高中数学讲义（人教B版2019必修二）第03讲412指数函数的性质与图像提升版

4.1.2指数函数的性质与图像（拔高版）TOC\o"13"\h\z\u题型1指数（指数型复合）函数的值域 ③弄清最终结果取并还是交.【例题7】（2023上·四川成都·高一校联考期末）若函数fx=2−ax+2,x<1,aA．32,2 B．2,4 C．32【答案】A【分析】由分段函数在R上为增函数的性质列式可求得结果.【详解】因为fx是在R上的增函数，所以2−a>0故选：A.【变式71】1.（2023上·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知函数fx=2−aA．1,2 B．1,2 C．0,54 【答案】D【分析】由分段函数的单调性，结合指数函数性质列不等式组求参数范围.【详解】由题意2−a>0a>12−a+12≤a故选：D【变式71】2.（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）函数fx=3−aA．1,3 B．2,3 C．73,3 【答案】D【分析】根据函数解析式的形式，结合函数的单调性，即可列式求解.【详解】因为函数fx在R上是增函数，所以y=3−ax−3且在x=6时，满足3−a×6−3≤所以3−a>0a>163−a故选：D【变式71】3．(多选)（2023上·广西玉林·高一统考期中）已知函数fxA．13 B．3 C．14【答案】AC【分析】根据分段函数单调性结合指数函数性质分析求解.【详解】因为函数fx是R上的增函数，则解得0<a<1a<12结合选项可知：实数a的值可以是13或1故选：AC．【变式71】4.（2023上·上海·高一校考期中）已知函数fx=a−2x+2,x≤2a【答案】a≥3【分析】根据分段函数的单调性，判断两段函数的单调性以及分界点处的函数值情况，列出不等式组，即可求得答案.【详解】∵fx是R∴fx需满足a−2>0a>1故答案为：a≥3【变式71】5.（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）已知函数fx=−x2−2x+a,x≤−12x−3,x>−1.(1)若a=4时，求ff(2)若a=4时，且fx=1，求(3)若fx在R上是增函数，求a【答案】(1)−1；(2)−3或2；(3)a≤−7【分析】（1）根据解析式，将自变量代入求函数值；（2）讨论a=4,x≤−1、a=4,x>−1，结合fx（3）由分段函数单调性，结合二次函数、指数函数性质列不等式求参数范围.【详解】（1）由f−3=−9+6+4=1，则（2）当a=4,x≤−1时，fx=−x当a=4,x>−1时，fx=2综上x的值是−3或2；（3）由解析式知：fx在−∞,−1要使fx在R上是增函数，则−(−1)2题型8与指数函数有关的恒成立与存在性有解问题【方法总结】恒成立和存在性问题类型（1）单变量的恒成立问题①∀x∈D，f（x）<a恒成立，则f（x）max<a②∀x∈D，f（x）>a恒成立，则f（x）min>a③∀x∈D，f（x）<g（x）恒成立，则F（x）=f（x）g（x）<0，∴F（x）max<0④∀x∈D，f（x）>g（x）恒成立，则F（x）=f（x）g（x）>0，∴F（x）min>0（2）单变量的存在性问题①∃xo∈D，使得f（xo）<a成立，则f（x）min<a②∃xo∈D，使得f（xo）>a成立，则f（x）max>a③∃xo∈D，使得f（xo）<g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）g（x）<0，∴F（x）min<0④∃xo∈D，使得f（xo）>g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）g（x）>0，∴F（x）max>0（3）双变量的恒成立与存在性问题①∀x1∈D，∃x2∈E，使得f（x1）<g（x2）恒成立，则f（x）max<g（x）max；②∀x1∈D，∃x2∈E，使得f（x1）>g（x2）恒成立，则f（x）min>g（x）min；③∀x1∈D，∀x2∈E，f（x1）<g（x2）恒成立，则f（x）max<g（x）min；④∃x1∈D，∃x2∈E，使得f（x1）<g（x2）恒成立，则f（x）min<g（x）max.（4）相等问题①∃x1∈D，∃x2∈E，使得f（x1）=g（x2），则两个函数的值域的交集不为空集；②∀x1∈D，∃x2∈E，使得f（x1）=g（x2），则f（x）的值域⊆g（x）的值域.【例题81】（2021·上海市建平中学高一期中）不等式2x−a【答案】a【分析】由题设知a≤2x【详解】由题设，a≤2x对任意x所以a≤0.故答案为：【变式81】1．（2022·全国·高一专题练习）设不等式4x−m4x【答案】(−∞,【分析】参变分离可得m≤11+【详解】解：由4x−m4x∵x∈0,1，∴∴11+12x+【变式81】2．（2022·全国·高一专题练习）已知m2−m2x【答案】−2,3【分析】m2−m2x−12x≤1对任意x∈【详解】依题意，m2−mm2−m≤1令t=12x∈∴m2−m≤6，解得−2≤m≤3，∴【变式81】3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=2(1)求a的值；(2)求函数fx(3)当x∈1,2时，【答案】(1)a=2(2)−1,1(3)【分析】（1）利用函数是奇函数f(0)=0求解a（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可．（1）因为fx是定义在R上的奇函数，所以f0=当a=2时，fx=2x−12所以a=2（2）由（1）可得fx=2x−12x所以−2<−22x+1<0，所以−1<1−（3）由2+mfx−2x>0可得mfx>2x−2，即m⋅2x−12x+1>【例题82】（2022·全国·高一课时练习）若存在正数x，使得关于x的不等式3xA．[3,+∞) B．[−1,+∞) C．(−1,+∞) D．(0,+∞)【答案】C【分析】问题转化为a>x−【详解】由题意知x−a<(13)x成立，即a>x−(1【变式82】1．（2022·全国·高一专题练习）函数fx=1921x2−2021x−1949x【答案】1949,2049【分析】分析可得fx在1949,+∞上递增，再将原问题转换为f【详解】二次函数y=1921x2−2021x在区间20212×1921，+∞上递增，反比例函数y=−1949x在0，+∞上增函数，指数函数y=2049x在R上递增，综上函数fx在1949,+∞上递增，又原问题等价于：所以，m的取值范围是1949,2049．故答案为：1949,2049【变式82】2．（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知定义在实数集R上的奇函数fx有最小正周期2，且当x∈0,1(1)求函数fx在−1,1(2)判断fx在0,1(3)当λ取何值时，方程fx=λ【答案】(1)fx=−2x4【分析】（1）结合函数的奇偶性求得正确答案.（2）结合函数单调性的定义进行证明.（3）求得fx在区间0,1（1）依题意，fx是定义在实数集R上的奇函数，所以f0=0，当x∈−1,0（2）当x∈0,1时，f(x)=2x4x+1，fx在0,1上为减函数，证明如下：任取0<x1（3）由（2）可知fx在0,1上为减函数，所以2141+1<f(x【变式82】3．（2022·全国·高一专题练习）已知a>0且a≠1，函数fx(1)求f（(2)若对于任意x1∈−1,1，总存在x0∈(3)若对于任意x0∈−1,1，任意x1∈【答案】(1)函数的递增区间为0，1，递减区间为－1，0，2，a+1a【分析】（1）先判断函数的奇偶性，然后根据复合函数单调性之间的关系，即可求f(（2）若对于任意x1∈－1，1，总存在x0∈－1，1，使得g(（3）若对于任意x0∈－1，1，任意x1∈－1，1，都有(1)∵fx=ax设t=ax，则函数f（x）等价为y=t+1t若a>1，当0≤x若0<a<1，当0≤x≤1时，t=ax单调递减，且0<t≤1，此时函数y∵函数f(x)是偶函数，∴当－1≤x≤0∴函数的值域为[2，a(2)∵a>0且a≠1，∴∴函数g(x)在x∈−1，1即4－2a≤g(x)≤4+2a，若对于任意x1∈−1，1，总存在x0∈−1，1∵a>0且a≠1，∴a>1(3)若对于任意x0∈－1，1，任意x即gxmin≥fxmax则4－2a≥a+【变式82】4．（202