九年级中考数学第三轮压轴题冲刺：圆的综合 专题复习练习

2021年中考数学第三轮压轴题冲刺：圆的综合专题复习练习

1、如图，在QO中，为QO的直径，。为OO上一点，尸是8C的中点，过点尸作AC的垂

线，交AC的延长线于点。.

(1)求证：。尸是O。的切线；

(2)若AC=5,sinZAPC=—f求AP的长.

2、如图，已知AB是。。的直径，直线BC与。。相切于点B,过点A作AD〃0C交。。于点D,

连接CD.

(1)求证：CD是。。的切线.

(2)若4?=4,直径AB=12,求线段BC的长.

3、如图，点。在以钻为直径的。。上，点。是半圆的中点，连接AC,BC,AD,BD.过

点D作/AB交CB的延长线于点〃.

(1)求证：直线。〃是。。的切线；

(2)若:BC=6,求4),的长.

D

B

H

4、如图，△力比'是。。的内接三角形，N8AC=75°,/力80=45°.连接/。并延长，交。。

于点〃，连接过点。作。。的切线，与物的延长线相交于点反

(1)求证：AD//EC；

(2)若49=12,求线段比的长.

5、如图，力8是。。的直径，。是。。上一点，OABC7点、D,过点。作。。的切线，交如

的延长线于点£,连结龙

(1)求证：况是。。的切线;

(2)设废'交。。于点凡若DF=2,BC=A+，求线段序的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

6、如图，是O。的直径，点C是。。上一点(与点力，8不重合)，过点C作直线PQ,使

得乙ACQ=N4BC.

(1)求证：直线。。是OO的切线.

(2)过点人作人。，。。于点。，交OO于点石，若OO的半径为2,sin/D4C=g,求图中阴影

部分的面积.

7、如图，在。。中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D,使CD=CA,且NO=30。.

(1)求证：CO是。。的切线.

(2)分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足

为点G.求证：CG?=AEBF.

8、如图，在。。中，点尸为AB的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M,3C分别与AD、PD

相交于点石、N,连接BD、MN.

(1)求证：N为3七的中点.

(2)若。。的半径为8,AB的度数为90。，求线段MN的长.

D

9、如图，在RtAABC中，ZACB=90°,。为AB边上的一点，以4)为直径的交8C于点石，

交AC于点尸，过点。作CG_LA3交回于点G,交AE于点〃，过点£的弦石尸交45于点Q(EP

不是直径)，点Q为弦EP的中点，连结8P,80恰好为。。的切线.

(1)求证：8C是。0的切线.

(2)求证：EF=ED.

(3)若sinZA8C=5，AC=\5,求四边形C〃QE的面积.

10、如图，为。。的直径，四边形ABCD内接于OO,对角线AC,BD交于点E,。0的切

线A广交口)的延长线于点尸，切点为A,且NC4P=Z/W。.

(1)求证：AD=CD;

(2)若/W=4,BF=5,求sinNBDC的俏.

11、如图，48为半圆。的直径，C为半圆。上一点，与过点C的切线垂直，垂足为D,AD

交半圆。于点E.

B

(1)求证：AC平分NDW；

(2)若AE=2DE,试判断以O,A£C为顶点的四边形的形状，并说明理由.

12、如图，。。是ZAABC的外接圆，A8为直径，点P是。。外一点，且PA=PC=0A8,

连接。。交AC于点。，延长P。交。。于点b.

⑴.证明：AF=CF：

(2).若tanNABC=2及，证明：Q4是。。的切线；

(3).在⑵的条件下，连接依交。。于点E,连接OE;若BC=2,求。E的长.

13、在中，ZACB=90°,小平分4AC交比'于点0,以。为圆心，％长为半径作圆

交火于点〃.

(1)如图1,求证：AB为。。的切线;

(2)如图2,力8与。。相切于点E,连接四交勿于点正

①试判断线段力与四的关系，并说明理由.

②若OF:R7=1:2,OC=3,求tanB的值.

14、如图，在AABC中，NACB=90。，将AABC沿直线AB翻折得到MBD，连接C。交于点M.E

是线段CM上的点，连接8E.尸是岫无1的外接圆与4)的另一个交点，连接EF,BF.

(1)求证：她所是直角三角形；

(2)求证：^BEF^^BCA；

(3)当AB=6,BC=〃z时，在线段CM上存在点石，使得所和AA互相平分，求〃!的值.

备用图

15、问题提出

(1)如图1,在RtZ\/〃C中，NACB=90。，AOBCN/1W的平分线交团于点〃.过点〃

分别作DELAC,DFLBC.垂足分别为E,F,则图1中与线段一相等的线段是一CF、DE、

DF,

问题探究

(2)如图2,是半圆。的直径，AB=8.尸是崩上一点，且m=2⑸，连接仍BP.Z

.4分的平分线交力8于点C,过点。分别作CELAP.垂足分别为E,F,求线段CF

的长.

问题解决

(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知。。的直径/必=70/〃，点。

在。。上，且CA=CB.P为AB工一点、,连接以并延长，交。。于点〃.连接力〃BD.过点

Q分别作/_L/W，PFIBD,重足分别为反F.按设计要求，四边形必炉内部为室内活动区，

阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设力，的长为火(加，阴影部分的面积为

y(扁.

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当力尸的长度为30m时，整体布局比较合理.试

求当4P=300时.室内活动区(四边形物W)的面积.

c

图1图2图3

参考答案

2021年中考数学第三轮压轴题冲刺：圆的综合专题复习练习

1、如图，在0O中，为OO的直径，C为0O上一点，。是8C的中点，过点尸作AC的垂

线，交AC的延长线于点£>.

(1)求证：DP是。。的切线;

(2)若AC=5,sinZAPC=-^,求AP的长.

D

【解答】(1)证明：是8c的中点,

/.PC=PB,

:.ZPAD=ZPABf

,/OA=OP，

:.ZAPO=ZPAO,

:.ZDAP=ZAPO,

:.AD//OP>

•.尸D_LAD,

:.PD工OP,

.•.O尸是。。的切线；

(2)解：连接8C交OP于E,

•.•/W为0O的直径，

.­.Z4CB=90°,

・.♦/＞是5c的中点,

:.OP±BC,CE=BE,

四边形CD跳是矩形，

:.CD=PE,PD=CE,

\rs

sinAAPC=sinNABC,

AB13

•・・AC=5,

/.AB=13,

「.60=12,

:.PD=CE=BE=6,

|513

•/OE=-AC=-,OP=­

222f

135

,-.CD=PE=—--=4,

22

.\AD=9,

:.AP=^AD1+PD2=X/92+62=3而.

2、如图，已知AB是。。的直径，直线BC与。。相切于点B,过点A作AD〃OC交。。于点D,

连接CD.

(1)求证：CD是OO的切线.

(2)若AO=4,直径AB=12,求线段BC的长.

【详解】(1)如图，连接0D,则04=05=。。

:.ZDAO=ZADO

QAD//OC

ZDAO=/BOC,ZADO=/DOC

:"BOC=NDOC

v直线BC与。。相切于点B

ZOBC=90°

0D=0B

在MOD和/XCOB中，■/DOC=4B0C

0C=0C

「.△CO。=△C04(SAS)

AODC=ZOBC=9(r

又「0C是。。的半径

.•.C。是。。的切线；

(2)如图，连接BD

由圆周角定理得：ZADB=90°

­.Ar>=4,AB=12

：.BD=\lAB2-AD2=\l\22-42=8>/2，O8=；A8=；xl2=6

ZB0C=ZDAB

在AOC3和中，＜

ZOBC=ZADB=90°

:.〜SBD

OBBC6BC

—=—，BniIJ-=­7=

ADBD48V2

解得BC=12五.

3、如图，点C在以AB为直径的0。上，点。是半圆AB的中点，连接AC,BC,AD,BD.过

点D作OH〃A3交的延长线于点〃.

(1)求证：直线。〃是。。的切线；

(2)若AB=10,BC=6,求4),8"的长.

【解答】(1)证明：连接OD,

•.•AB为。。的直径，点。是半圆的中点,

ZAOD=-ZAOB=90°

2f

「.NOD"=90。，

:.ODYDH,

.•.直线。”是0O的切线；

(2)解：连接CD,

•.•AB为。0的直径，

:.ZADB=ZACB=9^.

•.•点。是半圆反的中点，

AD=DB,

：.AD=DB，

.•・M3。是等腰直用三角形，

•AZ?=10,

，AD=10sinZABD=1Osin45°=10x—=5x/2,

2

・"8=10,BC=6,

AC=V102-62=8,

•••四边形A8CD是圆内接四边形，

.•.NC4D+NCW=180°,

•/ZDBH+ZCBD=180°,

:,Z.CAD=ZDBH,

由（1）知NAO0=9O°,ZOBZ）=45°,

Z4CD=45°,

:.NBDH=NOBD=45。，

:.ZACD=ZBDHf

:.^ACD^^BDH,

AC_AD

丽一丽’

85&

・•-・=---，

5及BH

解得：BH=-.

4

4、如图，△力8。是。〃的内接三角形，/BAC=75°,/力a=45°.连接4。并延长，交。。

于点〃，连接BD.过点。作。。的切线，与力的延长线相交于点反

(1)求证：AD//ECx

(2)若/4=12,求线段笈的长.

E

【解答】证明：（1）连接优;

♦.•G5■与。。相切于点C,

：・/OCE=90°,

TN极=45°,

.9.ZMC=90°,

•.•/力。仆/0绫=180°,

A：,AD//EC

(2)如图，过点/作"1.星交尾于月

E

・・•/胡0=75°,N极=45°,

：.ZACB=60°,

・•・/〃=/力%=60°,

・・・sinN但霁=泉

12x2

：.AD==8b,

：・0A=0C=4W,

•:AFLEC,NOCE=90°,ZA0C=90°,

・・・四边形》先是矩形，

又,：0A=0C,

・•・四边形勿尸。是正方形，

:・CF=AF=4®

•・•/翻9=90°-ZZ?=30o,

，N劭Q180。-90°-30°=60°,

VtanZ^4^=^=V3,

:・EF=aAF=12,

:・CE=CREF=\2+A®

5、如图，4?是。。的直径，C是。。上一点,ODABC亍点、D,过点。作。。的切线，交必

的延长线于点与连结应：

(1)求证：膜是。〃的切线；

（2）设龙交。。于点凡若DF=2,BC=4栏,求线段即的长;

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

【详解】(1)证明：连接0C,如图，

V0D1BC,

ACD=BD,

・・・0E为BC的垂直平分线，

AEB=EC,

AZEBC=ZECB,

VOB=OC,

・・・ZOBC=ZOCB,

・•・ZOBC+ZEBC=ZOCB+ZECB,即NOBE=NOCE,

・・・CE为。。的切线，

Z.OC±CE,

・・・/OCE=90°,

AZ0BE=90°,

AOB±BE,

・・・BE与。0相切.

(2)设。。的半径为R,则0D=R-DF=R-2,OB=R,

在Rt^OBD中，BD=yBC=2>/3

VOD2+BD2=OB2,

・•・%一2)2+(26)2=R,解得R=4,

A0D=2,0B=4,

AZ0BD=30°,

AZB0D=60°,

・••在RtZXOBE中，NBE0=30°,0E=20B=8,

AEF=0E-0F=8-4=4,

即EF=4；

(3)由NOCD二NOBD=30°和OD_LBC知：ZC0D=ZB0D=60o,

AZB0C=120°,又BC=46，0E=8,

S阴影=S四边形-S扇形OBC

土2看

=I6g智

6、如图，A3是的直径，点。是G）O上一点（与点4，"不重合），过点C作直线PQ,使

得ZACQ=ZA8C.

（1）求证：直线PQ是。。的切线.

（2）过点A作AO_LPQ于点。，交0O于点E,若0O的半径为2,sin/D4C=；,求图中阴影

部分的面积.

【解答】解：（1）证明：如图，连接OC,

Q

•.•人“是。。的直径,

.­.ZAC6=90°,

•••Q4=0C,

:.ZCAB=ZACO.

•・•ZACQ=ZABC,

NCAB+ZABC=ZACO+ZACQ=ZOCQ=90°,即OC_LPQ,

，直线。。是OO的切线.

(2)连接OE,

•/sinZDAC=-,AO_LPQ,

.-.zmc=3()°,ZACD=ar.

又「OA=OE,

.•・AAEO为等边三角形,

.-.Z4OE=60°.

4i影=s礴形―5以60

=S(i^-^OAOEsin600

60不小I…G

=——x2"--x2x2x—

36022

卷一6

，图中阴影部分的面积为予-6

7、如图，在。。中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D,使CD=CA,且NQ=30。.

c

（1）求证：CO是。。的切线.

（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足

为点G.求证：CG?=AEBF.

【详解】解：（1）连接0C,如下图所示:

VCA=CD,且ND=30°,

・・・NCAD=ND=30°,

・.•OA=OC,

・•・ZCAD=ZAC0=30°,

・・・/COD=NCAD+NAC0=300+30°=60°,

AZ0CD=180°-ZD-ZC0D=180°-30°-60°=90°,

OC±CD,

・・・CD是。。的切线.

⑵连接BC,如下图所示：

VZC0B=60°,且OC=OB,

•••△OCB为等边三角形,NCBG=60。，

又CGJ_AD,AZCGB=90°,

・・・/GCB=NCGB-NCBG=30°,

又/GCD=60°,

・・・CB是NGCD的角平分线，且BF_LCD,BG±CG,

/.BF=BG,

又BC=BC,

.,.△BCG^ABCF,

・・・CF=CG.

VZD=30°,AE1ED,ZE=90°,

・・・/EAD=60°,

又/CAD=30°,

・・・AC是NEAG角平分线，且CE_LAE,CG±AB

/.CE=CG,

VZE=ZBFC=90°,ZEAC=30°=NBCF,

AAAEC^ACFB,

APCE

：.——=—,BPAEBF=CFCE

CFBFt

乂CE=CG,CF=CG,

:.AEBF=CG2.

8、如图，在0O中，点。为48的中点，弦4）、PC互相垂直，垂足为v，8c分别与4）、PD

相交于点E、N,连接BD、MN.

（1）求证：N为廉的中点.

（2）若。。的半径为8,的度数为90。，求线段的长.

D

【解答】(1)证明：•・•?!£)_L?C,

.♦./EMC=90。，

•.•点2为A4的中点，

/.PA=PB,

:,ZADP=ABCP.

•;NCEM=ADEN,

:ZDNE=/EMC=90°=ZDNB,

PA=PB,

:.ABDP=ZADP,

:.ZDEN=ZDBNf

DE=DB，

:.EN=BN,

二./V为跖的中点；

(2)解：连接04,OB,AB.AC,

•・•AB的度数为90。,

.•.Z4O"=90°,

\-OA=OB=S,

AB=8x/2,

由(1)同理得：=

•;EN=BN,

「.MN是AA砂的中位线，

:.MN=>AB=40.

2

9、如图，在RtAABC中，ZACB=90。，。为A3边上的一点，以40为直径的OO交于点£,

交AC于点、F,过点C作CG_LA8交A4于点G,交AE于点H,过点石的弦样交A,于点Q(EP

不是直径)，点。为弦稗的中点，连结AP,“尸恰好为00的切线.

(1)求证：BC是。。的切线.

(2)求证：EF=ED.

(3)若sinNABC=],AC=\5,求四边形C77Q石的面积.

【解答】(1)证明：连接OP,

点Q为弦砂的中点，

.•.A"垂直平分样，

:.PB=BE,

•;OE=()P,()B=OB,

ABEO"BPO(SSS),

:.ZBEO=ZBPC)f

•.•即为。。的切线，

/.ZBPO=90°,

/.ZBEO=90°,

:.OE±BCf

二.6。是OO的切线.

(2)解：•/ZBEO=ZAC^=9(P,

:.AC//OEf

:.ZCAE=ZOEAt

•：OA=OE,

:.AEAO=ZAE().

:.ZCAE=ZEAO,

EF=ED.

(3)解：•:4)为的6)直径，点。为弦石尸的中点,

.'.EPA.AB,

•・・CG_LA8,

:.CG//EP,

•.•ZACB=NBEO=90°,

:.ACHOE,

:.ZCAE=ZAEOf

•M)A=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

:.ZCAE=ZEAO.

•/ZACE=ZAQE=90°,AE=AEy

.5CE二AAQ£(A4S),

/.CE=QE，

Z4EC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

:.NCEH=ZAHG,

•;ZAHG=4CHE,

:.NCHE=/CEH,

:.CH=CE,

CH=EQ,

：.四边形CHQE是平行四边形，

•;CH=CE,

四边形C4QE是菱形，

Af；3

•/sin/ABC=sinZACG=——=-,

AC5

•/AC=15,

:,AG=9f

:.CG=dAC?-AG?=12,

.\AQ=AC=\5,

/.(2G=6,

HQ2=HG2+QG2,

222

:.HQ=(\2-HQ)+6f

解得：HQ=*

...CH=HQ=*

/.四边形C〃QE的面积=C”・G2=5x6=45.

10、如图，AB为。。的直径，四边形A3CZ)内接于(DO,对角线AC,BD交于点E,。。的切

线A厂交8。的延长线于点尸，切点为A,且NC4D=ZAB。.

(1)求证：AD=CD}

(2)若AB=4,BF=5,求sinNBOC的值.

A

【解答】解：（1）证明：•.•NCW=ZABQ,

:.ZACD=ZCADf

:.AD=CD\

(2)•「AF是0。的切线，

.•.NE48=90。，

•••AB是。。的直径，

ZACB=ZADB=ZADF=90°,

/.ZABD+ZBAD=ZBAD+ZFAD=9(r，

.\ZABD=ZFAD,

\-ZABD=ZCAD,

.\ZFAD=ZEAD,

,,,AD=ADt

MLDF^ADE(ASA),

：.AF=AE,DF=DE,

•.・AB=4,BF=5,

AF=yjBF2-AB2=3,

,-.A£=AF=3,

-S^F=^AI3.AF^I3F.ADf

ABMF4x3_12

AD=

BF~~T~~5

：.DE=ylAE2-AD2=^32-(y)2=1,

7

:.BE=BF-2DE=-,

5

•.•ZAED=ZBEC,Z/U)E=ZBCE=90°,

/.ABEC^MED,

BEBC

「・--=---,

AEAD

,8C=如/生，

AE25

YZBDC二ABAC,

sinZ.BDC=—.

11、如图，43为半圆0的直径，C为半圆0上一点，4。与过点C的切线垂直，垂足为D,AD

交半圆0于点E.

（1）求证：4c平分NZM8；

（2）若AE=2DE,试判断以O,A,瓦。为顶点的四边形的形状，并说明理由.

【详解】解：（1）证明：连接03如下图所示：

•；CD为圆。的切线,r.Z0CD=90o,

AZD+Z0CD=180°,

・・・0C〃AD,

・•・ZDAC=ZACO,

又OC=OA,

AZACO=ZOAC,

AZDAC=ZOAC,

・・・AC平分NDAB.

(2；四边形EAOC为菱形，理由如下：

连接EC、BC、E0,过C点作CH_LAB于H点，如下图所示,

由圆内接四边形对角互补可知，ZB+ZAEC=180°,

又/AEC+NDEC=180°,

AZDEC=ZB,

又/13+/。\13=90°,

ZDEC+ZDCE=90°,

・・・ZCAB=ZDCE,

又/CAB=/CAE,

AZDCE=ZCAE,且ND=ND,

AADCE^ADAC,

设DE=x,则AE=2x,AD=AE+DE=3x,

.CDDE.,、

・・K="，­­CD-=AD-DE=3x2,

ADCD

:.CD=43x,

在RSACD中，tanZDAC=—=—=—,

AD3x3

/.ZDAC=30°,

AZDA0=2ZDAC=60°,且OA=OE,

AAOAE为等边三角形，

由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：ZE0C=2ZEAC=60°,

.,.△EOC为等边三角形，

.e.EA=AO=OE=EC=CO,

即EA=AO=OC=CE,

・・・四边形EAOC为菱形.

12、如图，。。是A8c的外接圆，A8为直径，点P是。。外一点，且PA=PC=043,

连接P。交4c于点。，延长P。交。。于点尸.

⑴.证明:AF=CFi

(2).若tan乙43。=2近，证明：是。。的切线；

(3).在⑵的条件下，连接废交＜3。于点E,连接。E;若BC=2,求OE的长.

【详解】解：(1)证明：如图，连接CO,

在△PCO和△PAO中，

CO=AO

,PO=PO,

PA=PC

AAPCO^APAO(SSS),

・・・/CPONAPO,即PO为NAPC的角平分线，

VPA=PC,

.・・CD;AD,PF±AC,

・•'AC为00的弦,PF过圆心0,

・・.F为优弧AC中点，

•*-AF=CF，

(2)证明：・・・AB是。。的直密，且弦AB所对圆周角为/ACB,

/.ZACB=90°,

VtanZABC=2\/2，

/.sinZABC=—,cosNABO!,

33

设。。的半径为r,则AB=2r,

.\BC=ABcosZABC=^,AOABsinNABC二生豆，

33

:.OD=ylcO2-CD2=-r,

3

VPA=PC=V2AB,

・・・PA=PC=2后，

:.PD=yJPA^-AD2=-r,

3

AP0=PD+0D=3r,

/.PA2+AO2=PO2，即PA±0A,

又・・・0A是。。半径，

・・・PA是。。的切线；

2

(3)由(2)可得3C=§〃=2,

:.厂=3,

在RtZkPBA中，PB7P#+A4=,8J+4)=2后,连接AE,可得NAEB=90°,

AZPEA=ZPAB=90°，又NAPE二NAPB,

AAPEA^APAB,

.PE_PA

•・PA~PB'

・DC_46

••PE=----r,

3

过E作EN_LPD于N,过B作BHJ_PF于H,如图所示，

AZBCD=ZCDF=ZBHD=90°,

・・・四边形BCDH是矩形，

・・・BH二CD二辿r,

3

2V2

在RtZ\BPH中，sin/BPH=，，二亍“二新，

PB~2回一9

在RtZ\PEN中，sinZBPH=—,AEN=—r,

PE9

PN=yJPE2-EN2=—r

9

8?04

AND=PD-PN=-r——r=-r,

399

在RSNED中，DE=yjND2+EN2=—r,

9

*.*r=3,

/.DE=^^

3

13、在心“tBC中，ZACB=9()\04平分/BAC交BC于点、0,以。为圆心,%长为半径作圆

交理于点〃.

(1)如图1,求证：AB为。。的切线；

(2)如图2,力夕与0。相切于点E,连接成交物于点E

①试判断线段力与四的关系，并说明理由.

②若O尸：爪=1:2,OC=3,求tan8的值.

【详解】解：(1)如图，过点。作OG_LAB,垂足为G,

0A平分/BAC交勿于点0,

/.OG=OC,

・••点G在。。上，

即AB与GX9相切;

（2）①0A垂直平分CE,理由是：

连接0E,

•・•也与0O相切于点E,力。与。。相切于点C,

JAE二AC,

VOE=OC,

AOA垂直平分CE；

②OF:FC=1:2,OC=3,

则FO20F,在△OCF中,

。产？+（2。尸『=3?,

解得：OF二主叵，则CF二述，

55

由①得：OAXCE,

则/OCF+NCOF=90°,又N0CF+NACF=90°,

：.ZCOF=ZACF,而/©「0二/40）二90°,

AAOCF^AOAC,

3x/5675

.PCOFCF

即3.丁_丁

'~dA~~OC~~AC

~OA~~T~~AC

解得：AC=6,

・・・AB与圆0切于点E,

・・・NBEO90°,AC=AE=6,而/B=NB,

AABEO^ABCA,

.BEOEBO

设BO=x,BE=y,

y3x

则

3+x6y+6'

6y=9+3x

可得：

6/=3y+18'

x=5

解得：,,即BOW,BE=4,

y=4

OE3

tanB=~BE4

14、如图，在MBC中,ZACB=9O。,将AABC沿直线AB翻折得到AABZ),连接CD交AB于点、M.E

是线段CM上的点，连接8E.厂是AfiZ比1的外接圆与4)的另一个交点，连接EF,BF.

(1)求证：的即是直角三角形；

(2)求证：^BEF^ABCA;

(3)当AB=6,8C=〃z时，在线段CM上存在点E,使得即和45互相平分，求刖的值.

备用图

【解答】（1）证明：•;ZEFB=/ZEDB,ZEBF=ZEDFf

NEFB+/EBF=ZEDI3+NEDF=ZADB=90°,

;.NBE尸=90°,

二.Afi石尸是直角三角形.

(2)证明：・.・BC=BD,

NBDC=/BCD,

•."FB=ZEDB，

:.NEFB=NRCD,

•/AC=ADfBC=BD,

.\AB1CD,

.\Z4MC=90o,

ABCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

:.ZBCD=ZCABf

;2BFE=NCAB,

•.•ZACB=NFEB=90°,

:.M3EF^M3CA.

(3)解：设所交A8于J.连接AE.

・.・£F与44互相平分，

/.四边形A/7语是平行四边形，

.•.NEFA=NFEB=9(甲，^EFLAD,

\'BDVAD,

:.EF//BD,

,;AJ=JB,

:.AF=DF.

..FJ=-BD=—,

22

/.EF=m，

•.AABCSACBM,

:.BC:MB=AB:BC,

6

/.BE:BM=BJ:BE,

in

BE--^=,

•.gEFs^BCA,

ACBC

~EF~~BE

即xl36-m2_m

mm

五

解得机=26(负根已经舍弃).

15、问题提出

(1)如图1,在Rt△力比中，ZACB=90°,AOBC,N力％的平分线交力8于点〃.过点〃

分别作DEA.AQDFIBC.垂足分别为E,/，；则图1中与线段一相等的线段是CF、DE、

DF.

问题探究

(2)如图2,四是半圆。的直径，/8=8.〃是AS上一点，且丽=2⑸，连接仍BP.Z

.4所的平分线交加于点。，过点。分别作血/RCFLBP