北师大版九年级数学上册全册课时练习(一课时一练)

北师大版九年级数学上册全册课时练习

1第一课时菱形的概念及其性质

1.iOS1-1-1,在。ABCD中,若添加下列条件：①AB=CD；②AB=BC；®Z1=Z2.

其中能使。ABCD成为菱形的有()

图1-1-1

40个8.1个C.2个〃3个

2.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1—1—2所示，点C的坐标是(6,0),点

A的纵坐标是1,则点B的坐标是()

A.(3,1)B.(3,-1)

C.(1,-3)D.(1,3)

图1-1-2图1-1-3

3.如图1一1一3,P是菱形八BCD对角线BD上的一点，PE_LAB于点E,PE=4cm,则点

P到BC的距离是_______cm.

4.如图1一1一4,在菱形/灰笫中，/胡g120°.已知△力应'的周长是15,则菱形力以力

的周长是()

A.25B.20

C.15D.10

图1-1—5

5.如图1—1—5,在菱形/四中，对角线力。，8〃相交于点0,〃为力。边的中点.若

菱形力腼的周长为32,则阳的长为

6.如图1一1一6,在中，AB=AC,四边形"牙'是菱形.求证：BE=CE.

图1—1—6

7.如I图1一1一7,在菱形力及力中，AC=6,BD=8,则菱形力驱的边长为()

A.5B.10C.6D.8

8.已知菱形的边长是2cm,一条对角线长是2cm,则另一条对角线长是()

A.4cmB.23cm

C.3cmD.3cm

图1-1-7图1-1-8

9.如图1一1一8,在菱形力跄)中，AC,劭相交于点0,若N83=55°,则N6W=

10.如图1一1一9,四边形第Q?是菱形，4(3,0),BS,4),则点C的坐标为()

图1—1—9

A.(-5,4)B.(-5,5)

C.(-4,4)D.(-4,3)

11.一个菱形的边长为4cm,且有一个内角为60°,则这个菱形的面积是.

12.如图1一1一10,在菱形力8口中，/劭0=80°,对角线4G即相交于点0,点£

在48上，且BE=BO,则/泌=°.

图1—1—11

13.如图1一1一11,四边形松口是菱形，AC=2^劭=10,DHUB于点"则线段加

的长为.

14.如图1一1一12所示，已知菱形力质的两条对角线长分别为6和8,MN分别是边

BC,切的中点，〃是对角线劭上一点，则/¥+/W的最小值是

图1-1-12

15.如图1一1一13,在菱形ABCD中,ZA=60°,AB=4,0为对角线BD的中点，过点

0作0E_LAB,垂足为E.

(1)求NABD的度数；

(2)求线段BE的长.

图1一1一13

16.如图1一1一14所示，四边形ABCD是菱形，CEJ_AB交AB的延长线于点E,CFXAD

交AD的延长线于点F,请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想.

图1一1一14

17.如图1一1—15,已知菱形ABCD的对角线相交于点0,延长AB至点E,使BE=AB,

连接CE.

(1)求证：BD=CE；

(2)若NE=50°,求NBA0的度数.

图1—1—15

第二课时菱形的判定

1.如图1—1—16,要使口力跖9成为菱形，则需添加的一个条件是()

图1—1—16

A.AC=ADB.BA=BC

C.N4?C=90°D.AC=BD

2.如图1一1一17,在△力比'中，力。是的平分线，DE//AC加〃四.求证：四边形

AEDF是菱形.

图1-1-17

3.下列命题中，正确的是()

A.对角线相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4.如图1一1一18,在nABCD中,48=13,AC=10,当BD=时，四边形月8。9

是菱形.

5.如图1一1一19,在。力四中，对角线4a劭相交于点0,力8=5,NC=6,BD=&

求证：四边形力也是菱形.

图1-1-19

6.用直尺和圆规作一个菱形，如图1—1—20,能判定四边形力质是菱形的依据是（）

图1-1-20

A.一组邻边相等的四边形是菱形

B.四边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

7.如图1一1一21,在△/!宏中，AB=AC,/8=60°,4FAC,是△?!比的两个外

角，平分NHC,CD平■令NECA,

求证：四边形月腼是菱形.

图1一1一21

8.如图1一1一22所示，在口ABCD中,AE,。'分别是和乙夕位的平分线.添加一

个条件，仍无法判定四边形力既为菱形的是（）

A.AE=AFB.EFLAC

C.N8=60。D.4。是N用尸的平分线

9.如图1一1—23,D,E,/分别是△/18C的边/昆BC,4。的中点.若四边形力叱是

菱形，则△4式必须满足的条件是（）

A.ABA.ACB.AB=AC

C.AB=BCD.AC=BC

10.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是.

图1-1-24

11.如图1一1一24,E,F,G,〃分别是任意四边形力腼中力〃，BD,BC,。的中点，

当四边形力版的边满足条件时，四边形必以是菱形.

12.如图1一1一25,在色中，N43=90°,NB=60°,作边力。的垂直平分线/

交也于点〃，过点。作血的平行线交，于点反判断四边形的位的形状，并说明理由.

A

图1—1—25

13.如图1一1—26,在RtZM比中，Z^=90°,£是4C的中点,，AC=2A&N/C的

平分线交回于点〃作力勿阳连接应'并延长交"1于点五，连接此

求证：四边形力叱是菱形.

图1一1一26

14.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板4%

与三角板45F按如图1—1—27①所示方式放置，现将三角板力哥'绕点力按逆时针方向旋转

。(0°Va<90°),如图②，褴与先交于点M,柘与即交于点N,BC与斯交于点P.

(1)求证：

(2)当旋转角。=30°时，判断四边形力分少的形状，并说明理由.

图1-1-27

第3课时菱形的性质与判定的综合应用

1.已知菱形的两条对角线长分别是12和16,则此菱形的面积是()

A.192B.96C.48D.40

图1-1-28

2.如图1—1—28,菱形ABCD的周长是20,对角线AC,BD相交于点0,若BD=6,则

菱形ABCD的面积是（）

A.6B.12C.24D.48

3.如图1一1—29,已知菱形ABCD两条对角线BI）与AC的长度之比为3：4,周长为40

cm,求菱形的面积及高.

图1-1-29

4.如图1一1—30,在平行四边形力8。9中，AC平分NDAB,AB=2f则四边形45⑦的周

长为（）

A.4B.6C.8D.12

图1一1一31

5.如图1一1一31,剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中

一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）

A./ABC=4ADC,4BAD=/BCDB.AB=BC

C.AB=CD,AD=BCD.NDAB+NBCD=M°

6.如图1—1—32,将等边三角形48c沿射线比向右平移到△况F的位置，连接力0,

BD,则下列结论：①AD=BG②即"＞互相平分；③四边形力物是菱形；④BDIDE.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图1一1一33,在菱形四切中，点力在x轴上，点8的坐标为(8,2),点〃的坐

标为(0,2),则点C的坐标为.

8.如图1一1一34所示，在菱形/融力中，AE2BC,BE=EC,AE=2,则用=___.

9.如图1-1-35,4。是△力比'的角平分线，DEHAC交AB于点E,DF"AB交,AC干aF,

且力〃交所于点0,则N/10F=°.

10.如图1一1一36,在△/式中，D,£分别是48,〃'的中点，BE=2DE,延长应到点

F,使得EF=BE,连接成

(1)求证：四边形M石是菱形；

(2)若以=6,/应户=120°,求四边形喏的周长.

图1一1一36

图1一1一37

11.如图1一1一37,四边形仍切的四边相等，且面积为120cm\对角线力占24cm,

则四边形力版的周长为（）

图1-1-38

甲：连接4G作4c的垂直平分线JW分别交/〃，AC,BC于点机0,N,连接力MC弘

则四边形4代时是菱形.

乙：分别作/儿N8的平分线力区BF,分别交力〃于点色居连接防则四边形

48EF是菱形.

根据两人的作法可判断（）

A.甲正确，乙错误B.甲错误，乙正确

C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误

图1-1-39

13.如图1一1一39,菱形的边长为8cm,Z/f=60°,DE1AB于点E,DFIBC于

点尸,则四边形倒下的面积为cm2.

14.如图1一1一40,在菱形48切中，。是45上的一个动点（不与点4«重合），连接

如交对角线力。于点£连接班：

（1）求证：NAPD=NCBE；

（2）试问尸点运动到什么位置时，△力分的面积等于菱形4阅9面枳的I为什么？

4

图1—1—40

15.如图1一1一41,在四边形被力中，AB=ADfBD平■分匕ABC,AOLBD,垂足为〃

(1)求证：四边形［次办是菱形；

⑵若⑺=3,BD=25,求四边形力及力的面积.

图1-1-41

16.教材“做一做”变式题明明将两张长为8cm,宽为2cm的长方形纸条交叉叠放，

如图1—1—42①所示，他发现重叠部分可能是一个菱形.

⑴请你帮助明明证明四边形力腼是菱形；

(2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时,

菱形4战的周长最大，求此时菱形力幽的周长.

图1—1—42

2第1课时矩形的概念及其性质

1.若矩形力时的两邻边长分别是1,2,则其对角线即的长是(

A.4B.3C.乖D.2\5

2.如图1一2—1所示，在矩形力腼中，£是回边的中点，且〃平分N为〃，CE=2,

则切的长是（）

A.2B.3C.4D.5

C图1—2T6图1一2一2

3.如图1一2—2,在矩形加切中，AB=2BC,在面上取一点E,使力£=仍则/胸

的度数是（）

A.30°B.22.5°C.15°D.10°

4.如图1一2—3,在矩形川阳9中，点。在边48上，N力公求证：AO=BO.

图1一2一3

5.如图1一2—4,在矩形40中，对角线力C,4〃相交于点0,NAC430：则N408

的度数为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

图1一2一4

6.ta01-2-5,在矩形仍切中，对角线力G切相交于点0,N4如=60°,AC=6cm,

则相的长是（）

A.3cmB.6cmC.10cnD.12cm

图1一2一6

7.如图1一2—6,在矩形49锻中，对角线/C,劭相交于点0,邑产分别是10,力〃的

中点，若14=6cm,BC=8cm,则用'=cm.

8.如图1一2—7,在矩形力切9中，过点月作比7/月。交加的延长线于点月求证：BE

=BD.

图1一2一7

9.若直角三角形两条直角边的长分别为6和8,则斜边上的中线的长是（）

2412

A.5B.10C.D.

图1-2-8

10.如图1一2—8,△力比'中，/力缈=90°,NQ55°,〃是斜边48的中点，那么N

"Z）的度数为（）

A.15°B.25°C.35°D.45°

11.如图1一2—9,已知△力比'和劭均为直角三角形，其中44%=N498=90。，E

为月8的中点.求证：CE-DE.

图1—2—9

12.如图1一2—10,已知矩形力腼沿着直线勿折叠，使点。落在点C'处，BC交

AD于点、E,力。=8,48=4,则处的长为（）

A.3B.4C.5D.6

图1一2—11

13.如图1一2—11,在矩形仍切中，E,尸分别是力H曲的中点，连接DE,BF,分别

取应,砂的中点机M连接力MCN,MN,若AB=5,BC=8,则图中阴影部分的面积为()

A.5B.8C.13D.20

14.如图1—2—12,在矩形仍冲中，两条对角线相交于点0,折叠矩形，使顶点〃与

对角线交点0重合，折痕为能已知△瓒的周长是10cm,则矩形仍⑺的周长为()

A.15cmB.18cmC.19cmD.20cm

15.如图1一2—13,在'中，N力8=90。，D,E,尸分别是边48,BC,。的中

点，若CD=6cm,则EF=cm.

16.如图1一2—14,在矩形力SCO中,连接对角线/C,BD,将△［比'沿a'方向平移，

使点8移到点C,得到△比£：

(1)求证：△力作△EU

(2)请探究△应应的形状，并说明理由.

图1一2—14

17.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.

性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等.

理解；如图1一2—15①，在△川宓中，勿是力?边上的中线，那么和△“夕是“友

好三角形”，并且SdMD=

应用：如图1一2一15②，在矩形被力中，AB=4,BC=6,点£在助上，点尸在8c上,

AE=FB,月尸与班'交于点0.

(1)求证：△力帆和△力应'是“友好三角形”；

(2)连接阳，若△力宏和△〃比'是“友好三角形”，求四边形切。尸的面积.

图1-2-15

参考答案

1.C2.A3.C.

4.证明：•・•四边形力腼是矩形，

：，ZA=ZB=9Q°,AD=BC.

Y4A0C=4B0D,

：.4AOC-4D0C=/BOD—4DOC,

^ZAOD=ZBOC.

在△40〃和△毗中，NA=NB,4A0D=4B0C,AD=BC,

，△加屋△灰C：.A0=B0.

5.B6.A7.2.5

8.证明：•・•四边形力反力是矩形，

:・AC=BD,AD//BC.

丈：BEHAC,

・•・四边形4胸是平行四边形，

：.BE=AC,:・BE=BD.

9.A.10.C.

11.证明：在Rt△力助中，

为斜边49的中点，

:・CE='AB.

2

在Rt△力劭中，

•・•£为斜边4?的中点，

：,DE=XAB.

2

：.CE=DE.

12.C13.D14.D15.6

16.解：(1)证明：・・•四边形力版是矩形，

：.AB=DC,AC=BD,AD=BC,/ADC=4ABC=9G.

由平移的性质得：DE=AC,EC=BC,ZDCE=4ABC=9Q°,DC=AB,

：.AD=EC.

在△?!必和△拉心中，AD=EG4ADC=4ECD,CD=DC,

:.AAC哈4EDC.

(2)应是等腰三角形.理由如下：

,:AC=BD,DE=AC,

:・BD=DE,

・•・△皮坦是等腰三角形.

17.解：⑴证明：•・•四边形力及力为矩形，

：.AD//BCt：.ZEAO=ZBFO.

又•：/AOE=/FOB,AE=FB,

:・XAO%XFOB,:・EO=BO,

；・AO是AABE的边理上的中线，

，△力仍和△/比是“友好三角形”.

⑵•••△〃乃和△〃施是“友好三角形”，

:.五触=8膜，AE=ED=1AD=1BC=3.

22

YXAOB和XAOE是“友好三角形”，

,,Si4O8=S»蝇

":丛AO恒丛FOB,・・・丛触=2m,

,•&«»=S&QM

••Sito皿=S矩形皿—22/即=4X6—2XX4X3=12.

第2课时矩形的判定

1.如图1—2—16,要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）

A.AB=BCB.A0=C0

C.ZABC=90°D.Z1=Z2

2.木工师傅做一个矩形木框，做好后量得长为80c加，宽为60cm,对角线的长为100

cm,则这个木框.（填“合格”或“不合格”）

A

区:

3.如图1一2—17,在4AB,CA中D_LBC于点D,DE〃AC交AB于点E,DF〃AB交AC于

点F,当aABC满足条件__________时，四边形AEDF是矩形.

4.如图1一2—18,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,且DE〃AC,AE〃BD.求证:

四边形AODE是矩形.

图1-2-18

图1-2-19

5.如图1—2—19,平行四边形力腼的对角线力。与物相交于点0,要使它成为矩形，

需再添加的条件是（）

A.AO=OCB.AC=BD

C.AC^BDD.BD平■分/ABC

6.如图1一2—20,在口ABCD中,对角线力心勿相交于点0,勿=3,要使。ABCD为矩

形，则出的长为（）

A.4B.3C.2D.1

7.如图1一2—21,工人师傅砌门时，要想检验门框力腼是否符合设计要求（即门框是

不是矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线47,劭的长度，然后看

它们是否相等就可以判断了.

⑴当包________（填“等于”或“不等于”）加时，门框符合要求；

（2）这种做法的根据是.

8.如图1一2—22,四边形是平行四边形，对角线力。，助相交于点0,X0AB为

等边三角形，BC=3.求四边形/1宓9的周长.

T^T

图1一2—22

9.对于四边形力及力，给出下列4组条件：①N4=/8=NC=N〃；②NB=/C=N戾

③NA=NB,ZC=ZD；④N4=/4=/r=90°,其中能得到“四边形力腼是矩形”的条

件有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

图1-2-23

10.如图1一2—23,直角4仍内的一点〃到这个角的两边的距离之和为6,则图中四

边形的周长为.

11.下列命题错误的是（）

A.有三个角是直角的四边形是矩形

B.有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形

C.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

12.如图1一2—24,四边形仍切的对角线〃；即相交于点0,已知下列6个条件：

QABHDG②AIADG③AC=I泌

④N/I及=90。；⑤OA=OC；⑥OB=OD.

下列组合中，不能使四边形〜如成为矩形的是（）

A.①②③B.②③④

C.②⑤⑥D.④⑤⑥

Dr

1-2-24图1-2-25

13.如图1一2—25,D,E,F分别是△/回各边的中点.添加下列条件后，不能得到四

边形4颂是矩形的是（）

A./物890°B.BC=2AE

C.ED平分/AEBD.AEA.BC

图1一2—26

14.如图1-2-26,已知四边形仍口E,F,G,，分别是四边的中点，只要四边形仍切

的对角线1G勿再满足条件,则四边形加第一定是矩形.

15.如图1一2—27,AB//CDfPM,PN,QM,QV分别为角平分线.求证：四边形〃皿V

是矩形.

图1-2-27

16.如图1一2—28,在△』式中，AB=AC,〃为比'的中点，£是△』面外一点且四边形

力糜是平行四边形.求证：四边形/小万是矩形.

图1-2-28

17.如图1一2—29,四边形仍切的对角线〃；劭交于点0,已知。是然的中点，AE

=CF,DF//BE.

(1)求证：△B0%AD0F；

⑵若MAC,则四边形力及力是什么特殊四边形？请证明你的结论.

2

图1-2-29

18.如图1一2—30,在中，0是边力。上的一个动点，过点0作直线觑V〃庶设

亚V交N4%的平分线于点E,交的外角/力切的平分线于点F.

(1)求证：OE=OF\

(2)若四=12,CF=5,求比的长；

(3)当点。在边力。上运动到什么位置时，四边形力郎是矩形？并说明理由.

图1-2-30

1.C

2.合格

3.答案不唯一，如/阴493°

4.证明：；四边形力力力是菱形,

：.ACVBD,・・・/力勿=90°.

•:DE"AC,AE//BD,

・•・四边形力①£是平行四边形.

又・・・N40〃=9O°,

・•・四边形AODE是矩形.

5.B6.B

7.(1)等于

(2)对角线相等的平行四边形是矩形

8.解：•••四边形］腼是平行四边形，

：.AC=20A,BD=20B.

•••△创8为等边三角形，：,OA=OB=AB,

:.AC=BD,

・•・四边形力腼为矩形，

，N"C=90°.

在RtZ\/1勿中，AC=2OA=2AB,BC=3,由勾股定理，得他=AC~BC=\,

・•・四边形/筋的周长=2(加+闱=2(1+3).

9.B1012.11.C12.C13.D14.ACYBD

15.证明：•:PM,7W分别平分N4砧4BPQ,

:.ZMPQ='NAPQ,ZNPQ=14BPQ.

22

•:NAPQ+NBPgl800,

抄什NA琅=90°,即NJ优"90°.

同理可证乙阕V=90°.

*：AB//CD,・・・/力河+/6'啊180",

：,4MPZ4MQP=90°,

即N4图=90°,・•・四边形4跖V是矩形.

16.证明：•・•四边形力坑也是平行四边形，

:.AE"B3AB=DE,AE=BD.

•・•〃为勿的中点，：.CD=BD.

：.CD//AE,CD=AE,

・•・四边形力腔是平行四边形.

'：AB=AC,AB=DE,

：.AC=DEt

・•・平行四边形力腔是矩形.

17.解：(1)证明：•:DF〃BE,

AAFDO=ZEBO,4DF0=/BEO.

■O为47的中点,：,OA=OC.

•:AE=CF,

：.OA-AE=OC-CFf

即UE=U卜：

在△屐和△加户中，/EBO=NFD0,ZBEO=NDF0,OE=OF,

:.△B0%XD0FQ也.

(2)若勿=0a则四边形力比刀是矩形.

2

证明：,:丛BO恒丛DOF,：.OB=OD.

•：01)=1AC,

2

：.OA=OB=OC=OD,且初=HC,

・•・四边形N8切是矩形.

18.解：⑴证明：,・」掷交4座的平分线于点反交N/I⑦的外角平分线于点片如图

所示，

・・・/2=N5,N4=N6.

YMN〃B3AZ1=Z5,Z3=Z6,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

：,OE=OC,OF=OC,：.OE=OF.

（2）VZ2=Z5,N4=N6,

・・・N2+N4=N5+N6=90°.

0=12,CF=5,:・EF=122+52=13,

：・0C='EF=6.5.

2

（3）当点。在边47上运动到北?的中点时，四边形4a尸是矩形.

理由：当。为/C的中点时，486〃

又Y0E=0F,

・•・四边形力如'是平行四边形.

又・・・N£6F=90°,

，四边形/附是矩形.

第3课时矩形的性质与判定的综合应用

1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.对边分别相等B.对角分别相等

C.对角线互相平分D.对角线相等

2.下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②对角线

相等的四边形是矩形：③有两个角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四

边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°,那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别

是（）

A.22°,68°B.44°，65°C.24°,66°D.40°,50°

4.如图1一2—31所示，矩形力伙力中，HQ3,8c=5,点E在加上,且掇平分N力阳

则△/应1的面积为（）

A.2.4B.2C.1.8D.1.5

5.如图1一2—32,。是矩形火四的对角线力。的中点，"是的中点.若Aff=5,AD

=12,则四边形力切加的周长为_______.

6.在矩形纸片力眼中，AD=Acm,4?=10cm,按如图1―2—33所示方式折叠，使点

6与点〃重合，折痕为所，则〃4_______cm.

7.如图1一2—34,在矩形力比初中，BC=20cm,点尸和点0分别从点8和点。出发，

按逆时针方向沿矩形力比。的边运动，点P和点。的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快

s后，四边形/皮铝成为矩形.

8.如图1一2—35,在四边形4ra中，N4=N/O=90°,BC=CD,CELAD,垂足为£

求证：AE=CE.

图1-2-35

9.如图1一2—36,在矩形4完9中（力〃>//，E是BC上一点,且DE=DA,AFVDE,垂

足为凡在下列结论中，不一定正确的是（）

丛

A.AFD04DCEB.AF=1ADC.AB=AFD.BE=AD-bF

2

10.如图1一2—37,AABC口,47的垂直平分线分别交47,AB于点D,F,BE1DF交

加的延长线于点区已知N4=30°,BC=2,AF=BF,则四边形8。院的面积是（）

A.23B.33c.4D.43

11.如图1一2—38,在△力比中，/Q6,AC=8,BC=10,尸为边宛上一动点（且点P

不与点8,C重合），PEUB于.点E,PWC于点、F,则分'长的最小值为（）

图1-2-38

A.4B.4.8C.5.2I）.5

12.如图1—2—39,矩形40中，对角线4C,即相交于点0,过点。的直线分别交

AD,即于点F,己知4>=4cir,图中阴影部分的面积总和为6cm。则对角线的长为

13.如图1一2—40,时是矩形力腼的边力〃的中点，P为BC上一点、,PELWC于点、E,

PFLMB干点、F,当48,3c满足条件时，四边形必»'为矩形.

14.如图1一2—41,在△力比中，AB=AC,〃为8C的中点，连接/〃，AE//BC,DE//AB,

连接留龙交然于点G.

(1)求证：四边形力〃应为矩形；

(2)点尸在加的延长线上，请直接写出图中所有与相等的角.

图1-2-41

15.如图1一2—42,在矩形，仿69中，AB=2,BC=5,点E,2分别在力〃，BC上,且施

=BP=\.

求证：四边形硒火为矩形.

图1-2-42

16.如图1一2—43,在矩形,4版中，将点力翻折到对角线切上的点J/处，折痕储交

/I。于点£将点C翻折到对角线面上的点N处，折痕〃尸交加于点F.

(1)求证：四边形即应为平行四边形;

(2)若四边形质定为菱形，且/1Q2,求纪的长.

图1-2-43

17.如图1一2—44,在阿中，分别以/夕，AC,充为边在胸的同侧作等边三角形

ABD,等边三角形力龙，等边三角形脉

(1)求证：四边形加既是平行四边形.

(2)探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：

①当△/!勿满足条件：时，四边形力加、是矩形；

②当a/ia•满足条件：时，四边形刃跖是菱形；

③当△月8。满足条件：时，以〃，4E,产为顶点的四边形不存在.

图1一2—44

1.D2.A3.A4.D5.20.6.5.8.7.4

8.证明：如图，过点8作战L团于点五

■:CE工AD,

・・・NO+N〃以=90°.

•：4BCD=90。,

：・/BCF+NDCE=90°,

：.4BCF=4D.

在△及犷和△必月中，4BCF=乙口,/砒=/沏=90°,BC=CD,

:.△BC2ACDEQ⑻,

:・BF=CE.

VZJ=90°,CELAD,BF1CE,

・•・四边形力即9是矩形，

:.AE=BF,

：.AE=CE.

9.B10.A.11.B12.5

13.2AB=BC

14.解：⑴证明：..・•〃8G。加48,・♦.四边形脑应是平行四边形,：.AE=BD.

・"为力的中点，

：.BD=CD.:.AE=CD,

・二四边形力4》.是平行四边形.

■:AB=AC,〃为8。的中点，

:•mLBC,BPZJZ)r=9O0,

・•・四边形加点是矩形.

(2)'：AB=AC.:・NB=NACB,

,:AE〃BC,：・4AED=/EDC,ZEAC=ZACB,/FAE=4B,

:.AFAE=4B=NACB=ZAEG=/EAG=/GDC.

15.证明：•・•四边形力是矩形，

：.AD=BCfAD//BC.

又,：DE=BP,

・•・四边形切%尸是平行四边形，

:.BE〃DP.

•:AD=BC,DE=BP,

：.AE=CP.

又,：AD〃BC,HPAE//CP,

・•・四边形”是平行四边形,

：.AP//CE,

・•・四边形即叨是平行四边形.

•・•在矩形•9中，/力加=乙4即=90°,

AD=BC=5,CD=AB=2,DE=BP=L

：.CE=5,同理比'=25,

:・BE+CE=B"

:.NBEC=90°,

・•・四边形环加为矩形.

16.解：(1)证法一：・・•四边形力质是矩形，

.•・N4=NC-91r,AB=CD,ABHCD,

：,4ABD=4CDB.

由折叠的性质可得：NABE」NABD,/CDFqNCDB,

22

:•4ABE=/CDF.

4=/C,

在△力比'和△6ZF中，/q卬，

4ABE=/CDF,

••・△48虑△处(ASA),

：.AE=CF.

•・•四边形/腼是矩形，

:,AD=BC,AD〃BC,

：.DE=BF,DE"BF,

・•・四边形8Q定为平行四边形.

证法二：・・•四边形力版是矩形，

：,AB//CD,ADaBC,

：./ABD=/CDB,DE//BF.

由折叠的性质得/砌H1/4必，NFDB='NCDB,

22

AZ.EBD=ZFDB,J.BE//DF.

又,：DE"BF,

・••四边形即尔为平行四边形.

（2）•・•四边形即宏为菱形，

:・BE=DE,4FBD=ZEBD=NABE.

•・•四边形力以力是矩形，

：.AD=BCfZA=ZABC=90°,

:"ABE=/FBD=/EBD=3Q：

在RlZM的中，'：AB=2,

2234

：.AE==,BE=2AE=3,

333

234

工BC=AD=AE+DE=AE+BE=+3=23.

33

17.解：（1）证明：•・•△/劭和△比F都是等边三角形，

:"ABC+/FBA=/DBF+/FBA=6Q0,

NABC=4DBF.

又•：BA=BD,BC=BF,

:AAB微△DBF,

：.AC=DF=AE.

同理可证△?!比用△夕匕

：.AB=EF=AD,

・•・四边形的牙'是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

⑵①/%占150°

®AB=AC^BC

③N%C=60°

3第1课时正方形的性质

1.如图1一3—1,在正方形力8⑦中，点£在边ZT上，龙=4,£。=2,则熊的长为—

A

B

2.如图1一3—2,正方形被力的边长为1,点E在边DC上,AE平分/DAC,EF1AC,

尸为垂足，那么g.

3.如图1—3—3,四边形力及力是正方形，E,尸分别是力8,力〃上的一点，且BF上CE,

垂足为&求证：AF=BE.

图1一3一3

4.如图1—3—4,在正方形如切的外侧作等边三角形力班；则/月度的度数为（）

A.10°B.12.5°C.15°D.20°

D图1一3一4

A

1-3—5

5.如图1一3—5,£为正方形4%》的对角线劭上的一点，且BE=BC,则/腔=

O

6.如图1一3一6,四边形力及力是正方形，△欧是等边三角形.

(1)求证：△力用N△"后

(2)求乙破9的度数.

图1一3一6

7.若正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是()

A.8B.42C.82D.16

图1-3-7

8.如图1一3一7,三个边长均为2的正方形重叠在一起，Q,a是其中两个正方形的中

心，则阴影部分的面积是_______.

9.如图1一3—8,正方形力比。的边长为4,E,尸分别为0a比的中点.

(1)求证：XAD曜XABF：

(2)求△力£尸的面积.

图1-3-8

10.如图1—3—9,在平面直角坐标系中，正方形以比•的顶点G8的坐标分别是(0,

0),(2,0),则顶点C的坐标是()

A.(1»1)B.(—1»—1)C.(1,—1)D.(—1,1)

11.如图1一3—10,在正方形力中，E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是〃'上一

动点，则阳+%的最小值是.

12.如图1一3—11,在正方形力质的外侧，作等边三角形/1〃6，AC,跖相交于点凡

则N毋'C的度数为()

A.45°B.55°

图1-3-12

13.如图1一3—12,正方形的边长为2,连接4C,AE平分乙CAD,交回的延长线

于点eFAUE,交⑦的延长线于点E