2018年数学（北师大版选修2-3）练习13第2课时组合的综合应用活页作业6

活页作业(六)组合的综合应用一、选择题1．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为()A．81 B．60C．6 D．11解析：分三类．恰有2件一等品，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＝60种取法；恰有3件一等品，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＝20种取法；恰有4件一等品，有Ceq\o\al(4,4)＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81．答案：A2．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有()A．70个 B．64个C．58个 D．52个解析：∵四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个，∴共有四面体Ceq\o\al(4,8)－12＝58个．故选C．答案：C3．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人发言，那么不同的选派方法有()A．30种 B．50种C．60种 D．120种解析：若甲、乙两人中只有一人参加发言，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)＝20种方法；若甲、乙均参加发言，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,5)＝10种方法．所以共有20＋10＝30种方法．答案：A4．直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有()A．25个 B．36个C．100个 D．225个解析：在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225个．答案：D二、填空题5．甲、乙、丙三名同学选修课程，在4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．解析：甲选修2门，有Ceq\o\al(2,4)＝6种选法，乙、丙各选修3门，各有Ceq\o\al(3,4)＝4种选法，由分步乘法计数原理得，共有6×4×4＝96种选法．答案：966．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是________．解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)＝2100种抽法．答案：2100三、解答题7．空间有10个点，其中有5个点共面(除此之外再无4点共面)，以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？解：不考虑任何限制，10个点可得Ceq\o\al(4,10)个四面体．由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有Ceq\o\al(4,5)种情形．所以构成四面体的个数为Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝210－5＝205．8．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：(1)有Ceq\o\al(3,12)＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有Ceq\o\al(1,2)种方法；再从10件正品中抽出2件有Ceq\o\al(2,10)种方法．所以共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10)＝90种抽法．(3)方法一(直接法)分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,10)＝100种抽法．方法二(间接法)从12件产品中任意抽出3件有Ceq\o\al(3,12)种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有Ceq\o\al(3,10)种，所以共有Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,10)＝100种抽法．一、选择题1．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．15解析：与信息0110至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类．第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有Ceq\o\al(2,4)＝6个；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有Ceq\o\al(1,4)＝4个；第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有Ceq\o\al(0,4)＝1个．∴与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11个．答案：B2．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为()A．120 B．240C．360 D．720解析：先选出3个球有Ceq\o\al(3,10)＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．答案：B二、填空题3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．解析：对于4个数之和为偶数，可分三类．第一类：4个数均为偶数，有Ceq\o\al(4,4)种取法；第二类：2个数为偶数，2个数为奇数，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)种取法；第三类：4个数均为奇数，有Ceq\o\al(4,5)种取法．由分类加法计数原理，可得不同的取法共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝66种．答案：664．已知直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b是非零常数)与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有________条．解析：如图所示，在圆x2＋y2＝100上，整点坐标有(±10,0)，(6,8)，(－6，－8)，(－6,8)，(6，－8)，(8,6)，(－8，－6)，(－8,6)，(8，－6)，(0，±10)共12个点．这12点确定的直线数为Ceq\o\al(2,12)条；过这12点的切线数有12条；由于a，b不为零，应去掉过原点的直线6条；又其中平行于坐标轴的直线有12条，故符合题意的直线共有Ceq\o\al(2,12)＋12－(6＋12)＝60条．答案：60三、解答题5．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有Ceq\o\al(4,10)种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝Ceq\o\al(4,10)·24＝3360．即4只鞋子没有成双有3360种不同取法．(2)从10双鞋子中选取2双有Ceq\o\al(2,10)种取法，所以选取种数为N＝Ceq\o\al(2,10)＝45，即4只鞋子恰成两双有45种不同取法．(3)先选取一双有Ceq\o\al(1,10)种选法，再从9双鞋中选取2双有Ceq\o\al(2,9)种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步乘法计数原理，不同取法有N＝Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(2,9)·22＝1440种．6．已知一组曲线y＝eq\f(1,3)ax3＋bx＋1，其中a为2,4,6,8中的任意一个，b为1,3,5,7中的任意一个．现从这些曲线中任取两条．求它们在x＝1处的切线相互平行的组数．解：y′＝ax2＋b，曲线在x＝1处切线的斜率k＝a＋b.切线相互平行，则需它们的斜率相等，因此按照在x＝1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成．第一类：a＋b＝5，则a＝2，b＝3；a＝4，b＝1.故可构成2条曲线，有Ceq\o\al(2,2)组．第二类：a＋b＝7，则a＝2，b＝5；a＝4，b＝3；a＝6，b＝1.可构成三条曲线，有Ceq\o\al(2,3)组．第三类：a＋b＝9，则a＝2，b＝7；a＝4，b＝5；a＝6，b＝3；a＝8，b＝1.可构成四条曲线，有Ceq\o\al(2,4)组．第四