高中数学复习 函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类（原卷版）

函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：奇偶性基础 1题型二：单调性基础 3题型三：周期性基础 4题型四：中心与轴对称应用：左右平移 5题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 6题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 7题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 7题型八：中心与轴对称应用：中心对称 8题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和 9题型十：中心与轴应用：“隐对称点” 10题型十一：双函数型中心、轴互相“传递” 10题型十二：函数型不等式：“优函数”型 11题型十三：类周期型函数 12题型十四：“放大镜”函数类周期性质 13题型一：奇偶性基础判定函数的奇偶性的常见方法：判定函数的奇偶性的常见方法：（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立；（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数；（3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）：1.加减型：奇+奇→奇偶+偶→偶奇-奇→奇偶-偶→偶奇+偶→非奇-偶→非2.乘除型（乘除经验结论一致）奇X奇→偶偶X偶→偶奇X偶→奇奇X偶X奇→=偶简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变3.上下平移型：奇+c→非偶+c→偶4.复合函数：若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则f[g(x)]为奇函数若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f[g(x)]为偶函数1.（2023·全国·高三专题练习）若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（

）A． B．C． D．2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数是的奇函数，是常数．不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为A． B．C． D．5.（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（

）A．0 B． C．12 D．106.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（）A. B. C. D.题型二：单调性基础单调性的运算关系：单调性的运算关系：①一般认为，－f(x)和eq\f(1,fx)均与函数f(x)的单调性相反； ②同区间，↑+↑=↑，↓+↓=↓，↑－↓=↑，↓－↑=↓；单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)是[a,b]上的增函数； ②eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；(3)复合函数单调性结论：同增异减．1.（21-22高三·全国·课后作业）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>02.（23-24高三·福建厦门·模拟）已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（

）A． B．C． D．3.（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．4.（22-23高三·浙江·模拟）设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（

）①若单调递增，单调递增，则单调递增；②若单调递增，单调递减，则单调递增；③若单调递减，单调递增，则单调递减；④若单调递减，单调递减，则单调递减.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④5.（23-24高三·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．题型三：周期性基础周期性周期性①若f(x＋a)＝f(x－b)⇔f(x)周期为T＝a＋b.②常见的周期函数有：f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)或f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.1.（22-23高三·重庆沙坪坝·模拟）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（

）A． B．-1C．0 D．12.（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是()A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数3.（23-24高三·湖南衡阳·阶段练习）已知函数满足，对任意实数x，y都有成立，则（

）A． B． C．2 D．14.（22-23高三安徽·阶段练习）已知是定义在上的函数，，且，则（

）A． B． C． D．5.（21-22高三·贵州六盘水·）函数的定义域为，若且，则（

）A． B． C． D．题型四：中心与轴对称应用：左右平移图形变换图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移(1)平移变换：上加下减，左加右减(2)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)； ②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)； ④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．⑤y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．1.（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．2.．（2023·全国·高三专题练习）已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．3.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．4.（2023·陕西·统考二模）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（

）A．3 B． C． D．65.（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设，则（

）A． B． C． D．题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移平移变换：左右或者上下左加右减1.（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（

）A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④2.（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B．C． D．3.（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C． D．的一个周期为84.（2023秋·湖北恩施·高三校联考模拟）已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．5.（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（）A． B． C． D．题型六：中心与轴对称应用：轴对称型1.（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数关于直线对称，则．2.（2023上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若方程有且仅有三个根，且为其一个根，则其它两根为.3.（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）已知函数满足，且当时，，设，则的大小关系是．4.（广东省七校联合体2020-2021学年高二下学期2月联考数学试题）若函数有且只有一个零点，又点在动直线上的投影为点若点，那么的最小值为__________.5（四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2021届高三第一学期11月月考）.已知，，，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称轴变换，又叫直线镜面变换：轴变换，又叫直线镜面变换：1.（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是.2.（2023·高三单元测试）函数与的图象关于直线对称,,则．3.（2022下·辽宁·高二瓦房店市高级中学校联考模拟）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则．4.（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是.5.（2022·湖南永州·统考三模）已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则．题型八：中心与轴对称应用：中心对称中心对称：中心对称：（1）若函数满足，则的一个对称中心为（2）若函数满足，则的一个对称中心为（3）若函数满足，则的一个对称中心为.函数变换，又叫原点变换：1.（湖北省武汉二中2022-2023学年高三下学期4月第三次测试数学试题）已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．2.（四川省达州市大竹县大竹中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题）已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________.3.函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.4.（广东省深圳市人大附中学深圳学校2022-2023学年高三数学试题）已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________.5.（江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三模拟检测2数学试题）已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和类比正弦：类比正弦：①两中心②两垂直轴③一个中心，一条轴1.（2022·广东惠州·模拟）已知是定义在上的奇函数，且，若，则（

）A．3 B．0 C．3 D．20182.（2022·广西南宁·一模）定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，．则的值为（）A．2017 B．1010 C．1008 D．23.（2023·山东·一模）已知是定义在上的奇函数,且为偶函数,若,则（

）A．4 B．2 C．0 D．-24.（22-23高三上·湖南永州·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则（

）A． B．0 C．2 D．20205.（2023·广东梅州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（

）A．10 B．20 C．15 D．5题型十：中心与轴应用：“隐对称点”两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，具有综合性，难度较大．两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，具有综合性，难度较大．1.（21-22高三·云南红河·模拟）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．2.（2022广西柳州·一模）已知函数与的图像上存在关于轴对称的对称点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．3.（2022辽宁沈阳·模拟预测）函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（

）(为自然对数的底)A． B． C． D．4.（2023·河北衡水·一模）若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为A．0 B．2 C．4 D．65.（22-23高三下·上海宝山·期中）若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”．设（），若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是…A． B． C． D．题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”双函数性质：双函数性质：1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系传递中心，对称轴，与周期若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为，若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为，若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为.1.（22-23高三上·江西·阶段练习）已知函数的定义域均为R，且满足则（

）A．3180 B．795 C．1590 D．15902.（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图像关于对称，，则（

）A．14 B．16 C．18 D．203.（2023·辽宁·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，是奇函数，且，，则下列结论正确的是．（只填序号）①为偶函数；②为奇函数；③；④.4.（2023·河南·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，是的导函数，，，则以下命题：①是偶函数；②；③的图象的一条对称轴是；④，其中正确的序号是．5.（2023·四川南充·二模）设定义在上的函数和.若，，且为奇函数，则.题型十二：函数型不等式：“优函数”型有有，则称为优函数。类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。1.（2024年高考1卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.2.（2021·四川德阳·一模）已知函数，若，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3.（2020高三·全国·专题练习）已知是定义在R上的函数，，且对任意都有：与成立，若，则．4.（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设是定义在上的函数，且对于任意的整数，满足，，则的值为..5.（22-23高三·北京顺义·模拟）如果函数满足对任意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论：①为优函数；②若为优函数，则；③若为优函数，则在上单调递增；④若在上单调递减，则为优函数．其中，所有正确结论的序号是．题型十三：类周期型函数1.（2023·上海·统考模拟预测）在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是.2.（2021下·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期末）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则.3.已知fx=12x+a,x≤0,fx−14.（2023上·四川资阳·高三统考模拟）已知函数，函数在处的切线为，若，则与的图象的公共点个数为．5.（福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题）定义在0,+∞上的函数fx满足f（i）f2021（ii）若方程fx−