北师大版八年级下册数学全册教学设计

北师大版八年级下册数学全册教案完整版教学设计

第一章三角形的证明

1等腰三角形

课时1全等三角形、等腰三角形的性质

1.能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.

2.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发

展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.

3.启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.

探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.

明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.

提前请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么这两条直线平行；

2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；

5,三边对应相等的两个三角形全等(SSS).

【教学说明】对以前所学知识进行复习巩固，为本节课的学习作准备.

1.你能用所学知识证明吗？

已知：Z^ABC与△DEF,ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.

求证：ZXABC名ZXDEF.

证明：YNAND,NB=NE（已知），NA+NB+NC=180°,ND+NE+NF=180°（三角形内角和等于180°）,

/.ZC=1800-(ZA+ZB),ZF=180°-(ZD+ZE),

/.ZC=ZF(等量代换).又BC=EF(已知)，

/.△ABC^ADEF(ASA).

【归纳结论】

(1)两角相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)；

(2)根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

2.等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？

【教学说明】让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中，可以让学生先独自折纸观察.

探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足.

【归纳结论】

(1)等腰三角形的两个底角相等；(简称为“等边对等角”)

(2)等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上的高三条线重合.

«©©

例1在aABC中，AB=AC,ZA=50°,求NB、NC的度数

分析：根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三角形的内角和等于

180°来计算.

解：在AABC中，AB=AC,

.,.ZB=ZC,(等边对等角)

VZA+ZB+ZC=180<,,ZA=50°,

.,.ZB=ZC=65°.

例2已知在AABC中，AB=AC,直线AE交BC于点D,0是AE上一动点但不与A重合，且0B=0C,试

猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明你的猜想的理由.

解：猜想：AE±BC,BD=CD.

证明：VAB=AC,OB=OC,AO=AO,

AAABO^AACO(SSS).

JNBAO=ZCAO.

AAE为NBAC的平分线.

AAE±BC,BD=CD.

例3如图，AC与BD交于点0,AD=CB,E、F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF.请推导下列结论：（1）

ND=NB；(2)AE/7CF.

证明：(1)•・•在4ADE与ACBF中，AD=CB,AE=CF,DE=BF,

/.AADE^ACBF(SSS).

AZD=ZB

(2)VAADE^ACBF,

・・・NAED=NCFB,

・•・ZAEO=ZCFO.

VffiAAOE^ACOF+,ZAEO=ZCFO,

・・・AE〃CF.

例4如图，在AABC中，AB=AC,AD±BC,ZBAC=100°.求Nl、N3、NB的度数.

解：VffiAABC中，AB=AC,

1

JZBAD=ZCAD,AZ1=—ZBAC=50°.

2

又・.・AD_LBC,・・.N3=90°.

在△ABC中,AB=AC,AZB=ZC=400.

【教学说明】在此练习过程中，一定要注意学生的书写格式，必要时教师要在黑板上板书过程.

本节课应掌握：

1.学习了等腰三角形的性质，较好地运用其性质解决等腰三角形的问题.

2.知道等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边上的高互相重合.

第一章三角形的证明

1等腰三角形

课时2等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质

1.进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性.

2.把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处.

3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

等腰三角形、等边三角形的相关性质.

等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用.

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、

高等），你能发现其中一些相等的线段吗？

【教学说明】通过提问的形式，复习上节课学习的内容，提高学生的学习兴趣.

探究1.在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线段,

并尝试给出证明.

【归纳结论】

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等:

等腰三角形腰上的中线相等.

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，的证明方法:

证明：：AB=AC,

:.ZABC=ZACB.

VBDsCE为NABC、NACB的平分线,

AZ3=Z4.

在aABD和ZSACE中，

Z3=Z4,AB=AC,ZA=ZA.

.1△AB陵△ACE（ASA）.

；.BD=CE（全等三角形的对应边相等）.

你能证明其它两个结论吗？

探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

已知：在ZiABC中,AB=BC=AC.

求证：ZA=ZB=ZC=600.

证明：在AABC中，♦；AB=AC,：.NB=NC（等边对等角）.

同理：NC=NA,.♦.NA=NB=NC（等量代换）.

XVZA+ZB+ZC=180°,

.•.NA=NB=NC=60°

【归纳结论】等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.

【教学说明】通过自主探究和同伴的交流，学生•般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出结论.

例1.如图，已知aABC和4BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.

证明：:△ABC和ABDE都是等边三角形.

.•.ZABE=ZCBD=60°J

AB=CB,BE=BD.

在4ABE与4CBD中，

AB=CB,

ZABE=ZCBD,

D

BB=BD.

/.△ABE^ACBD(SAS),

AAE=CD.

例2.如图，ZXABC中，AB=AC,E在CA的延长线上，且ED_LBC于D,求证：AE=AF

证明：VAB=AC,

ZB=ZC,

VED±BC,

AZB+ZBFD=90°,

NC+NE=90°,

,/ZBFD=ZEFA,

/.ZB+ZEFA=90°,

VZC+ZE=90°,

ZB=ZC,

・•・NEFA=NE,

・・・AE=AF.

例3.如图，在AABC中，ZA=20°,D在AB上，AD=DC,ZACD：ZBCD=2：3,求：NABC的度数.

解：VAD=DC,

AZACD=ZA=20°,

•・・ZACD：ZBCD=2：3,

/.ZBCD=30°,

・・・NACB=50°,

AZABC=110°.

【教学说明】在巩固等边三角形的性质的同时，进一步对等腰三角形的性质进行综合应用，在书写过

程中掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式

本节课应掌握：

掌握证明的基本步骤和书写格式，经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，能够用综合法证明等腰

三角形的两条腰上的中线（高），两底角的平分线相等，等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于

60°.

第一章三角形的证明

1等腰三角形

课时3等腰三角形的判定与反证法

1.探索等腰三角形判定定理,掌握反证法

2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.

3.培养学生的逆向思维能力.

理解等腰三角形的判定定理.

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.

问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2.我们是如何证明上述定理的？

【教学说明】通过问题回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进行交流.

1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么

这两个角所对的边也相等吗？

【归纳结论】有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简称：等角对等边）

2.小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论

成立吗？如果成立，你能证明它吗？

我们来看一位同学的想法：

如图，在aABC中，己知NBWNC,此时AB与AC要么相等，要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等BC角”定理可得NC=NB,但已知条件是NBW

NC."NC=NB”与已知条件“NBWNC”相矛盾，因此ABWAC

你能理解他的推理过程吗？

再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，

不妨设NA=90°,ZB=90°,可得NA+NB=180°,但NA+NB+NC=180°,“NA+NB=180°”与"NA+

NB+NC=180°”相矛盾，因此AABC中不可能有两个直角.

引导学生思考：上面两道题的证法有什么共同的特点呢？

【归纳结论】都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与己知公理或已证明过的定理相矛盾，

从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法.

【教学说明】总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解.

例1.已知：如图，NCAE是AABC的外角，AD〃BC且N1=N2.求证：AB=AC.

证明：・；AD〃BC,

・・・N1=NB（两直线平行，同位角相等），

N2=NC（两直线平行，内错角相等）.

又・・・N1=N2,AZB=ZC.

・・・AB=AC（等角对等边）.

例2.如图，BD平分NCBA,CD平分NACB,且MN〃BC,设AB=12,AC=18,求AAMN的周长.

解：:BD平分NCBA,CD平分NACB,

AZMBD=ZDBC,ZNCD=ZBCD.

VMN/7BC,

AZMDB=ZDBC,NNDONBCD.

；・NMDB二NMBD,NNDONNCD.

NC=ND.

.,.CA««=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC

=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AC=30.

例3.如图，在AABC中，BDJ_AC于D,CE_LAB于E,BD=CE.求证：ZXABC是等腰三角形.

解：(AB•CE)=-(AC•BD)且BD=CE,

22

.*.AB=AC.

.♦.△ABC是等腰三角形.

例4.如图，在△ABC中，AB=AC,DE〃BC,求证：ZkADE是等腰三角形.

证明：VAB=AC,

二ZB=ZC,

VDE/7BC,

AZB=ZE,ZD=ZC.

二ZD=ZE.

.♦.△ADE是等腰三角形.

例5.垂直于同一条直线的两条直线平行.

b。

—/2______

rc

证明：假设a、b不平行，那么a、b相交

Va±c,b±c

AZ1=900,Z2=900

Zl+Z2=180°

而a、b相交，则Nl+N2Kl80°与Nl+N2=180°相矛盾.

二假设不成立.

即：垂直于同一条直线的两条直线平行

【教学说明】学生在独立思考的基础上再小组交流，培养学生应用知识解决问题的能力.

本节课应掌握：

等腰三角形性质的判定的区别和联系.

第一章三角形的证明

1等腰三角形

课时4等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质

1.理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两

个定理解决一些简单的问题.

2.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.

3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

480©

等边三角形判定定理的发现与证明.

了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.

1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？

2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形

呢？

【教学说明】开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫.

1.•个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明

自己的结论，并与同伴交流.

【教学说明】学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要

求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结.

2.用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？

在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结

论？说说你的理由.

【教学说明】学生通过动手操作、观察，找出一些线段存在相等关系.从而得出结论，并加深印象.在

直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【归纳结论】

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(2)有一角是60°的等腰三角形是等边三角形.

例1.己知：如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=-AB.求证：ZBAC=30°

证明：延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

VZACB=90°,.\ZACD=90°.

又•.•AC=AC.

.,.△ACB^AACD(SAS).

.".AB=AD.

1

VCD=BC,.,.BC=—BD.

2

1

又,；BC=—AB,.,.AB=BD.

2

；.AB=AD=BD,

即AABD是等边三角形.

AZB=60°.

在RtzXABC中，ZBAC=30°.

例2.如图，AABC是等边三角形，Bl)=CE,Z1=N2.求证：△ADE是等边三角形

证明：•••△ABC是等边三角形,

/.AB=AC.

在AABD与4ACE中，AB=AC,Z1=Z2,BD=CE,

.'.△ABD^AACE(SAS).

ZEAD=ZBAC=60°,EA=DA.

/.△ADE是等边三角形(有一角是60°的等腰三角形是等边三角形).

例3.如图，在Rt2XABC中，NB=30°,BD=AD,BD=12,求DC的长.

RDC

解：在RtZiABC,ZB=30°

VBD=AD

AZB二NBAD=30°

AZADC=60°.

VZC=90°,

AZDAC=30o.

在RtAADC中，NDAC=30°

・・・CD二LAD（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

2

VBD二AD二12,

・・・CD=6.

【教学说明】变式训练,巩固新知.注意几何语言.熟练运用直角三角形的有关性质.

本节课应掌握：

掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.

第一章三角形的证明

2直角三角形

课时1直角三角形的性质与判定

1.掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能运用定理解决与直角三

角形有关的问题.

2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.

3.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.

4.体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.

掌握直角三%形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.

运用定理解决与直角三角形有关的问题.

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我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.

【教学说明】回顾I口知，也为后续探索提供了铺垫.

探究1:直角三角形的性质和判定

直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？

如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什么？

【教学说明】让学生在解决问题的同时，总结直角三角形的一般性质.

【归纳结论】①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直角三角形.

探究2：勾股定理及其逆定理.

教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推导出的定理，能够证

明勾股定理吗？

【教学说明】教师引导学生思考，写出证明过程.

【归纳结论】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股逆定理：如果三角形

两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

探究3：互逆命题和互逆定理.

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗？

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理

的条件.

在前面的学习中还有类似的命题吗？

【教学说明】教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来

剖析，然后再总结.

【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个

命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.

例1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:

(1)四边形是多边形;

(2)两直线平行，同旁内角互补:

(3)如果ab=O,那么a=0,b=0.

分析：互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么

形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定

困难.可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题.

解：(1)多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.

(2)同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为真.

(3)如果a=0,b=0,那么ab=O.原命题是假命题，而逆命题是真命题.

例2.如图，BA_LDA于A,AD=12,BA//DC.

证明：在AADC中，AD=12,DC=9,CA=15.

VAD2+DC2=CA2,

・••△ADC是直角三角形.(如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形)

・・.AD_LCD,

VBA±DA,

，BA〃DC.

例3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，ZACB=90°,AC=80米，BC

=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处

时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

C

解：当CDJ_AB时,CD最短,造价最低.

VZACB=90°,AC=80,BC=60,

AAB=100.

设AD=x,则BD=100-x.

•.,在RtZXADC与RtZXBDC中，

.,.CD2=AC-AD2,CD2=BC-BD2.

.,.AC2-AD2=BC2-BD2.

.,.802-X2=602-(100-X)2.

解得：x=64.

.,.在Rtz\ADC中，CD=48.

最低造价是:48X10=480(元).

你还能用其他方法求出CD的长吗？

(提示：用面积法)

c22

例4.已知：如图，在AABC中，ZC=90,BC=a,AC=b,AB=c.求证：a-+b=c.

证明：延长CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,

并取BE=c,连接ED、AE(如图)，则AABC名△BED.

.,.ZBDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等，对应边相等).

二四边形ACDE是直角梯形.(a+b)(a+b)=，(a+b)\

22

.,.ZABE=180°-(ZABC+ZEBD)=180°-90°=90°,AB=BE.

SAM®=—C'SBIBACHE=SAME+SAMIC+SAI®＞，

2

1,11I1II

一(a+b)2=—c2+—ab+—ab,即一a'+ab+—b'=—c2+ab,

2222222

.-.a2+b2=c2

本节课应掌握：

这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会

识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步提高了演绎推理的

能力

第一章三角形的证明

2直角三角形

课时2直角三角形全等的判定

1.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性.

2.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感.

3.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.

能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理.

进一步理解证明的必要性.

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.

3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结

论.

【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，

从而引入新课.

探究：“HL”定理.

已知：在RtZXABC和RtZXA'B'C'中，ZC=ZC,=90°,AB=A'B',BOB'C'.求证：RtAABC^

RtAAzB'C'.

证明：在Rt^ABC中，AC?二AB?一BC?（勾股定理）.

又•・•在忒△A'B'C'中，A'C',=A'B'2—B'C'2（勾股定理）.

・・・AB=A'B',BC=B'C',AC=A，C,.

/.RtAABC^RtAA'B'C(SSS).

【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（这一定理可以简单地用“斜边、直

角边”或“HL”表示.）

【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和

它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自

己的全等判定定理.

例1.填空：如下图，RtAABC和RtaDEF,ZC=ZF=90°.

(2)若NA=ND,AC=DF,则RtZXABC当Rt^DEF的依据是邈.

(3)若NA=ND,AB=DE,则Rt^ABC名RtaDEF的依据是述.

(4)若AC=DF,AB=DE,贝ijRtZXABC/Rt^DEF的依据是星.

(5)若AC=DF,CB=FE,则RtZiABC义Rt^DEF的依据是迦.

例2.己知：RtAABC和RtAA"B'C',NC=NC'=90°,BC=B'C',BD,B'D'分别是AC、A'C'边上的中线,

且BD=B'D'.求证:RtAABC^RtAA'B'C.

证明：在RtZ^BDC和RtZSB'D'C'中,

VBD=B'D',BC=B'C,

.,.RtABDC^RtAB'D'C(HL定理).

.•.CD=C"[)".

XVAC=2CD,A'C'=2C'D',

.,.AC=A'C',

RtAABCftRtAA'B'C'中,

VBC=B,CZC=ZC'=90°,AC=A'C',

/.RtAABC^RtAA'B'C（SAS）.

例3.如图，已知NACB=NBDA=90°,要使4ACB当ABDA,还需要什么条件?把它们分别写出来，并证

解:AC=DB.

VAC=DB,AB=BA,

AAACB^ABDA（HL）

其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.

【教学说明】这是•个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图

形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案.

例4.如图，在aABC与AA'B'C中,CD、C'D'分别分别是高，并且AC=A'C',CD=C'D'.ZACB=ZA'CB'.求

证：△ABC刍AA'B'C'.

DBA

分析：要证△ABC名AA'B'C',由已知中找到条件：一组边AC=A'C',一组角NACB=NA'C'B'.如果寻

求NA=/A',就可用ASA证明全等；也可以寻求NB=NB',这样就可用AAS；还可寻求BC=B'C',那么就可

根据SAS……注意到题目中有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'.观察图形，这里有三对三角形应该是全等

的，且题目中具备了1IL定理的条件，可证得RtAADC峪RtZiA'D'C',因此证明NA=NA'就可行.

证明：■D、C'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高（已知）,

NADC=NA'D'C'=90°.

在RtZiADC和RtZXA'D'C'中，

AC=A'C'（己知），CD=C'D'（已知）,

二RtAADC^RtAA'D'C'（HL）.

ZA=ZA',（全等三角形的对应角相等）.

在△ABC和B'C'中，

ZA=ZA'（已证），

AC=A'C'（已知），

NACB=NA'C'B'（己知），

.♦.△ABC当△A'B'C'（ASA）.

【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.

本节课应掌握:

直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.

第一章三角形的证明

3线段的垂直平分线

课时1线段的垂直平分线

1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识.

3.通过小组活动，学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题

垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码

头应建在什么位置？

,A

【教学说明】从实际问题入手，提高学生的学习兴趣，使学生明白数学来源于生活，用于生活.

探究1:垂直平分线的性质.

己知：如图，直线MN_LAB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.求证：PA=PB.

证明：VMN1AB,

.,.ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC,

.,.△PCA^APCB(SAS).

PA=PB（全等三角形的对应边相等）

【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

探究2:垂直平分线判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗？

逆命题就很容易写出来.“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平

分线上.”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假.如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明.

引导学生分析证明过程.

已知：线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.

求证：P点在AB的垂直平分线上.

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,

/.RtAPAC^RtAPBCCHL定理).

.,.AC=BC,

即P点在AB的垂直平分线上

【教学说明】此处证明可让学生用多种方法证明.

【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

例1.已知：如图，在z^ABC中，AB=AC,0是ZiABC内一点，且OB=0C.求证:直线A0垂直平

分线段BC.

证明：AB=AC,

点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条

线段的垂直平分线上）.

同理，点0在线段BC的垂直平分线上.

直线A0是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.

例2.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E,AC=5,BC=8,求4AEC

的周长.

解：TDE为ZSABC的AB边的垂直平分线,

.*.AE=BE.

/.CA«K=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.

例3.如图，己知：线段CD垂直平分AB,AB平分NDAC.求证：AD〃BC

证明：tCD是AB的垂直平分线,

.,.AC=BC,

ZCAB=ZB,

XVZCAB=ZDAB,

/.ZDAB=ZB,/.AD/7BC.

例4.如图，已知：AD是AABC的高,E为AD上一点，且BE=CE.求证：ZXABC是等腰三角形.

证明：VBE=CE,AD±BC

•••AD是BC的垂直平分线,

.,.AB=AC,

.♦.△ABC是等腰三角形.

例5.如图,已知：AB1BC,CD±BC,ZAMB=75°,ZDMC=45°,AM=DM.求证:AB=BC.

Ai

Z

B5LAMSJC,

证明：连接AC.

ZAMD=180°-75°-45°=60°,且AM=DM,

•••△AMD是等边三角形.

/.AM=AD.

又・・・NMDC=900-45°=45°,

・・・ZMDC=ZDMC,

・・・CD=CM,

・・・AC为DM的垂直平分线，

又・・・CD=CM

•♦.CH是NDCM角平分线

/.ZACM=90°-45°=45°,

.•.ZBAC=180°-ZB=ZACM=90°-ZACM=45°

AAB=BC.

【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的

思路和方法并给出完整的证明过程.

本节课应掌握：

到•条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

第一章三角形的证明

3线段的垂直平分线

课时2三角形三边的垂直平分线的性质

1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.

2.垂直平分线的应用

3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.体验解决问题的方法，提

高实践能力和创新意识.

4.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

作已知线段的垂直平分线.

垂直平分线的应用.

上节课我们学习了线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理、判定定理是什么？

【教学说明】回顾旧知，为本节课作准备.

探究1:请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线,

你是否发现同样的结论?与同伴交流.

【教学说明】让学生自己经历探究的过程，不要直接给出答案或很有指向性的提示.

【归纳结论】三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等.

探究2：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形.

已知：线段a、h

求作：△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h

作法：1.作BC=a；

2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

3.以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4.连接AB、AC.

.1△ABC就是所求作的三角形（如图所示）.

探究3：已知直线1和1上一点P,用尺规作1的垂线，使它经过点P.

如果点P是直线1外一点，那么怎样用尺规作1的垂线，使它经过点P呢？

【教学说明】学生先独立思考完成，然后交流，说出做法并解释作图的理由.

例1.如图，己知：在aABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线

证明：P是AB、BC边上的垂直平分线,

，AP二BP,BP=CP,

AAP=CP,

・・・P点在AC的垂直平分线上.

例2.如图所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,NA=30°.

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线1（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在已作的图形中，若1分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F,连接BE.

求证：EF=2DE.

解：(1)直线1即为所求.

(2)证明：在RtZ^ABC中，

VZA=30°,AZABC=60°,

又・・・1为线段AB的垂直平分线，

AEA=EB,

AZEBA=ZA=30°,ZAED=ZBED=60°,

AZEBC=30°=NEBA,NFEC=60°.

又・.・ED_LAB,EC±BC,.\ED=EC.

在Rt^ECF中，

ZFEC=60°,AZEFC=30°,

.\EF=2EC,

AEF=2ED.

【教学说明】通过练习，巩固所学知识.熟练运用垂直平分线解决问题.

本节课应掌握:

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三

角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论，并能根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等

腰三角形”.

第一章三角形的证明

4角平分线

课时1角平分线的性质与判定

1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理.

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步提高学生的推理证明意识和能力.体验解决问题的方法，发

展实践能力和创新意识.

3.经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法.

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正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.

让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用.

【教学说明】高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力.尤其是对于其中很有创意的发

现，可以以该学生名字命名，以此鼓励.提高学生的积极性.

探究1:角平分线定理

己知：如图，0C是NA0B的平分线，点P在0C上，PD±0A,PE10B,垂足分别为D、E.

求证：PD=PE.

证明：VZ1=Z2,0P=0P,

ZPD0=ZPE0=90°,

.,.△PDO^APEO（AAS）.

：.PD=PE（全等三角形的对应边相等）.

【教学说明】请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流.教师在教学过程中对有困难

的学生要给予指导.

【归纳结论】角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

探究2；角平分线的判定定理.

已知：在NA0B内部有一点P,且PDJ_OA,PE±OB,D、E为垂足且PD=PE.

求证：点P在NA0B的角平分线上.

A

证明：.-.PD±OA,PE1OB,

：.ZP1）O=ZPEO=9O°.^-<1\p

__/c

在RSODP和RtZ\OEP中,OP=OP,PD=PE,/

ARtAODP0RtAOEP（HL定理）.n

・•.N1=N2（全等三角形对应角相等）.

・••点P在NAOB的角平分线上.

【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

例L如图，已知：ZC=90°,DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E,AB=2AC.求证：CE二DE.

证明：连接AE,由于NC=90°,AB=2AC,

AZB=30°,ZCAB=60°.

・・・DE是AB的垂直平分线，

AAE=BE,/.ZEAB=ZB=30°,

AZCAE=60°-30°=30°,

即即是NCAB的角平分线,

・・・CE=DE.

例2.如图，已知：E是NAOB的平分线上的一点，且EC_LOA,ED±OB,垂足分别是C、D.求证：0E垂

直平分CD.

证明：・・・0E是NAOB的平分线,

ACE=DE,

ARtAOCE^RtAODE,

AOC=OD,

AO与E都在CD的垂直平分线上，

AOE垂直平分CD.

例3.如图，已知：在aABC中，NBAC的平分线交BC于D,且DE_LAB,DF1AC,垂足分别是E、F.求

证：AD是EF的垂直平分线.

证明；:AD是NBAC的平分线,且DEJ_AB,DFXAC,

ADE=DF,

ARtAADE^RtAADF,

AAE=AF,

AA与D都在EF的垂直平分线上，

・・・AD就是EF的垂直平分线.

【教学说明】综合利用角平分线的性质和判定直角三角形.垂直平分线的相关性质解决问题.进一步发

展学生的推论证明能力.在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范.

本节课应掌握：

1.角平分线上的点到这个角两边的距离相等..

2.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

第一章三角形的证明

4角平分线

课时2三角形三个内角的平分线的性质

I.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论.

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.体验解决问题的方法，发

展实践能力和创新意识.

3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

三角形三个内角的平分线的性质.

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用.

本节课继续学习有关角平分线的性质和应用，讨论三角形中的角平分线.那么，今天的这节课的研究方

法和内容还是和线段的垂直平分线很类似，在学习的过程中，要注意对比线段垂直平分线的研究方法来学

习.

探究：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

1.证明：三角形的三条角平分线相交于一点

已知：如图，设aABC的角平分线BM、CN相交于点P,求证：P点在NBAC的角平分线上.

证明：过P点作PD_LAB,PF1AC,PE±BC,其中D、E、F是垂足.

「BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,

PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.

同理：PE=PF.

；.PD=PF.

...点P在NBAC的平分线上（在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.

/.△ABC的三条角平分线相交于点P.

2.证明：这一点到三条边的距离相等

如上图，P是AABC的三条角平分线的交点，求证：PD=PE=PF.

由上题的证明可知：PD=PE=PF.

【教学说明】让学生把证明落实到笔上，可以培养学生的数学语言表达能力，也可以让学生自己监控

自己的思维，培养学生思维的批判性.

【归纳结论】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

例1.已知：如图，P点是NAOB平分线上的一点，PC10A,PD±OB,垂足分别为C、D.

求证:(1)OC=OD；

（2）OP是CD的垂直平分线.

证明：（DP点是NA0B角平分线上的一点，PC±OA,PD±OB,

...PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

在RtZXOPC和RtZXOPD中，

OP=OP,PC=PD,

.,.RtAOPC^RtAOPDdlL定理）.

.♦.OC=OD（全等三角形对应边相等）.

（2）又1•OP是NA0B的角平分线,

/.OP是CD的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.

例2.如图：直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路

的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？

解：我找到四处.除了aABC三条角平分线交点P外，在三角形外部还有三点.作NACB、NABC外角

的平分线交于点P1（如图所示），我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在NCAB的角平分线

上，且到L、卜、L的距离相等.同理还有NBAC、NBCA的外角的角平分线的交点P2、P3.因此满足条件共

4个，分别是P、R、Pz、P,.

例3.作图证明：如图，在AABC中，作NABC的平分线BD,交AC于D,作线段BD的垂直平分线EF,

分别交AB于E,交BC于F,垂足为0,连结DF.在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明.（不写

作法，保留作图痕迹）

解：（1）画角平分线，线段的垂直平分线.（图形略）

（2）ABOE^ABOF^ADOF（证明过程略）

【教学说明】让学生首先自己思考例题的解决方法.分析例题的条件和结论，充分暴露自己的思维过程,

让学生“观摩”，在此过程中使学生知道“老师是怎么想到的”.

本节课应掌握:

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形

各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题.

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组

1不等关系

1.理解不等式的意义；

2.能根据条件列出不等式；

3.能用实际生活背景和数学背景解释简单不等式的意义

用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等

式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.

用不等式或不等式组准确地表示出不等关系.

列举出学生身体的高矮、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生

身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.那么这些不等关系怎样在数学上表示出来

呢？

【教学说明】让学生自由地展开联想，教师列举不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、

归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学

生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入下一步的探究学习，由此引入新课.

探究：1.某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为xm（xW5）的装潢条镶嵌（不计接缝）,

现有两种设计方案.如下图:

问题:

通风口规格X满足的关系式

正方形面积不大于1m2

圆的面积不小于1.5m2

2.通过测量一棵树围(树干的周长)可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测

量部位，某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约为3cm,这棵树至少生长多少年其树围才能超过

2.4m?(只列关系式)

请大家互相讨论后列出关系式.

观察由上述问题得到的关系式，

2222

1—1—5—>—•

16'4仃'4宣16'

2.3x+5>240.

它们的共同特点是什么？

【教学说明】通过学生自己总结出不等式的概念，培养