质与鉴定证明线段或角的相等关系.

教学重点：等腰三角形的鉴定定理及推论口勺运用

教学难点：对的辨别等腰三角形的鉴定与性质，可以运用等腰三角形口勺鉴定定理证

明线段的相等关系.

教学过程：

一、复习等腰三角形口勺性质

二、新授：

I提出问题，创设情境

出示投影片.某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵

树（B点）为B标，然后在这棵树的正南方（南岸A点抽一小旗作标志）沿南偏东60°

方向走一段距离到C处时，测得NACB为30°,这时，地质专家测得AC的长度就可

知河流宽度.

学生们很想懂得，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学

习”等腰三角形日勺鉴定”.

II引入新课

1.由性质定理日勺题设和结论的变化，引出研究日勺内容——在△ABC中，苦二

ZC,则AB=AC吗?

作一种两个角相等的三角形，然后观测两等角所对的边有什么关系？

2.引导学生根据图形，写出已知、求证.

2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即”等腰三角形的鉴定定理”（板书

定理名称）.

强调此定理是在一种三角形中把角口勺相等关系转化成边的相等关系的重要根据,

类似于性质定理可简称“等角对等边”.

4.引导学生说出引例中地质专家的测量措施的根据•.

III例题与练习

其中ZXABC是等腰三角形的是[]

2.①如图3,已知AABC中，AB=AC.NA=36°,则NC_____（根据什

么？）.

②如图4,已知△ABC中，ZA=36°,NC=72。,ZXABC是______三角形（根据什

么？）.

③若已知NA=36°,ZC=72°,BD平分NABC交AC于D,判断图5中等腰三

角形有.

④若已知AD=4cm,则BCcm.

3.以问题形式引出推论1.

4.以问题形式引出推论2.

例：假如三角形一种外角日勺平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰

三角形.

分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明.

练习：5.(1)如图6,在AABC中，AB=AC,/ABC.NACB的平分线相交于点F,过F

作DE〃BC,交AB于点D,交AC于E.问图中哪些三角形是等腰三角形？

⑵上题中，若去掉条件AB二AC,其他条件不变，图6中尚有等腰三角形吗？

练习：P53练习1、2、3。

IV课堂小结A

1.鉴定一种三角形是等腰三角形有几种措施

图6

2.鉴定一种三角形是等边三角形有几种措施？

3.等腰三角形H勺性质定理与鉴定定理有何关系？

4.目前证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？

V布置作业：P56页习题12.3第5、6题

12.3.2等边三角形（一）

教学目的

L使学生纯熟地运用等腰三角形日勺性质求等腰三角形内角日勺角度。

2.熟识等边三角形的性质及鉴定.

教学重点：等腰三角形的性质及其应用。

教学难点：简洁日勺逻辑推理。

教学过程

一、复习巩固

1.论述等腰三角形的性质，它是怎么得到的？

等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角“。把等腰三角形对折，

折叠两部分是互相重叠的，即AB与AC重叠，点B与点C重叠，线段BD与CD也重

叠，因此NB=NCo

等腰三角形的顶角平分线，底边上口勺中线和底边上口勺高线互相重叠，简称“三

线合一”。由于AD为等腰三角形MJ对称轴，因此RD=CD,AD为底边上的中线