湖南省郴州市一中高三1月月考理科数学

湖南省郴州市第一中学2018届高三一月月考理科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】集合研究的是函数的定义域和不等式的解集，故，即.集合研究的的是函数的值域，即，故.2.已知复数，则在复平面内，复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】，故，故在第三象限.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】，故或，故是充分不必要条件.4.《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是，“今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少？”通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，直角三角形，斜边长为，由等面积可得内切圆半径则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率是故选5.将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则函数图像的一条对称轴方程可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】左移得到.对称轴即函数取得最大值或最小值的位置，代入选项得到，故选.6.如图所示，在中，，，，，点是线段的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，且，，，，点是线段的中点，则由向量加法法则：故选点睛：本题考查了向量的综合运用，要求向量的点乘运算，先求出各边长，本题较为困难的在于向量之间的转换，，另一种方法，可以建立平面直角坐标系，给出各点坐标，即可计算出结果7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A.若，则B.若，则C.“直线与平面内的无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的充分不必要条件D.若，则【答案】D【解析】对A，符合条件的直线可能∥，故不正确；对B,两个垂直平面内的两条直线不一定垂直，故不正确；对C,直线与平面内的无数条直线垂直,并不能推出直线垂直平面内的任意一条直线，故不正确；对D，根据平面垂直的定义，可证明两个平面垂直，故正确.8.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为480，则判断框中可以填（）A.B.C.D.【答案】B【解析】执行一次，，执行第2次，，执行第3次，，执行第4次，，执行第5次，，执行第6次，，执行第7次，跳出循环，因此判断框应填，故选B.9.已知函数的图像与函数的图像关于对称，若，则（）A.2B.2C.3D.3【答案】D【解析】由，解得，故，根据已知，即，代入选项验证可知.【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查两个函数相等的知识.由于函数图像与图像关于对称，故两个函数互为反函数.先由的表达式，解出的值，然后交换的位置，即求得反函数的表达式.再利用题目给的等式，就可就得的值.10.如图，网络纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.16D.【答案】A所以选A。11.已知函数，则关于的方程在上的根的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】.当，，；当时，，.由此画出函数和的图像如下图所示，由图可知交点个数为个，也即原方程的根有个.【点睛】本题主要考查分段函数的性质和求解分段函数的表达式，考查零点问题、根的问题的处理方法.由于分段函数已知的是上的表达式，故在上的表达式要求解出来，根据题目所给抽象函数表达式，将定义域分成，两段，分别求解它们的表达式.12.已知双曲线与直线交于，，其中，若点满足（其中为坐标原点），且，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，，联立方程，解得即，则渐近线方程为故选点睛：本题考查了双曲线与直线的综合题目，依据条件给出点坐标，利用角度转化为直线斜率问题，从而求出关系，计算出双曲线的渐近线方程，计算较大，需要转化，难度较大。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且点在椭圆上，则椭圆的标准方程为__________．【答案】【解析】由题意长轴长是短轴长的倍，且点在椭圆上得解得，所以椭圆的标准方程为14.的展开式中，含项的系数为__________．【答案】1080【解析】，依题意是，在中是，故系数为.15.已知实数满足，则的取值范围为__________．【答案】【解析】题目所求表示可行域内的点和点连线的斜率.画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数的取值范围为，即.16.已知的内角的对边分别为，若，且，则当的面积取最大值时，__________．【答案】【解析】由正弦定理得，故.故当三角形为等边三角形面积取得最大值，即......................三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）.【解析】【试题分析】（1）对已知两边平方后，利用，可求得的通项公式.（2）由于是由一个等差数列乘以一个等比数列构成，故利用错位相减法求其前项和.【试题解析】（1）因为，故，当时，，∴，当时，，又，两式相减得：，，由，∴，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即（2）∵，∴；①；②①②得，∴.18.已知三棱锥如图所示，其中，，二面角的大小为.（1）证明：；（2）若为线段的中点，且，，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】【试题分析】（1）由于，根据面面垂直的性质定理可知2平面，进而得到.（2）设，利用求出，由此在点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量，来求得二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：因为二面角的大小为，故平面平面，又平面平面，，故，所以平面，因为平面，所以.（2）解：设，则.由（1）可知，，因为，所以.因为，，所以，所以，.解得，故，，.如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，.由（1）知平面的法向量.设平面的法向量，由，得.令，得，，所以.所以.由图可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.19.在一次体能测试中，某研究院对该地区甲、乙两学校做抽样调查，所得学生的测试成绩如下表所示：（1）将甲、乙两学校学生的成绩整理在所给的茎叶图中，并分别计算其平均数；（2）若在乙学校被抽取的10名学生中任选3人检测肺活量，求被抽到的3人中，至少2人成绩超过80分的概率；（3）以甲学校的体能测试情况估计该地区所有学生的体能情况，则若从该地区随机抽取4名学生，记测试成绩在80分以上（含80分）的人数为，求的分布列及期望.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】【试题分析】（1）根据茎叶图的知识和数据填写好，并分别求两校测试成绩的平均数；（2）至少人有两种情况：人或人，利用超几何分布的计算公式可求得至少人成绩超过的概率.（3）分以上的概率为，利用二项分布的计算公式可求得的分布列及期望.【试题解析】（1）茎叶图如下所示：故甲学校学生成绩的平均数为，乙学校学生成绩的平均数为；（2）记至少2人成绩超过80分为事件，则；（3）依题意，的可能取值为0，1，2，3，4，则，，，，，；故的分布列为.20.已知抛物线的焦点为.（1）若抛物线的焦点到准线的距离为4，直线，求直线截抛物线所得的弦长；（2）过点的直线交抛物线于两点，过点作抛物线的切线，两切线相交于点，若分别表示直线与直线的斜率，且，求的值.【答案】（1）10;（2）或.【解析】试题分析：⑴联立直线与抛物线方程即可求出直线截抛物线所得的弦长(2)设，，联立直线与抛物线方程，求得过点的切线方程分别为，，再次联立解得的坐标为，计算出的数量关系，结合，求的值解析：（1）依题意，，注意到直线过抛物线的焦点，联立，解得；由抛物线定义可知，所求弦长为；（2）设，，易知，联立，消去得，∴，，由得，过点的切线方程分别为，，联立得点的坐标为，所以，∴，∴或；所以直线的斜率为或.21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）探究：是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）的单调减区间为，单调增区间为;（2）.【解析】【试题分析】（1）求导后令导数为零，求出极值点并写出单调区间.（2）由（1）知函数的最小值为，构造函数，利用导数可求得的最大值为零，故，当且仅当时取等号，又，从而得到.【试题解析】（1）依题意，，令，解得，故，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；故函数的单调减区间为，单调增区间为（2），其中，由题意知在上恒成立，，由（1）可知，∴，∴，记，则，令，得.当变化时，，的变化情况列表如下：∴，故，当且仅当时取等号，又，从而得到.【点睛】本题主要考查导数与极值点的问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题的方法.在对一个函数求导之前，务必记住要先求函数的定义域，一定要在定义域内求函数的单调区间.不等式恒成立问题，往往通过分离常数法或者构造函数法，利用导数求单调区间和最值来求.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为；直线与曲线相交于两点.以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线的参数方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（为参数）;（2）.【解析】试题分析：⑴先将曲线的极坐标方程转化为平面直角坐标系内的方程，然后再给出参数方程(2)在极坐标的运算下求得的值，再表示出的表达式，从而计算出最值情况解析：（1）因为，故，因为，故所求方程为，故曲线的参数方程为（为参数）（2）联立和，得，设、，则，由，得，当时，取最大值，故实数的取值范围为.点睛：本题考查的知识点由简单曲线的极坐标方程，参数方程的求法，直线与圆的位置关系。考查了极地坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互换，将问题转化为直角坐标系下的解析几