初中数学学习指导与方法

初中数学学习指导与方法

ASIAEDUCATIONGROUPCO.,LTD

目录

代数

有理数的运算技巧..........................................................................1

参数一来，难变易..........................................................................3

方程思想的应用............................................................................5

“……”的运算技巧..........................................................................7

遇难转化走出困境.........................................................................10

从拆项入手巧妙解题.......................................................................11

因式分解常见错误分析.....................................................................15

因式分解中的变换技巧.....................................................................16

例说通分的技巧...........................................................................18

奇妙的最小值.............................................................................20

利用分式方程的增根解题....................................................................21

分式通分的几种技巧.......................................................................22

分组分解法的若干思路.....................................................................25

如何解分式问题...........................................................................27

一元二次方程解法评注.....................................................................30

巧用增根的性质解题.......................................................................31

例谈“常值换元”法解题.....................................................................32

几个年龄问题的“另类”解法..................................................................33

解一元一次不等式（组）错解辨析............................................................34

含字母系数的一元二次方程常见错解剖析.....................................................37

巧挖隐含条件妙解题.......................................................................40

思路要明方针要定.........................................................................42

多设几个未知数...........................................................................43

用转换思想解“至少有”问题..................................................................44

数学命题的三个特征.......................................................................45

可贵的直觉...............................................................................47

简单二元方程的一个应用....................................................................48

“数据的分析”学习指导.....................................................................49

举一反三、探索新题.......................................................................50

利用轴对称求一次函数解析式................................................................51

须强化的几种解题意识.....................................................................54

最值问题的求解八法.......................................................................57

构造法解二次函数应用题....................................................................61

二次函数解析式求法列举....................................................................63

解填空题七法.............................................................................66

配方法的解题功能.........................................................................67

求余数找规律.............................................................................69

几何

巧用梯形面积公式求和.....................................................................71

测高问题多解.............................................................................72

三角形面积变形公式的应用..................................................................73

巧补形妙求解.............................................................................75

证线段不等的十种方法.....................................................................79

一题五解.................................................................................84

巧用定义激活思路.........................................................................87

三角形角平分线的应用.....................................................................89

等腰三角形的分类讨论.....................................................................90

平面几何中的命题变更.....................................................................92

蚂蚁怎样走最近...........................................................................94

巧用三角形中位线的两种关系................................................................97

浅谈一般四边形的解题策略..................................................................99

有理数的运算技巧

有理数及其运算，是整个初中学习数学的基础，对于有理数的混合运算，我们要善于观察问题的结构特征，选

择合理的运算路径，灵活使用运算律，可以简化计算，提高解题的速度和能力。运算中常采用的技巧如下：

灵活运用运算律

12135

21-+(-36-)+(-16-)+(-45-)+(+10-)

例1.计算：2T2JT7\

分析：利用加法的交换律、结合律把同分母的数结合在一起，可以减少运算量。

11235

[21-+(-16-)]+[(-36-)+(-45-)+(+10-)1°.一、一

解原式」22"7)、7工5+(-71)=-66。

5211

—x(-±)x(-2—)x(-4-)

例2.计算：31'9，'15，2\

分析：多个因数相乘时，积的符号的确定是关键，利用乘法的交换律与结合律，把易于约分的先相乘，提高解题的

速度。

52319,531、，29、1.1

解原式=319152、3115；<92，33。

二.逆用运算律

(-1)x83+(-j)x(-13)-(-1)x28

例3.计算：666

_5

分析：本题每项含有6,因此可逆向运用分配律来计算。

(--)x[83+(-13)-28](--)x42=-35

解原式=6=6

三.倒序相加

例4.计算：-…_2的一？"+2?°。(桂林市中考题)

分析：直接计算繁琐，可从后两项开始，逐步计算。

解原式=2-—.••-2'+(-2"+2”)

_2-22-23-218+219

2-22-23……-217+(-218+219)

_.........=2+22=6

-O

四.凑数法

64乎48

例5.计算:98+998+9998+……+99……98。(“信利杯,，竞赛题)

分析：直接计算繁琐，观察其特征，发现每个数加2都是10”,所以把各项凑成10的倍数计算。

解原式=(100-2)+(1000-2)+(10000-2)+……+(100……00-2)

=(100+1000+10000+・・•・・・+100・•・・••00)-50x2

-.1000+100004-100.......00=111.........11000O

五.拆项法

1I1卜…1

例6.计算：3x55x71997x1999。(天津市竞赛题)

分析：通分来解显然行不通，可采用拆项法。

星二）+入1」）+.・・+入，.，）

解原式二2、35，2、5T2,19971999,

1,111111.111、998

一(一——I———F'"+---------)=—Z(-—----)=----

=23557199719992319995997o

六.错位相减法

例7,计算：3+3J+33+3*+...+32006。

分析：考虑到后一项与前一项的比都是3,所以可采用错位相减法。

2342006

解设$=3+3+3+3+-+3)则3s=32+3?+3'+…32°°6+3加°\

2S=32007-3,S=32007-3=3*3

所以2,即原式2。

七.用字母代替数

例8.计算：1997x20002000-2000x19971997.

解设1997=a,则

原式=ax[10000(a+3)+(a+3)]-(a+3)x[10000a+a]

=axl001(a+3)-(a+3)xl0001a

=10001a(a+3)-10001a(a+3)

=0o

八.分解相消

例9.计算：19492-19502+195俨一19522+…+19972-19982+19992。(北京市竞赛题)

分析：此题满足平方差公式=(a+b)(a-b),所以可用因式分解来简便运算。

解^=19492+(1951+1950)(1951-1950)+(1953+1952)(1953-1952)+-+

(1999+1998)(1999-1998)=19493+(1950+1951+1952+-+1998+1999)=19493+

50(1950+1999)

=3897326

2

练习

计算:

1+--+-------d-----------------；

(2)1+21+2+31+2+3+…+100

(3)987654321x987654324-987654323x987654322；

1,12、J23、123499、

一+(一+—)+(—+—+—)+,■■+z(---+----+++■,,+----)

(4)233444100100100100100

[参考答案]

11200

⑴20.(2)101.(3)-2；(4)2475。

参数一来，难变易

有些较复杂的问题，常规思路不易解决。可是一旦引入参数，即化难为易。

例1若m＞。，病丁5-质=T=m，则代数式小二可十6二I的值是。(用m表示)(第17届(06年)

“希望杯”初二2试)

解：设Jx+3+Jx-l=a,则(Jx+3-JxT)(Jx+3+JxT)=ma,

4

ma=4,a=——

所以m

例2计算：

1+72006(72005-72004)।

J2J04+V2005+V2006(第17届(06年)“希望杯”初二培训)

解：设a=2004,则

1+Ja+2(Ja+1-Va)

原式框+Ja+]+Ja+2

_(Ja+1+/)(退+1-道)+Ja+2(Ja+1-亚)+亚

+Ja+]+Ja+2

_(Ja+1-,局(质+Ja+1+Ja+2)+6

+Ja+1+Ja+2

=Ja+1—Va+Va=V2005

例3分解因式

2

(1+ab)+(a-b-2Xa-b+2ab)o(第"届(06年)“希望杯”初二培训)

解：设a-b=x,ab=y,则

原式=Q+y)，+(x-2)(x+2y)

=1+2y+y2+x2+2xy-2x-4y

=(x+y)2-2(x+y)+1

=(x+y-1)2=(a-b+ab-I)2

22

=(a-l)(b+l)

4

例4某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的已知初一年级的男

生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的a,那么三个年级女生人数占三个年

级学生人数的()

9101110

A.19B.19C.2fD.21

(第17届(06年)“希望杯”初二1试)

解：设初一年级学生人数为a人，男生人数为b人，则初一年级女生人数为(a-b)人；初二年级学生人数为a人，

4

男生人数为(a-b)人，女生人数为b人；初三年级学生人数为5a人，再设初三年级男生人数为x人，由题意得

11

—[b+(a-b)+x]=xx=­a

4、,，即3

/a_1_7_a

故初三女生人数为5"人，即后a人，三个年级女生人数占三个年级学生人数的比为

7

(a-b)+b+—a..

15_11

421

a+a+—a

5,选C。

例5已知A港在B港上游，小船于凌晨3：00从A港出发开往B港，到达后立即返回，来回穿梭于A、B港之间。

若小船在静水中的速度为16千米〃」、时，水流的速度为4千米/小时，在当晚23：00时，有人看见小船在距离A港

80千米处行驶，求A、B两港之间的距离？

(第17届(06年)“希望杯”初二2试)

解：设A、B两港之间的距离为s,凌晨3：00至当晚23：00,小船在A、B港之间共行驶了k个来回，

(1)若当晚23：00时，小船顺流航行且距A港80千米，贝I

—sk=16

化简得15,即sk=120

当k=l时，s=120

当k22时，s<60<80(不合题意，舍去)。

(2)若当晚23：00时，小船逆流航行且距A港80千米，则

化简得ks+s=200

_200

即ik+l

当k=。时，s=200

当k=l时，s=100

w200成

s4---<80

当k22时，3(不合题意，舍去)。

答：A、B两港之间的距离为120千米或200千米或100千米。

练习：

111

—5--------+—5--------+—5---------=0

1、解方程：x+1lx-8x+2x-8x-13x-8。

3K

2、设关于x的方程'+6+2)x+9a=0有两个实数根X],X2；且求a的取值范围。

3、设a,b为实数，那么a?+ab+b2-a-2b的最小值是。

答案：

1、设x?+2x-8=a,然后去分母，整理得a=9x或a=-5x,从而可求得

x=±8或x=±l。

22

y=x+(1+—)x+9

2、设a

由方程有两个实数根且々<1知

当x=l时,y<0

2°

----<a<0

由此即得11

3、设a"+ab+b"-a-2b=t,将整式整理成关于a的一元二次方程，由△2()得

t>-l,

当a=0,b=l时t=-1。

方程思想的应用

方程，是含有未知数的等式，它不仅是代数的重要内容，也是重要的数学方法，一些表面看来与方程无关的数

学问题可以转化成方程问题来解决。这就是方程思想，请看：

1、求值

1+—

例1求1+K的值。

1+---

分析：这是一个无穷分式，若靠常规方法难以解决。不妨设1+K=x,通过观察发现每一个分数线下的式子

1+--1+——X

都是1+K,于是可得x,解这个方程得

.175+1

石+11+;~~i——

x=-----1+----

2故1+K

2、解不等式

不等式与等式是对立统一的，可以相互转化。许多不等式问题可以利用等式的性质加以解决，而等式中的一个重要

内容就是方程。

例2已知mx+ny=2k(mn>k，求证xyWl。

分析：把所证不等式变换成等式灯=a,考虑到已知mx+ny=2k,进一步将xy=a变换为mx-ny=amn,则

得rnx与ny是方程--2kt+amn=0的两个实根，所以

△=4k2-4amn>0

又mn>k2>0

所以4mnmn

即xyWl

3、证明等式

例3已知(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,且*y,求证2y=x+z。

分析：若将已知条件式展开，则显然很繁琐且不容易发现结论。如果认真分析条件的特点，合理联想，则可将已知

式看作某个有等根的一元二次方程的判别式，于是构造方程(X-y)t2+(z-x)t+(y-z)=。，进一步发现这个方

程的系数和为0,说明方程有一根为1，又因为△=(),所以另一根也为1,利用韦达定理，得

x-y,即2y=x+z

4、解方程组

一个数学问题中的某个具体的数或抽象的式，均可看作未知量，而其余的数或式则可看成已知量，其中把具体的数

看成未知量往往被忽略。

例4解方程组：

分析：可直接用消元法求解，但由于系数复杂使得运算难以进行。若能仔细观察发现x与y的系数有平方关系且常

1±72

数项相同，进而把常数看成未知量，把X,y看作已知量构造一元二次方程。于是有2是*22+丫2+1=()的两

根。由韦达定理，得

1+V21-72_y

,~~+-2x

1+01--J21

~2X

解得x=-4,y=4

5、求取值范围

x2-x+113

例5已知x为实数，求证x?+l的值在亍和亍之间。

2

_X__-__X_+__1_,k

证明：设X?+1-—,则

(1-k)x2-x+1-k=0

因为x为实数，

所以A=—4k2+8k—3=—(2k—l)(2k—3)0

l<k<2

解得2--2

X2-X4-113

即x2+1的值在，和，之间。

6、解(证)几何最值或不等关系

例6半径为1的圆O内切于Rt^ABC,求证SAABC不小于3+2班。

解：如图，设NC=90。，RtZXABC的三边的长分别为a,b,c,

r__a__+_b__-_c__j

因为2

所以a+b=c+2

因为a?+b2=c2

所以(a+b)?-2ab=/

.(c+2)2-c2

ab=--------------=2c+2

即2

所以a,b为一元二次方程

x2-(c+2)x+2c+2=0的两实数根

于是△=c2-4c-4>0

解得c—2-2V2或c之2+2VJ

由c>0,得c之2+2

Sr=—ab=c+1

又AABPC2

所以SAABC23+272

即SMBC不小于3+271o

”的运算技巧

在初中数学竞赛的有理数运算中，经常碰到含省略号”......”的有理数计算问题，不少同学对这种题型的计算感到

无所适从，本文说明：可通过观察寻找规律，问题即迎刃而解，下面举例说明。

1.分组结合

例1计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9…-2004+2005

解：原式=(1+2-3)+(4+5-6)+…+(2002+2003-2004)+2005

(3+6+-+2001)+2005

667x(3+2001)+2005

2

=670339

2.化积约分

例2.计算」喝(局(局"1W)

3815360399

—X—X—XX-------X--

122222

解：原式2341920

132418201921

-X—X—X—X*"X—X—X——X—

223319192020

121

—x一

220

21

40

另解：由=缶+8)3-8),知

所以，原式•卜扑扑力…卜白卜款彳卜「那沙卜W

(34520211f1231819,

{2341920)(2341920」

211

=——x一

220

_21

~40

3.用奇偶性

例3计算：(1-2)(3-4)-(2005-2006)

=(-1)(-1)-(-1)

解：原式,确一

=(-严

=-1

例4.计算：(-1)+(-1)2+(于+…+(-1产

解：原式=T+1-1+1+…7+1=0

4.去绝对值相消

1,1111

例5,计算：23220062005

.11111

解：原式22320052006

2006

=2005

-2006

5.裂项相消

1111

----+-----+-----++------------

例6.计算：1x22x33x42005x2006

=1——+———+———+,,,+----------

解：原式2233420052006

2006

=2005

~2006

6.逆序相加

例7.计算：1+2+3+…+2006

解：设S=l+2+3+…+2006(1)

则S=2006+2005+2004+…+1(2)

由(1)+(2),得

2s=2007+2007+…+2007=2007x2006

2006

故$=2013021

2+Q+2hQ+2+5k...J132005

2006+2006++

例8.计算：2U4jU66){2006.

1+3135132005

s=-4+4—十—+—4-・••+++

解：设666200620062006.(1)

1

S=-+七+』+国叫+一+缺+些+•••+

（44）\666）120062006

则有2006(2)

由(1)+(2),得

2s=1+2+3+…+1003=10Q3X1004

2

所以S=251753

7.错位相减

例9,计算：2+2I2+23*6+­••+23006

解：设S=2+2?+2?+…+2迎6m

则有2s=22+23+…+22006+22007Q)

由(2)-(I),得2S-S=22007-2

即$=23307-2

8.整体换元

111III

1———_---•—______-+-+—+

例10.计算:,232005.234

2OO61

11

j

-05

解

设2O5

:

’5

r-1\

-/

-2006

则原式I

I/

AD

20062006

A+B

2006

1II1

1,2_+_1+•••+1

232005+2+342005

2006

1

~2006

9.逐级降次

例］1.计算：2_2?_23----23005+22006

解：原式=2耽6_2M05-22004-----22+2

22005(2-1)-220W-…-2?+2

22+2

=6

10.用运算律

I3+22+32+-+=-»(«+1)(2«+1)-“八

2

例12.已知：6，那么2?+4+6+—+50：

解：原式=(1X2)2+(2X2)2+(2X3)2+…+(2x2力a

=22x(l2+22+…+252)

=4x1x25x(25+1)(2x25+1)

6

=22100

11.公式运用

例13.计算：l2-22+32-42+-+20052-20062

解：原式=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+-+(2005-2006)(2005+2006)

=-(3+7+11+-+4011)

__(3+4011)xl033

2

=-2013021

12.凑整求和

例14.计算:19+299+3999+49999+•+899999999+9999999999

解：原式=(20-1)+(300-1)+(4000-1)+(50000-1)+-(10000000000-1)

=10000000000+900000000+80000000+7000000+-+20-9

=10987654320-9

=10987654311

练习：

1计算：1+2-3-4+5+6-7-8+-+2005+2006-2007-2008

1---111

------++-------+**,+-------------

2.计算：1x22x33x499x100

1233989

----+-----+-----+…+------

3.计算：1995199519951995

答案：

99

1.-20082.W03.3989

遇难转化走出困境

数学解题中有一种很重要的方法叫做变换法也称转化法。当你遇到的问题直接解答有困难，通过变换成其它形

式的等价命题较为简单，其实，整个解题过程就是将未知转向已知，这种思想方法匈牙利数学家P・罗莎打过比方：“假

设有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你怎么办？”当然是“先把壶灌上水，点燃煤气灶，把壶放

在灶上。”接着罗莎又问：“假设所有条件都不变，只是水壶中已有水，这时你怎么办？”回答简单：“点燃煤气灶，放

上水壶。”但罗莎指出这不是最好的回答。因为只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并声称：“我已

把后一问题转化为己知(前一)问题了。”

下面我们通过几个实例看看转化法的解题功能。

例］a=一2、万,b=，那么()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a<b

析解：直接比较很困难，通过等价变形再比较就容易了。

a=J(&-1尸=&-1=——,b=「1~~=•

因为VI+1有

又应+/>收+1

1<_1_

所以+>/2'万+1

即a>bo选Ao

例2已知吟一3,那么关于x的方程：x4_6x3_2(a_3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0的根为Xl=,

234

析解：若直接解此方程太麻烦。经观察可见原式左端是关于a的二次式，所以原方程可化为关于a的二次方程：

a2-2(x2-3x-l)a+(x4-6x3+6x2+8x)=0,则a=X，-4x或a=x?-2x-2。

因为aN—3,所以原方程的根为xg=2±JTT4x34=l±7a+Io

1111,

—卜一+-=------------=1

例3已知a、b、c是使等式abca+b+c成立的任意数，求证：a、b、c中至少有一个数为1。

析解：此题猛一看似乎无从下手，稍加分析可知，其问题可变更为求证G-D8-1)8-1)=°。

证明：由题设条件可知：

a+b+c=Labc=ab+be+ca

因为(a-l)(b-l)(c-l)=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1

所以(a-l)(b-l)(c-l)=。

故a、b、c中至少有一个为1。

例4甲、乙两车从A、B两地同时相向而行，相遇后甲车继续行驶4小时到达B地，乙车用9小时到达A地，求甲、

乙两车行驶完全程各用几小时？

析解：本题属较难的行程问题，我们可用相应的工程问题的思路加以解决。改述如下：

甲、乙二人合作某项工程，若干天后，甲再干4天，乙再干9天，这样正好完成，求甲、乙单独完成该项工程各需

几天？

11

设行驶完全程甲车要x小时，则乙车要(x+5)小时。它们每小时各走全程的1和壬，依题意，得

49,

xx+5

解得x=10(x=-2舍去)。

这是实行题型转化的典型例子，给我们以启迪。

总之，运用转化思想去解题可达到化难为易，变繁为简之目的。

从拆项入手巧妙解题

拆项是数学学习中一种重要的解题方法，它指的是把代数式中的某项有意识地分成两项或多项的和。对于某些

问题，尤其是竞赛试题，从拆项入手将问题转化，可化难为易、捷足先登。

一、计算问题

例1(长春市初一数学竞赛试题)计算：9999x9999+19999=。

解：原式二(9999x9999+9999)+10000

=9999x(9999+1)+10000

=10000x(9999+1)

=100000000

1।1।1|A1

++++

例2(天津市初二数学竞赛试题)计算：3X55X77x91997xl999o

15-37-59-7-1999-1997.

解：原式23x55x77x91997x1999，

ll1、AkAA/11M

rz­)+A+(--------------)]

235577919971999

1A1、998

=­(——----)=----

2*1999，5997

二、分解因式问题

例3(“祖冲之”杯初二数学竞赛试题)分解因式x4-7X?+1=.

解：原式=(x'+2x2+1)-9x2

=(x2+1)2-(3x)2

=(x2+3x+l)(x2-3x+1)

例4(重庆市初三数学竞赛试题)分解因式X3+2X2-5X-6。

解：原式=(X3+2X2+X)-(6X+6)

=X(X+1)2-6(x+1)

=(x+l)(x2+x-6)

=(x+l)(x-2)(x+3)

三、求值问题

例5(哈尔滨市初中数学竞赛试题)已知M+%-5=0,则@3+222-83+1994的值是()

A.1989B.1990C.1994D,1995

解：由@2+二一5=0得a?=5-3a

所以a，=5a-3a2

原式=(5a-3a2)+2a2-8a+1994

=-(a2+3a-5)+1989

=1989

应选A。

例6(“希望杯”初二数学竞赛试题)若n为正整数，且n'-ieM+lOO是质数，那么n的值为

解:原式=(n4+20、+100)-361?

=(n2+10)2-(6n)2

=(n2+6n+10)(n2-6n+10)

因为n，+6n+10>n2-6n+10

所以n2-6n+10=l

即有n?-6n+9=0,(n—3)2=0

所以n-3=0,n=3

2x2-9x+3+—=

2

例7(安徽省初中数学竞赛试题)设x2-5x+l=0,则x+l0

解：由/-5又+1=0得X?+1=5X

因为xrO

x2+11.

-----=5,x+—=5

所以XX

l=5-x

从而X

25

=2x-9x+3+—

原式5x

=2x2-9x+3+(5-x)

=(2x2-10x+2)+6

=2(x2-5x+1)+6

=6

四、比较大小问题

例8(河北省初中数学竞赛试题)若x=123456789x123456786,y=123456788xl23456787,则x,y的大小关系是()

A.x=yB.x<yC.x>yD.难定

解：不难发现，

x-(123456788+1)x123456786-123456788x123456786+123456786

y=123456788x(123456786+1)

=123456788x123456786+123456788

所以x<y,应选B。

200120012002200220032003

a■----------1b■----------,c.---------

例9(“英才杯”初一数学竞赛试题)已知200220022003200320042004,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

20022002-1000110001

a-_________

解：2002200220022002

20032003-10001,10001

---------------------------=1―

2003200320032003

20042004-1000110001

c=1

2004200420042004

10001、10001、10001

因为20022002,,20042004

所以a<b<c,应选A。

五、方程问题

例10（江苏省初中数学竞赛试题）方程X+2x+9x+3x+8的解是,

解：已知方程化为

11_11

所以x+3x+2x+9x+8

一1一1

即有(x+3)(x+2)-(x+9)(x+8)

从而(x+3)(x+2)=(x+9)(x+8)

解之并检验，2。

14x2,

-------+5------=--------+1

例11(昆明市初中数学竞赛试题)解出方程x+1X2-4X-2的解是.

4x_22

解：注意到1-4x+2x-2

1,22、2.

-------+(--------+--------)=--------+1

所以x+1x+2x-2X-2

12

-------+---------=1

即有x+1x+2

整理为/=2

解之并检验，x=±E

六、最值问题

_3x2+3x+4

例12（“聪明杯”初三数学竞赛试题）7--x2+x+l的最大值是（）

/3之

A.3B.4C.4D.3

y_（3x：3x+3）+l3丁1

解：x2+X+1X+X+1

213

X+X+1=