四年级数学上册全册讲义及详解

同学们已经学过了四则混合运算，在这里我们先简单复习一下四则混合运算

的各种运算律，包括交换律、结合律、分配律、去括号和添括号的法则等等.

一、交换律：

加法交换律：a+b=b+a；乘法交换律：axb=bxa.

例如：123+234=234+123:123x234=234x123.

二、结合律：

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法结合律：("b)xc=ax(bxc).

例如：(123+234)+345=123+(234+345)：(10x11)x12=10x(11x12).

三、分配律:

(a+b)xc=axc+bxccx(a+b)=cxa+cxb

乘法分配律:

(a-£»)xc=«xc-/>xccx^a-b)=cxa-cxb

例如：(234-123)x5=234x5-123x5；5x(234-123)=5x234-5x123.

除法分配律：*+?+c=a+，+b+c.

\^a-b)+c=a+c-b-t-c

例如：(100-40)+10=100+10-40+10；避免错误使用：18+(3+6)/18+3+18+6.

四、去（添）括号：

1.力口、减法去（添）括号：括号前面是“+”，去（添）括号后不变号；括

号前面是去（添）括号后要变号.

例如：234+（345-123）=234+345-123,345-（234-123）=345-234+123.

2.乘、除法去（添）括号：括号前面是“x”，去（添）括号后不变号；括

号前面是“+”，去（添）括号后要变号.

例如：8X（5+8）=8X5+8,93+（31+3）=93+31X3.

五、带符号搬家：

同级运算时，可以带符号搬家，改变运算顺序.

注意：加、减法同为第一级运算，乘、除法同为第二级运算.

例如：241-164+59=241+59-164;165x29+5=165+5x29.

四则混合计算时要先算乘除法、后算加减法，同级运算按照从左到右的顺序

计算，有括号时先算括号内的.

由这些性质出发，我们能总结出很多种巧算的方法，比如透聚法、售公国藜

法等等.

例题1

（1）125x71x8；（2）124x24-4-31；（3）28x7+28x7.

「分析」按照从左往右的顺序依次计算会很麻烦，可不

可以改变运算顺序使得计算非常简便呢？

练习1

计算：(1)25x123454321x4；(2)96x25+24.

同级运算时，可以通过添（去）括号改变运算顺序.

例题2

(1)222-64x32;(2)123+(41+32);(3)125x21x60+(7+8x15).

「分析」通过除法我们可以把数变小，进而使得计算更加简便.添去括

号时要注意符号哦！

练习2

计算：(1)72x27x88+(9x11x12)：(2)25x121+2+(11x5+4).

提取公因数是最常用、最重要的巧算方法之一，很多时候还需要我们自己构

造公因数.

例题3

(1)222x33+889x66;(2)21x32+58x68+32x37;

(3)12x21+23x12+52x11.

「分析」部分有公因数就先提一提吧！没有公因数时可

以试着去构造哦！倍数关系往往是构造公因数的关键.

练习3

计算：23x5।46x25i69x15

例题4

(1)(16+32+36+40)+4;(2)96+4+176+4+128+4;

(3)15+6+53+6-20+6.

「分析」除法中，我们就把“提以公因数”改称“提取公除数”吧!

练习4

计算：(1)52+7-13+7+3+7：(2)】1+5+】11+5+】+5-23+5.

例题5

(1)15x16+12;(2)64+28x35.

「分析」除数太大,除不开？拆一拆!

例题6

(1)56x47+46x44;(2)55x45-56x44.

「分析」本题的两小题中都没有公因数，但是有些因数

很接近，我们能不能构造公因数呢？比如(1)题中的47可

以看成46加1,接下来怎么办？

课堂内外

数学以外的括号

括号，又称括弧号或夹注号

k}(]()|

,西:序的符号,<>

在数学中，括号主耍是用来规定运

小括理”[]叫|

主要分为四大类，包括大括号7}”、

小括号“（）”以及比较少用的括线・

而数学以外，括号主要用于作注释之用.写文章写到

某个地方，为了让读者了解得更透彻，有时需要加个注

释.这种注释，要用括号表明.注释的性质是多种多样

的.但是小括号内只能对前面的语句进行附加说明，不能

引入新的内容.

用作注释的括号主要包括：方括号“[]”、六角括号

“（）”、方头括号“【】”和书名号“<>”等形式.

它们各自用途不同，不可混淆.

方括号“口”用来标示行文中的补缺或订误、国际音

标、参考文献等.

六角括号“（）”用来标示公文编号中的发文年份，

作者国籍、朝代等.

方头括号“”又称“鱼尾号”，常用来标示工具

书的条目.

最早出现的括号是小括号“（）”，于1544年出现.直

至17世纪，中括号才出现于英国瓦里斯

（1616-1703）的著作中，至于括线则由1591年韦达

（1540-1603）首先采用，而大括号“{}”则约在1593年

由韦达首先引入；至1629年，荷兰的基拉德采用了全部

括号，18世纪后开始在世界通用.

进入计算机时代，括号又有了新的任务，各种编程语

言中都会大量地用到

小括号“（）”和大括号.

作业

1.计算：（1）75x24+25；（2）46-5-13x26+23.

2.计算：(1)50x27x771-(25x11x9)；(2)110x47-125-5-100x(47x8).

3.计算：13x29+26x19+11x39.

4.计算：49X3-107+13+110+13.

5.计算：50x27+45.

三年级我们学习过，当题目中包含两个以上的对象时，最简单的解决方法就

是：把其中的若干对象“打包”，变成一个对象，从而减少对象的数量，最终把

问题变成两个对象间的和差倍问题.这种“打包”的方法就是所谓的分组法.在

有多个对象的和差倍问题中，分组法和比较法是常用的方法.

我们先来看这么一个简单的问题：

甲、乙、丙三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出60千克与90

千克之间的重量，因此他们三人只能两人两人一起称重.甲和乙一起称，总重量

是73千克；乙和丙一起称，总重量是80千克；丙和甲一起称，总重量是75千

克.三人的体重分别是多少千克？

我们把甲、乙两人看成一组，乙、丙两人也看成一组（其中乙同时属于两组），

比较这两组我们发现丙比甲重_（千克）.再结合甲、丙总重量为

75千克，可以根据和差关系穿出甲、8雷W昔晶重量.

在这个例子中，我们既考虑两人一组的总重量，也把两组的总重量作比较.

除此之外，还有另外一种利用分组进行比较的分析方法：同样的，我们把甲、

乙、丙三个人两两的体重看做一组，把三组相加，即为三个人体重和的2倍.由

此可得三人体重之和为（千克），再分别与每一组进

行比较，即可得到三个人的祖童.+80+75片2=114

由此可见，用分组法与比较法在处理多个刈象的和差倍关系M，可以把条件

之间的关系变得更清晰.而且，一个题目往往是可以从不同的角度去采用不同的

分析方法进行解决的.所以我们要根据题目的实际情况进行合理的比较.

有些题目直接列出算式去比较会很麻烦，所以我们可以用画图的方法来帮助

我们比较.

例题1

高思举办吃包子大赛，高高比思思多吃3个，萱萱比卡莉娅多吃

9个，高高和卡莉娅共吃了87个.那么这四个人共吃了多少个包子？

「分析」按画出分组图，比较两组中有关联的人，你有什么发现吗？

练习1

有来自阳光、灿烂、雨天、清风这四所小学的同学参加高思吃包子比赛,

其中阳光学校参赛人数比灿烂学校多5人，雨天学校参赛人数比清风学校多

7人.如果灿烂、雨天两校一共有40人参加比赛，那么阳光、清风两校一共

有多少人参加比赛？

例题2

在神秘的星球上只有四种水果，其中火龙果和水龙果共83个，

水龙果和金龙果共86个，金龙果和木龙果共88个.请问：火龙果和

木龙果共多少个？

「分析」这三组的总数之间有什么联系吗？比较其中两

组的水果数量，你有什么发现吗？或者试试比较法中“累加”

的思想，能有什么发现呢？

练习2

西瓜太郎有四种西瓜，其中红西瓜和绿西瓜共23个，绿西瓜和粉西瓜共35

个，粉西瓜和黄西瓜共39个.问：红西瓜和黄西瓜共多少个？

在以前学习盈亏问题时，我们也经常把两种情况进行对比，然后分析其中的

差别，只要找出差别的原因，问题也就随之解决了.而在和差倍问题中，我们也

会使用类似的办法.不止如此，以后五六年级面对更复杂的应用题时，比较法仍

然是一个非常重要的思考方法.通过本讲的学习，大家对比较法会有更深刻的理

解.

例题3

某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将给他

一套工作服和1000元钱.但由于学校另有安排，他工作了10天后便

中止了合同.按天计算所得的报酬，工厂需要给他一套工作服和200

元钱.请问：这套工作服值多少元？

「分析」工作10天比工作30天要少拿20天的报酬，究竟是少拿了多

少我呢？

练习3

在海洋王国里，海豚在鲸鱼开的餐厅打工.它俩说好工作满30天，鲸鱼就

付给海豚100个海洋币和1颗珍珠.但是工作了25天，海豚便决定不干了.按

天算工资，鲸鱼只付给它50个海洋币和1颗珍珠.请问：这颗珍珠值多少个海

洋币？

例题4

某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍，该食堂每天消耗面粉

20袋，大米60袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下200袋.这个

食堂买来大米多少袋？

「分析」由于大米的袋数是面粉的4倍，我们可以把1

份面粉和4份大米分成一组，怎么分组才能使每天恰好消耗

完一组中的面粉呢？这时一组里剩下多少袋大米呢？你能

算出一共用了多少天吗？

练习4

箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍.每次从箱子里取出7

个白球，15个红球.经过若干次后，箱子里白球恰好被取完，只剩下54个红球.那

么箱子里原有红球、白球各多少个？

例题5

四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人

数是121人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人；丁班人数的

2倍比甲班多9人.请问：这四个班共有多少人？

「分析」把题目给出的条件列举出来，进行比较分析，

能得出什么关于丁、甲两班的关系吗？

例题6

四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人

数是131人；不算丁班，其余三个班的总人数是140人：乙、丙两个

班的总人数比甲、丁两个班的总人数少1人.请问：这四个班共有多

少人？

「分析」我们把乙、丙两班分成一组，甲、丁两班分成

一组，你知道这两组人数之间都有哪些关系吗？

课堂内外

真差25倍吗？

在秋天的赛季里，有两匹马一一星期天和戈尔一一被公认是发挥最出色的.星期天

轻吃地获得肯塔基的冠军，戈尔取得了贝尔盟的桂冠.而在这两项比赛里，两匹马都取

得了一项赛事的冠军，打成了平手.关键在于另一项总决赛，即普力克.在普力克这场

比赛里，这两匹马都奋力向终点冲去，超过其它马有一匹马的身位.电子记录显示，星

期天获得了胜利，但仅比对手快了•个鼻子那么一丁点.

在这一单项赛事里，星期天获得了50万美元的奖励.再加上总成绩第一的100万

奖金，这样就达到了150万美元.而第二名一一戈尔只得到了6万美元.星期天得到的

是戈尔的25倍，那么星期天做的真的比戈尔好25倍吗？不可能.完成这3项比赛得要

5人星期的时间，需要跑4公里的路程，一匹马只是比其对手快了2英寸而已，实际上

差别并不大，甚至可以说几乎没有差别.而它们的回报却相差25倍！这就是微小边缘

原理在起作用.

也许只是多一点点的训练.也许只是多一点点的奋争，也许计划方法只是好那么一

点点，也许所有这些因素或者还有其它更多的原因.每一项几乎都是微不足道的，然而

把这一些加起来，优势和利益将令你难以置信.

其实，人与人之间的差别和精明与否，是通过许多小的步骤取得的.每次只是一小

步而已.许多人失败后，就灰心丧气，然后放弃.倘若把注意力先放在小的改变上面将

会更容易，更高效并且少受挫折，之后再看它们累加起来的效果.

注意微小的边缘，专心致志，不遗余力，寻求突破，你将挥别失败

与痛苦，笑迎成功与欢乐.

作业

1.学校举行联欢会.如果甲、乙、丙三个班的学生参加，共60人：如果只1T甲、乙两班

的学生参加，共40人：如果只有乙、丙两班的学生参加，共32人.则乙班有多少人？

2.某次数学考试，甲、乙的成绩和是184分，乙、丙的成绩和是188分，那么甲比丙少多

少分？

3.一个油桶里有一些油，如果把油加到原来的2倍，油桶连油共重38千克：如果把油加

到原来的4倍，这时油和桶共重46千克.那么桶重多少千克？

4.森林学校里，有的学生爱吃苹果，有的学生爱吃桔子.于是，兔子厨帅就专门针对不同

学生的口味订购了一批苹果和桔子，己知苹果数成是楂子的5倍，小朋友们每天一共要

吃30个桔子和90个苹果，几天后桔子全部被吃完了，苹果却还剩下600个.请问兔子

厨师一共订购了多少个单果？

5.老大、老二、老三是张家二兄弟，今年老大与老二的年龄之和是23岁，老二与老二的

年龄之和是18岁，老大与老三的年龄之和比老二年龄的2倍多1岁.请问：今年三兄

弟的年龄和是多少岁？

在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形.在日常生活中，我们最常

见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形.

在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类.我们已经学

过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积.

N21.正方形利长方形的面积

正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图:

J正方形的面积=边氏X边氏||［长方形的面积」&X宽I

试一试

1.正方形的边长是6厘米，面积是平方厘米.

2.长方形的长为8厘米，宽为4厘米，面积是平方厘米.

3.正方形的面积是121平方厘米，它的边长是厘米.

4.长方形的面积是48平方厘米，宽为4厘米，长为厘米.

例题1

如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分

别栽种了茄子、黄瓜、豆角、黄笋和苦瓜.其中栽种

茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方

米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种葛笋的面积是

72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正

方形.请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？

「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长

是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？

练习1

如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、

黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面

积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形.请问：剩下的黄瓜地的

面积是多少？

9

18

N22.平行四边形的面积

如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色

标出来.

为了计算平行四边形的面枳，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一

个长方形，如下图.

这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘以

宽,长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段.在平行四边形中，这

两条线段分别叫做底和高.于是我们有：

如图所示，同学们可以画出这条底对应的若T条高，并且这些高是相等的，

都等于上下两条平行线间的距离.

当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形明拼成一个长方形，如下面

左图所示.同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相

等的，都等于左右两条平行线间的距离.

要计算平行四边形的面积，需要知道一条底，以及它所对应的高.大家看看

下面的几个图形，试着画出与底边相对应的高.

例题2

下图是由两个边长分别为4和7的正方形拼

成的，请求出阴影平行四边形的面积.

「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条

边作为底呢？相应的高是多少呢？

练习2

如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四

边形.如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是

8厘米.那么阴影平行四边形的面积是多少？

>3.三角形的面积

三角形中也有相对应的底和高.过二:角形的•个顶点向所对的边做•条垂

线，所得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底.每个三角形有三

组对应的底和高.

要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度.观察下图，我们把一个三

角形倒过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形.

平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等.而平行四边形

的面枳等于“底X高”，正好是三角形面积的2倍，所以我们有三角形面积公式:

从形状上讲，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.由于

三角形的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易.因此要

想算出三角形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高.下面是•个简

单的作图练习，大家不妨画一画.

例题3

如下图所示，两个正方形并排放在一

起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的

边长是6厘米.请问：阴影三角形的面积是

多少？

「分析」阴影部分是三角形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是多少

呢？

练习3

右图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴

影三角形的面积.

>4.梯形的面积

三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有.在梯形中，

平行的一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之

间的距离叫做梯形的高.

下底

如下图所示，把两个相同的梯形拼在•起，可以得到•个平行四边形.

从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的2倍.同时平行四边

形的底由梯形的上底和下底拼接而成，高与梯形的高相等.所以：

［梯形的面积=（上底+下底）X高+21

例题4

一个正方形和一个长方形按下图的方

式排放，已知正方形的面积是49平方厘米,

长方形的长为11厘米，宽为8厘米，那么

阴影部分的面积是多少？

「分析」阴影部分是梯形，要求面积，关键是找清楚它的上底、下底、

高分别是多少.

练习4

如下图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6

厘米.请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？

例题5

如下图所示，两个边长10厘米的正

方形相互错开3厘米，那么图中阴影平

行四边形的面积是多少？

「分析」阴影部分是平行四边形，应该选哪条边作为底呢？相应的高是

多少呢？

例题6

如图，把两个正方形拼在一起，小正

方形的边长是5厘米，大正方形的边长是

7厘米.请问：阴影部分的面积是多少？

「分析」阴影部分由两个三角形组成，你能分

别求出这两个三角形的面积吗？以哪条边作为底最容易计算呢？

课堂内外

小欧拉与大羊圈

欧拉是著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支

领域中都取得了出色的成就.不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，

他是一个被学校除了名的小学生.

小欧拉因为问老师天上星星有多少颗，老师也答不上来，只知道天上的星星是上帝

镶上去的.小欧拉感觉上帝真是太粗心了，竟然忘记了星星的数目！在欧拉的年代，对

上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思考.小欧拉没有与

上帝“保持致”，老师就让他离开学校回家.

回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童.他一面放羊，一面读书.他读的

书中，有不少数学书.爸爸的羊渐渐增多了，达到了100只.原来的羊圈有点小了，爸

爸决定建造一个新的羊圈.他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一

算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米.正打算动工的时候，他发现

他的材料只够围100米的篱笆，不够用.若要羽成长40米，宽15米的羊圈，其周长将

是110米.父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小

面积，每头羊的面积就会小于6平方米.

小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划.他

有办法.父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他.小欧拉急了，大声说，只要稍稍

移劭一下羊圈的桩了•就行了.父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样简单的事情？”

但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美.父亲终于同意让儿子试试看.

小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁.他以一个木桩为中心，

将原来的40米边长截短，缩短到25米.父亲若急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？

这个羊圈太小了，太小了."小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长

延长，又增加了10米，变成了25米.经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25

米力长的正方形.然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了.”

父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全

部用光.面积也足够了，而且还稍梢大了一些.父亲心里感到非常高兴.孩子比自己聪

明，真会动脑筋，将来一定大有出息.父亲感到让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜

了,后来，他想办法让

小欧拉认识了一个大数学家伯努利.通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成

了巴塞

尔大学的大学生.这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生.

作业

1.在下面的每个平行四边形与三角形中，作出以A8为底的

高.

2.如图，大正方形被分成三块区域.左上角的正方形面积为

4,右上角的长方形面积为6,请问：大正方形的面积是

多少2_______

3.下图中，大正方形的面积是64,小正方形的面积是36.求

平行四边形的面积.

4.下面两幅图都是边长为8和6的两个正方形拼成的，根据

图中所示的线段长度，求两个阴影三角形的面积.

5.如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的边

长是9厘米，大正方形的边长是13厘米.请问阴影梯形

的面积是多少平方厘米？

竖式问题中常用的突破口有:首位、末位、位数、进位及重复出

现的汉字或字母.

一、尾数分析

①X2、X4、X6、X8（有两个答案），如：口乂_2=_4,口有2、7两个答案;

②XI、X3、X7、X9（有一个答案），如：IZIX_3=_8,□只有6一个答案：

③X5,偶数一0、奇数一5；

④X0,乘积个位为0：

图A.能为：（=,、5,6.

二、首位分析一位数分析一估算，如:A=l.2或3.

__________________■o

三、进、借位分析，如：

没有借

_________________>,O

4=1A=n

②黄金倒三角

一般来说，在包含字母（或汉字）的竖式中，不同的字母（或汉字）代表不

同的数字，相同的字母（或汉字）代表相同的数字.

在加法与减法竖式中，进位与借位是非常重要的分析突破口.尤其是相同数

位上重复出现的汉字或字母，有的时候，会略带一些有关奇偶性的简单应用.

例题1

在下图的加法竖式中，不同的汉字代表

不同的数字，相同的汉字代表相同的数字.那

么每个汉字各代表什么数字？

「分析」观察首位，“车”是加出来的呢？

末位三个数字都是“卒二那“卒”又是多少呢？

练习1

在下图所示的竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同

的字母代表不同的数字.其中“G”代表5,“D”代表0,

代表6.请问：代表的数字是多少？

例题2

在下图的减法竖式中，不同的汉字代表不

同的数字，相同的汉字代表相同的数字.那么

每个汉字各代表什么数字？

「分析」观察百位，相同的数字差为0,那

么“马”可以是。吗？究竟是怎么回事呢？

练习2

F面竖式中，每个字母代表一个数字.。=

例题3

在图中的字母竖式中，相同的字母代表相同

的数字，不同的字母代表不同的数字.已知个位

向十位的进位为2,且£是奇数，则A、8、C、D、

E分别代表什么数字？

「分析」题目给的条件“进位为2、£是奇数”

是解决本题的关键哦!

练习3

在右图所示的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不

同的汉字代表不同的数字.那么“喜欢”这两个汉字所代表

的两位数是多少？

一般来说，乘法竖式比加减法竖式要难一些.乘法竖式中不仅有第一个乘数

与第二个乘数每一位数字的乘法，还有计算这些乘积之和的加法.

例题4

在右下图的竖式中，相同的字母表示相同

的数字，不同的字母表示不同的数字，那么

ABCDE7所代表的六位数是多少?

「分析」观察个位，ABCxC=DEAC、

ABCxD=7ED，你能判断出C是多少吗？

练习4

在下图的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的

字母表示不同的数字，那么而丽所代表的五位数是多

少？

在竖式问题中，还有一类特殊的、类似于应用题的文字题.在这类题目中并

没有明确给出竖式,而是要大家根据题R条件写出正确的竖式来.这就好比是“翻

译”，我们要把“文字”翻译成“数学语言”，然后再推理计算.

例题5

（1）一个自然数的个位数字是4,将这个4移到左动首位数字

前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少？

（2）一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新

的五位数，而且这个五位数恰好是原数的4倍，那么原来的五位数是

多少？

「分析」在第（1）问中，我们可以把问题转化为竖式来考

\廖•\

在第（2）问中，我们可以假设原来的五位数是而M再

列出竖式分析.

例题6

下图中的竖式里，“江”、“峡”、“美”

三个汉字分别代表三个各不相同的

数字，请把这个竖式写出来.

「分析」本题已知条件大都集中

在个位，观察“江峡美*美=□□口美”、

“江峡美*江=口□江”、

“江峡美*峡=口□□峡”，你能判断出“美”是多少吗？“江”

和“峡”又有什么特点呢？

课堂内外

结绳记数

结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在

某些民族中沿用下来.宋朝人在一本书中说：“靴靶无文字.

每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火.”这是用

结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等,

虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方

法.中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组

成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起.有趣的是，不

但我们东方有过结绳，西方也结过绳.看样子，咱们这个星

球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话.传说古

波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天.为

了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯王用一根长长的

皮条，把上面系了60个扣.他对守桥的官兵们说：“我走

后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家

了.“

回头我们再来看一件有趣的事情.在我国古代的甲骨文

中，数学的“数”，它的右边表示一只右手，左边则是一根

打了许多绳结的木棍：一一“数”者，图结绳而记之也.所

以，数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”，

连招牌都不用挂了.

作业

1.在下面的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同

的汉字代表不同的数字，请问：霰I?表示的四位数是多

少？

学

2.在左下图中的字母竖式中，相同的字母代表相同的数字,

不同的字母代表不同的数字.如果C是

一个偶数，请问三位数痂是多少？

3.在下面的减法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同

的字母代表不同的数字.请问：六位数诲斯是多少？

4.下图的竖式中，每一个英文字母代表0,1,2,…，9中

的一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代

表不同的数字，请问字母F代表数字几？

5.一个六位数的个位数字是7,将这个7移到左边首位数字

前面，所构成的新数恰好是原数的5倍，请问：原六位数

是多少？

“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！

我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦

了,今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法.先

举一个例子：

餐厅里有4种炒菜和2种炖菜，4种妗菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清

炒虾仁和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨.

点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式.也就是说，可以点:

红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有

4+2=6种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜.这就是加法原理.

加法原理：如果完成一件事有几美方民，在每一类方式中又有不同的方法,

那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数.

如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一

个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可.炒菜选红

烧鱼块的点菜方法有2种：（红烧鱼块，土豆炖牛肉）、（红烧鱼块，萝卜炖排骨）;

类似地，选滑溜里脊的也有2种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜

炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜

炖排骨）：选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜

炖排骨）.合在一起就有4x2=8种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种

炖菜.这就是乘法原理.

乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法,

那么把每步的方法数相乘就得到所有的方去救.

例题1

小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机.经

过网.上查询，出发的那一天中火车有4班,汽车有3班,飞机有2班.任

意选择其中一个班次，有多少种出行方法？

r分析」选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法

原理呢？

练习1

书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本

书，有多少种不同的取法？

例题2

用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、

门、窗四个部分染色，每个部分只能染一种颜色,

一共有多少种不同的染色方法？

「分析」要给四个部分染色，我们很容易想到要

依次染每个部分，这是分类还是分步呢？只染一个部分能完成这件事情吗？

练习2

用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子

三个部分染色，每个部分只能染一种颜色，一共有多少

种不同的染色方法？

分类是指完成一件事情有几类不同

方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任

意选取一类都可以完成这件事.这种情况下一般要用到加法

原理.

分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须

执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件

事.这种情况下一般要用到乘法原理.

例题3

从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3

条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4

条路.如果要求所走路线不能重复，那么从甲地

到丙地共有多少条不同的路线？

「分析」要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两

地之一.“甲一乙一丙”与“甲一丁一丙”这两类路线各有多少条呢？

练习3

任意两地之间的路线都已在下图中标示出来，如果要

求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同

的路线？

通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别.

加法原理

类与类之间会满足下列要求：

1.只能选择其中的某一类，而不能几类同时选：

2.类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求.

比如例题1中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其

中一种交通工具，就能到达目的地了.

乘法原理

步与步之间满足下列要求：

1.每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论：

2.步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步...直到最

后.

比如例题2中，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系.在这里,

衣服和帽子先选哪种都可以.但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难

一些，我们在日后会接触到.

加法原理与乘法原理的混合

有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系.这时应该分清主次关系，

弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类”.如果是某一大类里

面又可以再分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法

原理把各类中的情况加在一起，比如例题3.当然我们以后也会碰到某一大步里

面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出每•大步中有多少种情

况，再用乘法原理把总数算出来.

在本讲的最后，我们来介绍标数法.标数法是解决路径条数问题的重要方法.

如下图所示，我们要计算蛆蚁从A点沿箭头的方向爬到8点的不同路线有

多少条.

由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只

有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把

A点处标上1,表示蚂蚁从4点出发到达A点，只有原地不动这一种方式）.我

们用标数法标出蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示.

容易看出，蚂蚁可以从C点或者。点到达£点，而且只有这两类不同的方

式，那么我

们可以在E点处标上数字1+1=2（把C点与D点的数字相加），表示蚂蚁到

达£点有两条路线.同样道理，蚂蚁可以从£点或者F点到达G点，那么蚂蚁到

达G点就有2+1=3条路线（把E点与F点的数字相加）.最后可以得到蚂蚊到达

8点有4条路线，如下图所示.

例题4

在下图中，从A点沿线段走到B点，每

次只能向上或向右走一步，共有多少种不同

走法？

「分析」标数法其实就是要找到前一步可能

在的所有点，把它们的方法数加起来.

练习4

在下图中，从A点沿线段走到8点，每次只能向

上或向右走一步，共有多少种不同走法？

例题5

老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三

位数，减数必须是两位数.请问墨莫共有多少种不同的写法？

「分析」被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法

算式吗？写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？

例题6

书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了

10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相

同.请问：

（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？

（2）如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法？

（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的

取法？

「分析」从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书，

这三件事对于前两问来说是分类还是分步？

课堂内外

加减乘除的由来

加减乘除（+、一、X、+）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光

在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们.别看它们这么简单，

亢到17世纪中叶才全部形成.

法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用。

表示加法，用M表示减法.这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算

法》中，他用“十”表示超过，用“一”表示不足.到1514年，荷兰的赭克首次用“十”

表示加法，用表示减法.1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用

“+”和表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用.

以符号“X”代表乘是英国数学家奥特宙德首创的.他于163T年出版的《数学之

钥》中引入这种记法.据说是由加法符号“+”变动而来，因为乘法运算是从相同数的

连加运算发展而来的.后来，莱布尼兹认为“X”容易与“X”相混淆，建议用表

示乘号，这样，“•”也得到了承认.

除法符号“+”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“：”表示

除或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“+瑞士的数

学家拉哈的著作中正式把作为除号.符号是英国的瓦里斯最初使用的，后

来在英国得到了推广.除的本意是分，符号“子”的中间的横线把上、下两部分分开，

形象地表示了“分”.

至此，四则运算符号齐备了.

作业

1.题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45

道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张

试卷.问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？

2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短

跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定

三项比赛都要有人参加.请问报名的情况有多少种？

3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10

本不同的语文书.

（1）墨莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？

（2）墨莫三种书都要各借1本，有多少种不同的选择？

4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅

不同类型的画布布置客厅，有几种选法？

5.在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右

走一步，共有多少种不同走法？

院子里两棵槐树之间的距离是10米，一只小猫从一棵槐树跑到10米外的另

一棵槐树需要5秒，那么小猫每秒跑10・5=2米.

行程问题是研究路程、时间和速度之间的关系.速度是衡量运动快慢的量.一

般我们选用1个单位的时间，如用1小时或1分钟或1秒，用1个单位的时间内

经过的路程的多少来表示速度的大小.因比，我们有了速度的定义：

||速度就一单位时间内所经过的路:1|

速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们之间的关系如下：

］路程=速度XI洞|

r玉度-路杆：一高।

那么本文一开始提到的小猫跑过的距离10米就为路程，行程问题中常用的

路程单位是米和千米.而小猫跑了5秒就是时间，时间的常用单位有秒、分钟和

小时.那么小猫的速度就是2米/秒，行程问题中常用的速度单位有米/秒、米

/分和千米/时.

练一练

1.汽车以每小时15千米的速度行驶，那么5，.、时内，它行驶了千米.

2.长跑运动员每秒跄4米，如果按照这个速度跑完10000米，需要秒.

3.一颗子弹射出后2秒钟，恰好击中1800米处的目标，那么它的速度是每秒

米.

4.一名长跑运动员以每秒4米的速度奔跑，那么2分钟内，他跑了米.

5.小高每分钟骑100米，如果要耕完6000米的路程，需要小时.

例题1

甲、乙两地相距360千米，一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙

地，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程

后发生了故障，在途中停留了1小时,如果按照原定的时间到达乙地,

汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？

「分析」要计算速度，找清楚对座的路程和时间即可.

练习1

兔子和乌龟赛跑，从A地跑到8地，全程共6000米.兔子计划5分钟跑完

全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程要比计划的要少200米.那么兔子实

际跑完全程用了多长时间？

例题2

4、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、8两地同时出发,

相向而行，如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：

(1)甲从A走到8需要多长时间？

(2)两个人从出发到相遇需要多长时间？

「分析」从出发到相遇，两人一共走了多远？他俩每分钟一共走多远

呢？

练习2

阿呆和阿瓜从相距5000米的4、8两地同时出发，相向而行.阿呆每分钟

走150米，阿瓜每分钟走35