2024年九年级数学下册 第30章 二次函数30.4二次函数的应用 2求二次函数表达式解几何最值问题说课稿（新版）冀教版

2024年九年级数学下册第30章二次函数30.4二次函数的应用2求二次函数表达式解几何最值问题说课稿（新版）冀教版一、教学内容分析

1.本节课的主要教学内容：本节课主要讲解二次函数在解决几何最值问题中的应用，包括如何通过二次函数表达式求解几何图形中的最值问题。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课与九年级数学下册第30章“二次函数”相关，学生需要具备二次函数的基本知识和求解方法，如二次函数的顶点坐标、对称轴等。同时，本节课也涉及到几何图形的性质，如点到直线的距离、三角形面积等。通过将二次函数与几何问题相结合，帮助学生更好地理解和运用二次函数知识。二、核心素养目标

1.发展数学建模能力：通过二次函数的应用解决几何最值问题，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力。

2.提升逻辑推理素养：在推导和验证二次函数表达式的过程中，强化学生的逻辑推理能力。

3.增强空间想象能力：借助几何图形与二次函数的关系，培养学生的空间想象力和几何直观。

4.强化应用意识：引导学生认识到数学知识在解决实际问题中的价值，提高学生的数学应用意识。三、学习者分析

1.学生已经掌握的相关知识：在进入本节课之前，学生已经学习了二次函数的基本概念，包括二次函数的图像、性质、顶点坐标、对称轴等。此外，学生对一次函数的应用也有一定的了解，这为理解二次函数在几何问题中的应用奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：九年级学生对数学仍然保持着较高的兴趣，他们对于能够将数学知识应用于实际问题的课程内容尤为感兴趣。学生的能力方面，部分学生可能已经具备较强的数学逻辑思维和解决问题的能力，而部分学生可能对抽象的数学概念理解较为困难。学习风格上，学生中既有偏好直观理解的，也有偏好逻辑推理的。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在求解二次函数表达式解几何最值问题时，学生可能会遇到以下困难：一是对二次函数图像的理解不够深入，导致无法准确判断函数的增减性；二是将几何问题转化为数学模型的能力不足，难以找到合适的二次函数表达式；三是计算过程中可能出现的错误，如符号错误、计算错误等。针对这些挑战，教师需要通过适当的引导和练习帮助学生克服。四、教学资源准备

1.教材：确保每位学生都有冀教版九年级数学下册第30章“二次函数”的相关教材，以便学生能够跟随课本内容进行学习。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如二次函数图像的动态演示、几何图形与二次函数关系的实例分析等，以帮助学生直观理解抽象概念。

3.教学工具：准备计算器或计算软件，以便学生在解决数学问题时进行辅助计算。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，设置分组讨论区，以便学生在讨论和合作中更好地理解和应用二次函数知识。五、教学过程

一、导入新课

（教师：同学们，上节课我们学习了二次函数的基本性质，知道了一个二次函数的图像是一个抛物线，并且这个抛物线的开口方向和大小可以通过函数的二次项系数来判断。今天，我们将学习如何运用二次函数解决一些几何最值问题。）

二、新课讲授

1.准备阶段

（教师：首先，让我们回顾一下二次函数的顶点坐标和对称轴。顶点坐标是函数图像的最高点或最低点，对称轴是抛物线的对称轴。谁能上来板书一下二次函数的顶点坐标公式？）

（学生：二次函数的顶点坐标是（-b/2a，4ac-b^2/4a）。）

（教师：很好，非常准确。接下来，我们来看一个例子，如何利用顶点坐标来求解二次函数的最值。）

2.案例分析

（教师：请看屏幕上的图1，这是一个三角形ABC，其中AB=3，BC=4，且AB垂直于BC。我们要找到一个点D在BC上，使得三角形ABD的面积最大。）

（学生：首先，我们需要找到三角形ABD的面积公式。）

（教师：正确。三角形ABD的面积可以用底乘以高除以2来表示。这里，底是AB，高是点D到AB的距离。）

（学生：点D到AB的距离可以通过二次函数来表达。）

（教师：非常好，请同学们思考一下，如何将点D到AB的距离用二次函数表示？）

（学生：点D到AB的距离等于BC的长度减去点D到C的距离。）

（教师：这是一个很好的思路。现在，我们需要找到点D到C的距离的表达式。）

（教师：请同学们独立完成这个步骤，并写出点D到C的距离的表达式。）

（学生：点D到C的距离可以用二次函数表示，因为点D在BC上，所以它到C的距离等于BC的长度减去点D到B的距离。）

（教师：很好，现在我们有了点D到AB和点D到C的距离的表达式，我们可以写出三角形ABD的面积公式。）

（学生：三角形ABD的面积等于底乘以高除以2，即3乘以（BC的长度减去点D到B的距离）除以2。）

（教师：非常好，现在我们有了面积的表达式，接下来我们要找到这个表达式的最大值。）

（学生：我们可以通过求导数来找到最大值。）

（教师：正确。现在，请同学们尝试求出面积表达式的导数，并找到使导数为0的点。）

（学生：通过求导，我们得到导数为0的点是点D到B的距离等于BC长度的一半。）

（教师：很好，现在我们知道使得三角形ABD的面积最大的点D的位置了。接下来，我们可以计算出面积的最大值。）

（学生：通过代入点D到B的距离，我们可以计算出面积的最大值。）

（教师：非常好，同学们通过自己的努力解决了这个问题。现在，让我们再来看一个例子。）

3.深入探讨

（教师：请看屏幕上的图2，这是一个矩形ABCD，其中AB=4，AD=3。我们要找到一个点E在CD上，使得矩形ABDE的周长最小。）

（学生：矩形ABDE的周长可以通过两倍的长加两倍的宽来表示。）

（教师：正确。现在，我们需要找到点E到AD的距离的表达式。）

（学生：点E到AD的距离可以用二次函数表示，因为点E在CD上，所以它到AD的距离等于CD的长度减去点E到C的距离。）

（教师：这是一个很好的思路。现在，请同学们独立完成这个步骤，并写出点E到AD的距离的表达式。）

（学生：点E到AD的距离等于CD的长度减去点E到B的距离。）

（教师：很好，现在我们有了点E到AD和点E到B的距离的表达式，我们可以写出矩形ABDE的周长公式。）

（教师：接下来，我们需要找到使周长最小的点E的位置。）

（学生：我们可以通过求导数来找到最小值。）

（教师：正确。现在，请同学们尝试求出周长表达式的导数，并找到使导数为0的点。）

（学生：通过求导，我们得到导数为0的点是点E到B的距离等于CD长度的一半。）

（教师：很好，现在我们知道使得矩形ABDE的周长最小的点E的位置了。接下来，我们可以计算出周长的最小值。）

（教师：非常好，同学们通过自己的努力解决了这个问题。通过这两个例子，我们可以看到，二次函数在解决几何最值问题中的应用非常广泛。）

4.总结归纳

（教师：通过本节课的学习，我们了解到二次函数在解决几何最值问题中的应用方法。首先，我们需要将几何问题转化为数学问题，即找到合适的二次函数表达式。然后，通过求导数或者利用二次函数的顶点坐标来找到最值。最后，我们需要验证我们的结果是否符合实际情况。）

三、课堂练习

（教师：接下来，请同学们完成以下练习题，巩固今天所学的知识。）

四、课堂小结

（教师：同学们，今天我们学习了二次函数在解决几何最值问题中的应用。希望大家能够通过练习，加深对这一知识点的理解。在今后的学习中，我们还会遇到更多类似的几何问题，希望同学们能够灵活运用所学知识，解决实际问题。）

五、布置作业

（教师：课后，请同学们完成以下作业。）

六、课堂反思

（教师：本节课的教学过程中，我发现同学们在将几何问题转化为数学问题的时候，有些困难。在今后的教学中，我将更加注重引导同学们如何将实际问题转化为数学模型，提高他们的数学应用能力。）六、学生学习效果

学生学习效果

经过本节课的学习，学生在以下几个方面取得了显著的效果：

1.理解并掌握了二次函数在解决几何最值问题中的应用方法。学生能够将实际问题转化为数学问题，通过建立二次函数模型，求解函数的最值，从而解决几何问题。

2.提高了数学建模能力。学生在学习过程中，学会了如何从实际问题中提取关键信息，构建数学模型，并运用数学知识进行分析和解决。

3.增强了逻辑推理能力。通过本节课的学习，学生在求解二次函数最值的过程中，锻炼了逻辑推理和证明的能力，学会了如何通过导数等方法来寻找函数的极值点。

4.深化了空间想象能力。学生在学习过程中，需要将几何图形与二次函数的图像相结合，这有助于培养学生的空间想象能力和几何直观。

5.增进了合作与交流能力。本节课的教学过程中，学生需要分组讨论，共同解决问题。这有助于提高学生的合作意识和交流能力。

6.培养了学生解决实际问题的能力。通过本节课的学习，学生能够将所学的数学知识应用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。

7.增强了学生的自信心。在解决几何最值问题的过程中，学生经历了从不懂到懂、从不会到会的过程，这有助于增强学生的自信心。

8.培养了学生的创新思维。学生在学习过程中，需要不断尝试新的解题方法，这有助于培养学生的创新思维。

9.提高了学生的自主学习能力。本节课的教学过程中，学生需要独立思考、解决问题，这有助于提高学生的自主学习能力。

10.培养了学生的审美能力。在学习过程中，学生需要观察和分析二次函数图像与几何图形之间的关系，这有助于培养学生的审美能力。七、教学反思与总结

教学反思与总结

今天这节课，我们一起探讨了二次函数在解决几何最值问题中的应用，我觉得整体来说，教学效果还是不错的。下面，我想从几个方面对这节课进行反思和总结。

首先，我觉得在教学方法上，我尝试了多种方式来激发学生的学习兴趣。比如，通过实际问题的引入，让学生感受到数学知识的实用性；通过小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。当然，在这个过程中，我也发现了一些问题。有的学生对于二次函数的性质理解不够深入，导致在解决问题时显得有些吃力。这说明我在教学过程中，需要更加注重基础知识的巩固，让学生对二次函数有一个全面、系统的认识。

其次，我在教学策略上，注重了学生主体地位的发挥。让学生在课堂上充分展示自己的思考过程，鼓励他们提出问题和解决问题。这种做法收到了良好的效果，学生的参与度很高，课堂气氛活跃。但同时，我也发现，部分学生在讨论中过于依赖他人，缺乏独立思考的能力。因此，在今后的教学中，我要更加注重培养学生的独立思考能力，让他们在解决问题的过程中，学会独立分析、判断和决策。

在教学管理方面，我尝试了分组讨论、课堂提问等多种形式，以调动学生的学习积极性。然而，在管理过程中，我也遇到了一些挑战。比如，有的学生纪律性较差，容易在课堂上分心。针对这个问题，我将在今后的教学中，加强对学生纪律的教育，确保课堂秩序。

至于教学效果，我觉得学生在知识、技能、情感态度等方面都有所收获和进步。在知识方面，学生掌握了二次函数在解决几何最值问题中的应用方法；在技能方面，学生的数学建模能力和逻辑推理能力得到了提升；在情感态度方面，学生的自信心和学习兴趣得到了增强。

当然，在教学过程中，我也发现了一些不足之处。比