2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题27 统计的应用

专题27统计的应用【考点预测】一、抽样方法三种抽样方式的对比类型共同点各自特点相互关系使用范围简单随机抽样抽样过程都是不放回抽样，每个个体被抽到的机会均等，总体容量N，样本容量n，每个个体被抽到的概率从总体中随机逐个抽取总体容量较小系统抽样总体均分几段，每段T个，第一段取a1，第二段取a1+T，第三段取a1+2T，……第一段简单随机抽样总体中的个体个数较多分层抽样将总体分成n层，每层按比例抽取每层按简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成二、样本分析（1）样本平均值：．（2）样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据．（3）样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数．（4）样本方差：．众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，方差是用来描述一组数据波动情况的特征数．三、频率分布直方图的解读（1）频率分布直方图的绘制①由频率分布表求出每组频数ni；②求出每组频率（n为样本容量）；③列出样本频率分布表；④画出样本频率分布直方图，直方图横坐标表示各组分组情况，纵坐标为每组频率与组距比值，各小长方形的面积即为各组频率，各小长方形的面积总和为1．（2）样本估计总体步骤：总体→抽取样本→频率分布表→频率分布直方图→估计总体频率分布．样本容量越大，估计越精细，样本容量无限增大，频率分布直方图无限无限趋近概率分布密度曲线．（3）用样本平均数估计总体平均数，用样本标准差估计总体标准差．公式：，s2（aX+b）=a2s2（X）．【典型例题】例1．（四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（二）全国卷理科数学试题）某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（

）A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多【答案】B【解析】对于AC，设女生学业达成频率分布直方图中的组距为，由，得，所以女生学业达成频率分布直方图中层次频率为，层次频率为，层次频率为，层次频率为，层次频率为，因为男､女生样本数未知，所以层次中男､女生人数不能比较，即A选项错误；同理，层次女生在女生样本数中频率与层次男生在男生样本数中频率相等，都是，但因男､女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C选项错误；对于D，设女生人数为，男生人数为，但因男､女生人数可能不相等，则层次的学生数为，层次的学生数为，因为不确定，所以与可能不相等，即D选项错误；对于B，女生两个层次的频率之和为，所以女生的样本学业达成的中位数为B，C层次的分界点，男生两个层次的频率之和为，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小，B选项正确．故选：B．例2．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科猜题卷（五））如图为某中型综合超市年的年总营业额（单位：万元）的统计图，则下列说法错误的是（

）

A．年的年总营业额的极差为2200万元B．年的年总营业额波动性比年的年总营业额波动性小C．年的年总营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势D．年的年总营业额的中位数是2019年和2020年的年总营业额的平均数【答案】D【解析】对于A：年的年总营业额的最大值为3400万元，最小值为1200万元，所以极差为（万元），故A正确；对于B：年的年总营业额波动性比年的年总营业额波动性小，故B正确；对于C：年的年总营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势，故C正确；对于D：年的年总营业额按从小到大的顺序排列为：1200万元、2000万元、2100万元、2200万元、2400万元、2800万元、3200万元、3400万元，所以年年总营业额的中位数是2200万元和2400万元的平均数，即2017年和2018年的年总营业额的平均数，故D错误．故选：D例3．（山东省菏泽市2024届高三学期一模考试数学试题）已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（

）A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差【答案】C【解析】样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，假设从小到大就是从到，极差可能变化，故A错；平均数为，可能变，故B错；中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；方差为，有可能变，故D错.故选：C例4．（贵州省六校联盟2024届高考实用性联考（三）数学试题）在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（

）A．92 B．91 C．90 D．89【答案】C【解析】由题意，总样本平均数为.故选：C.例5．（四川省南充高级中学2024届高三第二次模拟试卷试题）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（

）A．150 B．180 C．200 D．250【答案】A【解析】由题意样本容量为.故选：A.例6．（2024年东北三省高考模拟数学试题（一））一组数据：155，156，156，157，158，160，160，161，162，165的第75百分位数是（

）A．161 B．160.5 C．160 D．161.5【答案】A【解析】由题意得此组数据已从小到大排列，此组数据共有10个数，所以第75百分位数的位置为，所以第75百分位数为第8个数161，故A正确.故选：A.例7．（陕西省西安市未央区、莲湖区等区2024届高三学期二模模拟检测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（

）A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3C．估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时D．估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等【答案】C【解析】对于A：估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有天，A错误；对于B：估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，B错误；对于C：，C正确；对于D：估计该学生每日完成作业时间的中位数为，则，解得，D错误.故选：C.例8．（高三数学临考冲刺原创卷（三））已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本容量分别为，，，样本平均数分别为，，，样本方差分别为，，，若，则（

）A．B．C．总体样本平均数D．当时，总体方差【答案】D【解析】对于A、B项，由于样本容量与样本平均数、样本方差之间并不是成某种比例关系，所以选项A，B错误；对于C项，设，则总体样本平均数，所以选项C错误；对于D项，当时，总体样本平均数，所以总体方差，所以选项D正确.故选：D．例9．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科猜题卷（九））以“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”为主题的2023年世界互联网大会乌镇峰会于11月8日至10日在中国浙江省乌镇举行．为保障大会顺利进行，世界互联网大会的秘书处从招募的志愿者中随机抽取100名进行了一次互联网知识竞赛，所得成绩（单位：分）均在内，并制成如下频数分布表：成绩/分

频数8282012(1)根据频数分布表，在下图中作出频率分布直方图；

(2)以样本估计总体，记竞赛成绩不低于86分的志愿者为优秀志愿者，则优秀志愿者的占比能否达到20%？【解析】（1），不同成绩对应的频率如下表：成绩/分

频数828322012频率0.080.280.320.200.12作出频率分布直方图如图所示：

（2）在随机抽取的100名志愿者中，不低于86分的志愿者的频率为，故优秀志愿者的占比能达到20%．例10．（广东省肇庆市封开县江口中学2024届高三学期第五次月考数学试题）某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为．【答案】【解析】依题意，，，，∴（分），∴全班学生的平均成绩为分．全班学生成绩的方差为故答案为：例11．（云南三校2024届高三高考备考实用性联考卷（六）数学试题）为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取100名住户开展了年度幸福指数测评活动，将其测评得分（均为整数）分成六组：，，…，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分位数为.

【答案】82【解析】因为所有小矩形的面积之和为1，所以，所以，测评得分落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，解得，故第75百分位数为82.故答案为：例12．（重庆市第八中学等多校2024届高三学期3月适应性月考卷（六）数学试题）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第25百分位数为.【答案】29.5【解析】将得分从小到大排列有，由知，第25百分位数为.故答案为：【过关测试】一、单选题1．（陕西省西安市第一中学2024届高三学期第九次模拟考试文科数学试题）国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（居民消费水平）（

）

A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6463元D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多【答案】D【解析】对于A，2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高，故A错误；对于B，2018年至2022年我国城镇居民消费水平不是逐年提高，故B错误；对于C，2018年至2022年我国居民消费水平数据的极差为6473元，故C错误；对于D，设我国农村人口数为，城镇人口数为，则，化简得，所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，故D正确．故选：D2．（高三数学临考冲刺原创卷（二））如图是我国2017~2022年人用疫苗进出口均价，下列结论不正确的是（

）

A．疫苗进口均价最低约为2100美元/千克B．疫苗出口均价的极差小于3700美元/千克C．疫苗进口均价的中位数大于2750美元/千克D．疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差【答案】C【解析】由题图易知选项A，B正确；对于选项C，疫苗进口均价的中位数是2020年与2021年疫苗进口均价的平均数，2020年的疫苗进口均价小于2500美元/千克，2021年的疫苗进口均价小于3000美元/千克，因此中位数小于2750美元/千克，故选项C不正确；对于选项D，由题图易知疫苗出口均价波动幅度比疫苗进口均价波动幅度大，所以疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差，故选项D正确.故选：C．3．（广东省广州市第六十五中学2024届高三学期2月月考数学试题）树人中学国旗班共有50名学生，其中男女比例，平均身高174cm，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，若样本中男生的平均身高为178cm，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为(

)A．8人

168cm B．8人

170cm C．12人

168cm D．12人

170cm【答案】A【解析】由题意可知，样本中男生人数为，女生人数为8，则样本中女生的平均身高为．故选：A．4．（河南省部分省示范高中2024届高三学期3月联考数学试卷）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（

）

A．65 B．75 C．85 D．95【答案】C【解析】因为，所以．参赛成绩位于内的频率为，第75百分位数在内，设为，则，解得，即第75百分位数为85，故选：C．5．（甘肃省2024届高三学期3月月考（一模）数学试题）小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（

）

A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高【答案】D【解析】对于A，肉蛋奶的支出占食品开支的，从而小李这一周用于肉蛋奶的支出占比（总开支是单位1）与用于娱乐的支出占比（总开支是单位1）大小关系为，故A描述正确，不符合题意；对于B，小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中占比为，对比其他类型的支出占比可知，B描述正确，不符合题意；对于C，小李这一周用于主食的支出占比（总开支是单位1）与通信的支出占比（总开支是单位1）的大小关系为，，故C描述正确，不符合题意；对于D，小李这一周用于主食和蔬菜的总支出占比（总开支是单位1）与日常支出占比（总开支是单位1）的大小关系为，，故D描述错误，符合题意.故选：D.6．（陕西省部分学校2024届高三学期二模考试（文科）数学试题）某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生比护士少（

）A．19人 B．18人 C．17人 D．16人【答案】C【解析】由题意知某医院有医生750人，护士1600人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生抽取（人），护士抽取（人），故样本中，医生比护士少17人，故选：C7．（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷（六））某老师对比甲、乙两名学生最近5次数学月考成绩，甲：，乙：，则下列结论正确的是（

）A．甲成绩的平均数较小 B．乙成绩的中位数较大C．乙成绩的极差较大 D．乙比甲的成绩稳定【答案】D【解析】设甲、乙成绩的平均数分别为，方差分别为，则，，，甲成绩的平均数较大，故A错误；甲成绩的中位数为129，乙成绩的中位数为119，乙成绩的中位数较小，故B错误；甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，乙成绩的极差较小，故C错误；，，，乙比甲的成绩稳定，故D正确．故选：D．8．（湘豫名校联考2024届高三学期第二次模拟考试数学试卷）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（

）A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元【答案】ACD【解析】对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；对于B，由题中折线图知，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；对于C，20182023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元，人均消费支出的极差为元，C正确；对于D，20182023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D正确.故选：ACD9．（陕西省西安地区八校2024届高三学期联考数学试题）某工厂甲、乙、丙三个车间，生产了同一种产品，数量分别为件、件、件，为了解各车间的产品是否存在显著差异，按车间分层抽样抽取一个样本进行检测．若在甲、乙两车间共抽取了件，在乙、丙两车间共抽取了件．则（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由分层抽样可知，解得，故选：D.10．（黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三学期二模考试数学试题）样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（

）A．16 B．17 C．23 D．24【答案】C【解析】由小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据，，所以分位数为.故选：C．11．（安徽省安庆市2024届高三模拟考试（二模）数学试题）在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（

）A．80 B．78 C．76 D．74【答案】B【解析】由，，故这次调查数据的第64百分位数位于之间，设这次调查数据的第64百分位数为，则有，解得.故选：B.12．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文科猜题卷（八））小军小朋友参加少儿体操选拔赛，8位教练员的评分分别为13，14，16，18，18，20，22，23，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分.去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列会发生变化的是（

）A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数【答案】B【解析】由题可知，去掉一个最高分和一个最低分前后的样本数字特征如下表，原来的8个数据平均数极差中位数18众数18续表去掉一个最高分和一个最低分后的6个数据平均数极差中位数18众数18由表可知，只有极差发生变化.故选：B.13．（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷（五））已知一组数据：，则这组数据的（

）A．极差为9 B．第70百分位数为49 C．平均数为49 D．方差为【答案】B【解析】将12个数据按从小到大的顺序排列为，因为最大值为55，最小值为42，所以极差为，故A错误；因为，所以第70百分位数为第9个数据，即49，故B正确；因为平均数为，故C错误；由可知平均数为47，所以方差为故D错误．故选：B．14．（湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三学期3月月考数学试题）某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：星期一二三四五六日时长（分钟）6015030601090120则（

）A．运动时长的第30百分位数是30 B．运动时长的平均数为60C．运动时长的极差为120 D．运动时长的众数为60【答案】D【解析】数据排序为：10，30，60，60，90，120，150．由，得第30百分位数为60，A错；平均数为，B错；极差为，C错；众数为60，D对．故选：D．15．（湖南省衡阳市田家炳实验中学2023-2024学年高三学期3月测试数学试题）某统计数据共有11个样本，它们依次成公差的等差数列，若第位数为，则它们的平均数为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知共有个样本，且从小到大依次排列，因为，所以，所以，所以这11个样本的平均数为，故选：D16．（湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三学期适应考试（二）数学试题）已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与方差分别为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知样本数据的平均数和标准差均为4，则的方差为16，则的平均数为，方差为，故的平均数为，方差，故选：B17．（辽宁省葫芦岛市2024届高三学期第一次模拟数学试题）从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是（

）A．9 B．8 C．7 D．4【答案】D【解析】由数据可知，其中服务次数为4的个数最多，故众数为4.故选：D.18．（湖南省长沙市第一中学2024届高三学期月考（七）数学试题）样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（

）A．19 B．23 C．21 D．18【答案】C【解析】将这10个数据从小到大排列为：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，所以这组数据的中位数是．故选：C．19．（河北省2024届高三大数据应用调研联合测评（Ⅵ））有一组正数共5个，其平均值为，这5个正数再添加一个数28，其平均值为，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】设这个正数分别为，所以，若增加一个数，则平均数为，因此，即，化简得：，解得：或（舍）.故选：B.20．（四川省成都市成实外教育集团2024届高三联考数学文科试题（二））高三某班学生每天完成作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少小时，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（

）A．减负后完成作业的时间的标准差减少B．减负后完成作业的时间的方差减少C．减负后完成作业的时间在小时以上的概率大于D．减负后完成作业的时间的中位数在至之间【答案】D【解析】依题意若每天作业布置量在此基础上减少小时，则平均数减小小时，方差和标准差均不变，故A、B错误；减负前完成作业的时间在小时以上的概率为，所以减负后完成作业的时间在小时以上的概率为，故C错误；由频率分布直方图可得，，所以减负前完成作业的时间的中位数位于之间，所以减负后完成作业的时间的中位数在至之间，故D正确.故选：D21．（湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题）一组数据：的第30百分位数为（

）A．30 B．31 C．25 D．20【答案】C【解析】将这组数据从小到大排列为，因为，所以第30百分位数为第三个数，即为，故选：C.22．（陕西省西安市长安区2024届高三学期第一次模拟考试文科数学试卷）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（

）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623 B．328 C．072 D．457【答案】A【解析】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.23．（云南、广西、贵州2024届“333”高考备考诊断性联考（二）数学试卷）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（

）062743132432532709412512631763232616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179301423102118219137263890014005232617A．51 B．25 C．32 D．12【答案】A【解析】依题意，前6个编号依次为：31，32，43，25，12，51，所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51.故选：A二、多选题24．（辽宁省丹东市2024届高三学期总复习质量测试（一）数学试卷）已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射次，具体命中环数如下表（最高环数为环），从甲试射命中的环数中任取个，设事件表示“至多个超过平均环数”，事件表示“恰有个超过平均环数”，则下列说法正确的是（

）人员甲乙命中环数A．甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数B．甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差C．乙试射命中环数的的分位数是D．事件，互为对立事件【答案】BCD【解析】对于A，甲试射命中环数的平均数为，乙试射命中环数的平均数为，故A错误；对于B，甲试射命中环数相比乙试射命中环数，更为分散，则甲对应的方差更大，故B正确；对于C，乙试射命中环数排序为，因为，所以分位数为，故C正确；对于D，因为甲试射命中环数的平均数为，且甲试射命中的环数中有两个超过平均数的，则任取个的情况为：“没有个超过平均环数”、“有个超过平均环数”和“有个超过平均环数”，而事件表示“没有个超过平均环数”或“有个超过平均环数”，事件事件表示“恰有个超过平均环数”，所以事件，互为对立事件，D正确.故选：BCD25．（辽宁省协作校2024届高三学期第一次模拟考试数学试题）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（

）

A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数【答案】BD【解析】对于选项A：甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙的极差可能相等，故A错误；对于选项B：根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，故乙的众数大于甲的众数，B正确；对于选项C：甲的数据平局分布，乙的数据分布波动较大，故甲的方差小于乙的方差，故C错误；对于选项D：对于甲，各组频率依次为：，因为前两组频率之和，前三组频率之和，故中位数位于[3.5,4.5)之间；同理，对于乙，各组频率依次为：，前三组频率之和，前四组频率之和，故中位数位于[5.5,6.5)之间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确.故选：BD.26．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（七））某超市负责人统计了该超市2016年到2023年的年营业额（单位：万元），得到如图所示的条形图，则下列说法正确的是（

）A．2016年到2023年的年营业额的极差为2200万元B．2016年到2019年的年营业额波动幅度比2020年到2023年的年营业额波动幅度大C．2016年到2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势D．2016年到2023年的年营业额的中位数与2019年和2020年的年营业额的平均数相等【答案】AC【解析】选项A：2016年到2023年的年营业额的最大值为3400万元，最小值为1200万元，所以极差为（万元），故A正确．选项B：2016年到2019年的年营业额波动幅度比2020年到2023年的年营业额波动幅度小，故B错误．选项C：2016年到2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势，故C正确．选项D：将2016年到2023年的年营业额按从小到大的顺序排列如下：1200，2000，2100，2200，2400，2800，3200，3400，所以2016年到2023年的年营业额的中位数是2200和2400的平均数，即2017年和2018年的年营业额的平均数，故D错误．故选：AC27．（高三数学临考冲刺原创卷（四））一组数据，，，，的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由题意可得，，，，故选：ACD．28．（重庆市第八中学等多校2024届高三学期3月适应性月考卷（六）数学试题）某社区通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据，并绘制出如图所示的频率分布直方图，由该图可以估计（

）A．平均数>中位数 B．中位数>平均数C．中位数>众数 D．众数>平均数【答案】AC【解析】由图可知，众数为，估计中位数为，得，估计平均数，并且也可以从直方图的的特征判断，此直方图在右边“拖尾”，所以平均数大于中位数.所以平均数>中位数，中位数>众数.故选：AC29．（河北省衡水市枣强县衡水董子高级中学2023-2024学年高三学期3月月考数学试题）甲在一次面试活动中，7位考官给他们打分分别为：61、83、84、87、90、91、92.则下列说法正确的有（

）A．这7个分数的第70百分位数为87B．这7个分数的平均数小于中位数C．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小D．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小【答案】BC【解析】对于A，由于，所以第70百分位数是第5个数90，故A错误；对于B，这7个数的均值为分，中位数是第4个数为87，所以平均数小于中位数，故B正确；对于C，去掉一个最低分和一个最高分后，分数更加集中，故方差会变小，故C正确；对于D，去掉61和92后，平均数为分，因为，所以分数的平均数会变大，故D错误．故选：BC.30．（河南省濮阳市2023-2024学年高三学期（开学）第一次模拟考试数学试题）在一次数学测试中，老师将班级60位同学的成绩按照从小到大的顺序进行排列后得到的原始数据为（数据互不相同），其极差为，平均数为，则下列结论中正确的是（

）A．的平均数为B．的第25百分位数与原始数据的相同C．若的极差为，则D．的平均数大于【答案】AC【解析】对于A，由平均数的性质知的平均数为，故A正确；对于B，的第25百分位数比原始数据的第25百分位数大，故B错误；对于C，的极差为：，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC.31．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（六））小军参加少儿体操选拔赛，8位评委给出的分数分别为13，14，a，18，18，20，22，23（从低到高排列），这组数据的下四分位数为15，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分．现去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列不会发生变化的是（

）A．平均数 B．极差 C．中位数 D．众数【答案】ACD【解析】由知，这组数据的下四分位数是第2个数据与第3个数据的平均数，即，得．原来的8个数据去掉一个最高分和一个最低分后的6个数据平均数极差中位数1818众数1818故选:ACD．32．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学猜题卷（九））已知一组样本数据为1，1，4，5，1，4，现往这组数据中加入一个新数据，则新数据与原数据相比，可能（

）A．方差变小 B．众数变多 C．极差变小 D．第80百分位数变大【答案】ABD【解析】选项A：若加入的新数据为原数据的平均数，则新数据的方差变小，故A正确.选项B：原数据的众数为1，若加入新数据，则众数变为了1与4，众数变多，故B正确.选项C：极差为最大值与最小值之差，显然极差只可能不变或增大，不可能变小，故C错误.选项D：将原数据按从小到大的顺序排列，为1，1，1，4，4，5，而，故原数据的第百分位数为4.当新数据时，第百分位数为从小到大排列的第个数，也将大于，故D正确.故选：ABD33．（2024届安徽省示范高中皖北协作区高三学期数学联考试题）已知样本数据（，）的方差为，平均数，则（

）A．数据，，，，的方差为B．数据，，，，的平均数大于0C．数据的方差大于D．数据的平均数大于【答案】AD【解析】对A：数据，，，，的方差为，A正确；对B：数据，，，，的平均数为，当时，，故B错误；对C：去掉一个最小(特异值)的数据，剩下的数据的方差有可能更小，故C错误；对D：因为，数据的平均数，因为，故数据的平均数大于，故D正确.故选：AD.34．（浙江省临平萧山联考2023-2024学年高二学期期末数学试题）已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（

）A．B．这组数据的中位数为4C．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5D．这组数据的第70百分位数为5.5【答案】ACD【解析】由题意得，解得，故A正确；将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故B错误；若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为，故C正确；因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．故选：ACD．三、填空题35．（浙江省金华第一中学2024届高三学期高考适应性测试数学试卷）设一组样本的容量为50，经过数据整理，得出了如下所示的频数分布表，则该组样本的第80百分位数为．数据分组区间频数1518656【答案】【解析】，，故第80百分位数必在，设第80百分位数为，则有，解得.故答案为：.36．（陕西省西安地区八校2024届高三学期联考数学试题）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为．【答案】【解析】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间的频率为，数学成绩在区间的频率为，因此数学成绩的中位数，且，解得，所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为.故答案为：四、解答题37．（四川省成都市金牛区成都外国语学校2023-2024学年高三学期高考模拟（一）理科数学试题）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在40~100分之间），并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.如图有两个数据没有标注清晰（即图中），但已知此直方图的满意度的中位数为68.(1)求的值；并据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有8个形状､大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的；若摸到2个红球，返消费金额的，除此之外不返现金.方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受95折优惠.现小张在该超市购买了总价为1000元的商品.①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到0.1）【解析】（1）由题意可得，中位数为68，说明，所以，那么满意度在内的频率为，即.因为，所以对“刷脸支付”安全满意度的平均数为68.（2）①选择方案一，若摸到3个红球，返消费金额的，即消费了元，若摸到了2个红球，返消费金额的，即消费了元，则可能的取值为，则，，，所以的分布列如下表所示：8009001000所以.②若选择方案二，记实际付款额为元，8折优惠，则，9折优惠，则，95折优惠，则，则的可能取值为，由题意可知，的分布列如下表所示：800900950，由①知，故选择方案二付款更划算.38．（内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量数据监测文科数学试卷）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将100株同种绿植随机分成两组，每组50株，其中组绿植喷甲农药，组绿植喷乙农药，每株绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70．(1)求乙农药残留百分比直方图中的值；(2)估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(3)估计乙农药残留百分比的中位数．（保留2位小数）【解析】（1）为事件：“乙农药