2024-2025学年高中数学第一章数列3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和巩固提升训练含解析北师大版必修5

PAGEPAGE1第1课时等比数列的前n项和[A基础达标]1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为()A．1＋eq\f(a（1－an－1）,1－11a) B．eq\f(1－an,1－a)C.eq\f(an＋1－1,a－1) D．以上皆错解析：选D.当a＝1时，Sn＝n，故选D.2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于()A．7 B．8C．15 D．16解析：选C.设{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，所以q＝2，又a1＝1，所以S4＝eq\f(1－24,1－2)＝15，故选C.3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝()A．－2 B．2C．3 D．－3解析：选A.因为S3＋3S2＝0，所以eq\f(a1（1－q3）,1－q)＋eq\f(3a1（1－q2）,1－q)＝0，即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0.解得q＝－2或q＝1(舍去)．4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝()A.eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C.eq\f(57,8) D．eq\f(55,8)解析：选A.法一：由等比数列前n项和的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又a7＋a8＋a9＝S9－S6，则S3，S6－S3，a7＋a8＋a9成等比数列，从而a7＋a8＋a9＝eq\f(（S6－S3）2,S3)＝eq\f(1,8).故选A.法二：因为S6＝S3＋S3q3，所以q3＝eq\f(S6－S3,S3)＝－eq\f(1,8)，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝S3q6＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,8).故选A.5．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于()A．90 B．70C．40 D．30解析：选C.因为S30≠3S10，所以q≠1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S30＝13S10，,S10＋S30＝140))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S10＝10，,S30＝130，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－q10）,1－q)＝10，,\f(a1（1－q30）,1－q)＝130，))所以q20＋q10－12＝0.所以q10＝3，所以S20＝eq\f(a1（1－q20）,1－q)＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.6．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________．解析：因为在等比数列{an}中，前3项之和等于21，所以eq\f(a1（1－43）,1－4)＝21，所以a1＝1.所以an＝4n－1.答案：4n－17．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1.所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n－n＝eq\f(2（1－2n）,1－2)－n＝2n＋1－n－2.答案：2n＋1－n－28．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________．解析：设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.又a1＋a2＋a3＝eq\f(a1,1－q)(1－q3)＝1，所以eq\f(a1,1－q)＝eq\f(1,3)，所以S15＝eq\f(a1,1－q)(1－q15)＝eq\f(a1,1－q)[1－(q3)5]＝eq\f(1,3)×[1－(－2)5]＝11.答案：119．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并推断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q）＝2，,a1（1＋q＋q2）＝－6.))解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝－eq\f(2,3)＋(－1)neq\f(2n＋1,3).由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq\f(4,3)＋(－1)n·eq\f(2n＋3－2n＋2,3)＝2[－eq\f(2,3)＋(－1)neq\f(2n＋1,3)]＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．10．数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若b1＋b2＋…＋bk＝85，求正整数k的值．解：(1)设数列{an}的公差为d，因为a1，a2，a6成等比数列，所以aeq\o\al(2,2)＝a1·a6，所以(1＋d)2＝1×(1＋5d)，所以d2＝3d，因为d≠0，所以d＝3，所以an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.(2)数列{bn}的首项为1，公比为q＝eq\f(a2,a1)＝4，故b1＋b2＋…＋bk＝eq\f(1－4k,1－4)＝eq\f(4k－1,3).令eq\f(4k－1,3)＝85，即4k＝256，解得k＝4.故正整数k的值为4.[B实力提升]11．一个等比数列前三项的积为2，最终三项的积为4，且全部项的积为64，则该数列有()A．13项 B．12项C．11项 D．10项解析：选B.设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aeq\o\al(3,1)q3＝2，后三项之积aeq\o\al(3,1)q3n－6＝4.所以两式相乘，得aeq\o\al(6,1)q3(n－1)＝8，即aeq\o\al(2,1)qn－1＝2，又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以aeq\o\al(n,1)·qeq\s\up6(\f(n（n－1）,2))＝64，即(aeq\o\al(2,1)qn－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.12．已知等比数列{an}的前10项中，全部奇数项之和S奇为85eq\f(1,4)，全部偶数项之和S偶为170eq\f(1,2)，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为________．解析：设公比为q，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(S偶,S奇)＝q＝2，,S奇＝\f(a1[1－（q2）5],1－q2)＝85\f(1,4)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,4)，,q＝2.))所以S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2·eq\f(1－q12,1－q3)＝585.答案：58513．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2＋a4＋…＋a2n.解：由条件知S1＝a1＝1.(1)①当c＝1时，an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))⇒an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,0，n≥2.))②当c≠1时，an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,（c－1）cn－2，n≥2.))(2)①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0；②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝eq\f(（c－1）（1－c2n）,1－c2)＝eq\f(c2n－1,1＋c).14．(选做题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在运用过程中逐年削减，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初削减10万元；从第7年起先，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，若An大于80万元，则M接着运用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．解：(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为eq\f(3,4)的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n－6)；因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(130－10n，n≤6，,70×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(n－6)，n≥7.))(2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×eq\f(3,4)×4×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(n－6)))＝780－210×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\