2023年全国乙卷数学(文)真题(解析)

2023年高考全国乙卷数学（文）真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（

）A．1 B．2 C．QUOTE55 D．5【答案】C【分析】由题意首先化简QUOTE2+i2+2i3【详解】由题意可得QUOTE2+i2+2i3=2则QUOTE2+i2+2i3=2．设全集，集合，则（

）A．QUOTE0,2,4,6,80,2,4,6,8 B． C．QUOTE1,2,4,6,81,2,4,6,8 D．QUOTEUU【答案】A【分析】由题意可得QUOTE∁UN∁UN的值，然后计算QUOTEM∪∁UN【详解】由题意可得QUOTE∁UN=2,4,8∁UN=2,4,8，则QUOTEM∪∁U3．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（

）A．24B．26C．28D．30【答案】D【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体QUOTEABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中，QUOTEAB=BC=2AB=BC=2，，点QUOTEH,I,J,KH,I,J,K为所在棱上靠近点QUOTEB1,C1,D1,A1B1,C1,D1,A1的三等分点，

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：QUOTE2×2×2+4×故选：D.4．在QUOTE△ABC△ABC中，内角的对边分别是QUOTEa,b,ca,b,c，若QUOTEacosB-bcosA=cacosB-bcosA=c，且QUOTEC=π5A．QUOTEπ10π10 B．QUOTEπ5π5 C．QUOTE3π103π10 D．QUOTE2π52π5【答案】C【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得QUOTE∠A∠A的值，最后利用三角形内角和定理可得QUOTE∠A∠A的值.【详解】由题意结合正弦定理可得QUOTEsinAcosB-sinB即QUOTEsinAcosB-sinB整理可得QUOTEsinBcosA=0sinBcosA=0，由于QUOTEB∈0,πB∈0,π，故QUOTEsin据此可得QUOTEcosA=0,A=π2cos则QUOTEB=π-A-C=π-π5．已知QUOTEf(x)=xexeax-1f(x)=xexeax-1A．QUOTE-2-2 B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为QUOTEfx=xexeax-1fx=xexeax-1为偶函数，则QUOTEfx-f-x=xexeax-1--xe则QUOTEx=a-1xx=a-1x，即QUOTE1=a-11=a-1，解得QUOTEa=2a=2.故选：D.6．正方形QUOTEABCDABCD的边长是2，QUOTEEE是QUOTEABAB的中点，则QUOTEEC⋅ED=EC⋅ED=（

）A．QUOTE55 B．3 C．QUOTE2525 D．5【答案】B【分析】方法一：以QUOTEAB,ADAB,AD为基底向量表示QUOTEEC,EDEC,ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求QUOTEcos∠DECcos【详解】方法一：以QUOTEAB,ADAB,AD为基底向量，可知QUOTEAB=AD=2,AB⋅则QUOTEEC=EB+BC=1所以QUOTEEC⋅ED=12AB方法二：如图，以QUOTEAA为坐标原点建立平面直角坐标系，则QUOTEE1,0,C2,2,D0,2E1,0,C2,2,D0,2，可得QUOTE所以QUOTEEC⋅ED=-1+4=3EC方法三：由题意可得：QUOTEED=EC=5,CD=2ED=EC=5,CD=2在QUOTE△CDE△CDE中，由余弦定理可得QUOTEcos∠DEC=DE2+CE2-所以QUOTEEC⋅ED=ECEDcos7．设O为平面坐标系的坐标原点，在区域QUOTEx,y1≤x2+y2≤4x,y1≤x2+y2≤4内随机取一点，记该点为A，则直线OAA．QUOTE1818 B．QUOTE1616 C．QUOTE1414 D．QUOTE1212【答案】C【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域QUOTEx,y|1≤x2+y2≤4x,y|1≤x2+y2≤4表示以QUOTEO0,0O0,0圆心，外圆半径QUOTER=2R=2，内圆半径QUOTEr=1则直线QUOTEOAOA的倾斜角不大于QUOTEπ4π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角QUOTE∠MON=π4∠MON=π4，结合对称性可得所求概率QUOTEP=3π×143π=8．函数存在3个零点，则QUOTEaa的取值范围是（

）A． B． C．QUOTE-4,-1-4,-1 D．QUOTE-3,0-3,0【答案】B【分析】写出QUOTEf'(x)=3x2+a【详解】QUOTEf(x)=x3+ax+2f(x)=x3+ax+2，则QUOTEf'(x)=3x2+af'(x)=3x2+a，若QUOTEfxfx要存在3个零点，则QUOTEfxfx要存在极大值和极小值，则QUOTEa<0a<0，令QUOTEf'(x)=3x2+a=0f'(x)=3x2+a=0，解得QUOTEx=--a3且当QUOTEx∈-∞,--a3∪-a3,+∞x∈-∞,--a3∪-a3,+∞时，QUOTEf'(x)>0f'(x)>0，当QUOTEx∈--a故QUOTEfxfx的极大值为QUOTEf--a3f--a3，极小值为QUOTEf-a3f-a3，若QUOTEfxfx要存在3个零点，则QUOTEf--a3>0f-a3<0f--a3>0f-a3<09．某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（

）A．QUOTE5656 B．C．QUOTE1212 D．乙甲1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)【答案】A【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有QUOTE(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率QUOTEP=3036=56P=303610．已知函数QUOTEf(x)=sin(ωx+φ)f(x)=sin(ωx+φ)在区间QUOTEπ6,2π3π6,2π3单调递增，直线QUOTEx=π6x=π6和QUOTEx=2π3x=2π3为函数的图像的两条相邻对称轴，则QUOTEA．QUOTE-32-32 B．QUOTE-12-12 C．QUOTE1212 D．QUOTE3232【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入QUOTEx=-5π12x=-【详解】因为QUOTEf(x)=sin(ωx+φ)f(x)=sin(ωx+φ)在区间QUOTEπ6,2π所以QUOTET2=2π3-π6=π2T2=2π3-π6=π2，且QUOTEω>0ω>0，则QUOTET=π当QUOTEx=π6x=π6时，QUOTEfxfx取得最小值，则QUOTE2⋅π6+φ=2kπ-π22⋅π6+φ=2kπ-π2，QUOTE则QUOTEφ=2kπ-5π6φ=2kπ-5π6，QUOTEk∈Zk∈Z，不妨取QUOTEk=0k=0，则QUOTEfx=sin2x-5π6fx=则QUOTEf-5π12=sin-11．已知实数QUOTEx,yx,y满足QUOTEx2+y2-4x-2y-4=0x2+y2-4x-2y-4=0，则QUOTEx-yxA．QUOTE1+3221+322 B．4 C．QUOTE1+321+32【答案】C【分析】法一：令QUOTEx-y=kx-y=k，利用判别式法即可；法二：通过整理得QUOTEx-22+y-12=9x-22+y-12=9，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设QUOTEx-y=k【详解】法一：令QUOTEx-y=kx-y=k，则QUOTEx=k+yx=k+y，代入原式化简得QUOTE2y2+2k-6y+k2-4k-4=02y2+2k-6y+k2-4k-4=0，因为存在实数QUOTEyy，则QUOTEΔ≥0化简得QUOTEk2-2k-17≤0k2-2k-17≤0，解得QUOTE1-32≤k≤1+321-32≤k法二：QUOTEx2+y2-4x-2y-4=0x2+y2-4x-2y-4=0，整理得QUOTE令QUOTEx=3cosθ+2x=3cosθ+2，QUOTEy=3sinθ+1y=3sinθ+1，其中QUOTEθ则QUOTEx-y=3cosθ-3QUOTE∵θ∈0,2π∵θ∈0,2π，所以QUOTEθ+π4∈π4,9π4θ+π4∈π4,9π4，则QUOTEθ+π4=2πθ+π4=2π，即QUOTEθ=7π法三：由QUOTEx2+y2-4x-2y-4=0x2+y2-4x-2y-4=0可得QUOTE设QUOTEx-y=kx-y=k，则圆心到直线QUOTEx-y=kx-y=k的距离QUOTEd=|2-1-k|2≤3d=|2-解得QUOTE1-32≤k≤12．设A，B为双曲线QUOTEx2-y29=1x2-A．QUOTE1,11,1 B．QUOTE-1,2-1,2 C．QUOTE1,31,3 D．QUOTE-1,-4-1,-4【答案】D【分析】根据点差法分析可得QUOTEkAB⋅k=9kAB【详解】设，则QUOTEABAB的中点，可得QUOTEkAB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2kAB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，因为QUOTEA,BA,B在双曲线上，则QUOTEx对于选项B：可得QUOTEk=-2,kAB=-92k=-2,kAB=-92，则QUOTE联立方程QUOTEy=-92x-52x2-y29=1y=-92此时QUOTEΔ=2×452-4所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得QUOTEk=3,kAB=3k=3,kAB=3，则QUOTEAB:y=3xAB:y=3x由双曲线方程可得QUOTEa=1,b=3a=1,b=3，则QUOTEAB:y=3xAB:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：QUOTEk=4,kAB=94k=4,kAB=94，则QUOTE联立方程QUOTEy=94x-74x2-y29=1y=94此时QUOTEΔ=1262+4×63×193>0故选：D.二、填空题13．已知点QUOTEA1,5A1,5在抛物线C：QUOTEy2=2pxy2=2px上，则A到C的准线的距离为【答案】QUOTE9494【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为QUOTEx=-54x=-54，最后利用点的坐标和准线方程计算点QUOTEAA到QUOTECC的准线的距离即可.【详解】由题意可得：QUOTE52=2p×152=2p×1，则QUOTE2p=52p=5，抛物线的方程为QUOTEy2=5xy2=5x，准线方程为QUOTEx=-54x=-54，点QUOTEAA到QUOTECC的准线的距离为QUOTE1--54=941--54=94.故答案为：QUOTE914．若，则QUOTEsinθ-cosθ=sinθ【答案】QUOTE-55-5【分析】根据同角三角关系求QUOTEsinθsinθ，进而可得结果.【详解】因为QUOTEθ∈0,π2θ∈0,π2，则QUOTEsinθ>0,cosθ>0sinθ>0,cosθ>0，又因为QUOTEtanθ=sinθcosθ=12tanθ=sinθcosθ=12，则，且QUOTEcos2θ+sin2θ故答案为：QUOTE-55-5515．若x，y满足约束条件QUOTEx-3y≤-1x+2y≤93x+y≥7x-3y≤-1x+2y≤93x+y≥7，则QUOTEz=2x-yz=2x-y的最大值为【答案】8【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：QUOTEz=2x-yz=2x-y，移项得QUOTEy=2x-zy=2x-z，联立有QUOTEx-3y=-1x+2y=9x-3y=-1x+2y=9，解得QUOTEx=5y=2x=5y=2，设QUOTEA5,2A5,2，显然平移直线QUOTEy=2xy=2x使其经过点QUOTEAA，此时截距QUOTE-z-z最小，则QUOTEzz最大，代入得QUOTEz=8z=8，故答案为：8.

16．已知点QUOTES,A,B,CS,A,B,C均在半径为2的球面上，QUOTE△ABC△ABC是边长为3的等边三角形，QUOTESA⊥SA⊥平面QUOTEABCABC，则QUOTESA=SA=．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥QUOTES-ABCS-ABC转化为正三棱柱QUOTESMN-ABCSMN-ABC，设QUOTE△ABC△ABC的外接圆圆心为QUOTEO1O1，半径为QUOTErr，则QUOTE2r=ABsin∠ACB=332=232r=ABsin∠ACB=332=23，可得设三棱锥QUOTES-ABCS-ABC的外接球球心为QUOTEOO，连接QUOTEOA,OO1OA,OO1，则QUOTEOA=2,OO1=12SAOA=2,OO1=12SA，因为QUOTEOA2=OO12+O1A2OA2=OO1【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．三、解答题17．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为QUOTExixi，QUOTEyii=1,2,⋅⋅⋅,10yi试验序号12345678910伸缩率QUOTExixi545533551522575544541568596548伸缩率QUOTEyiyi536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为QUOTEzz，样本方差为QUOTEs2s2．(1)求QUOTEzz，QUOTEs2s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果QUOTEz≥2s210【答案】(1)QUOTEz=11z=11，；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出QUOTEx,yx,y，再得到所有的QUOTEzizi值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出QUOTE2s2102s210的值，和QUOTEzz比较大小即可.【详解】（1）QUOTEx=545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3xQUOTEy=536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3yQUOTEz=x-y=552.3-QUOTEzi=xi-yiz（2）由（1）知:QUOTEz=11z=11，，故有QUOTEz≥2s210z≥所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18．记QUOTESnSn为等差数列QUOTEanan的前QUOTEnn项和，已知．(1)求QUOTEanan的通项公式；(2)求数列QUOTEanan的前QUOTEnn项和QUOTETnTn．【答案】(1)QUOTEan=15-2n(2)QUOTETn=14n-n【分析】（1）根据题意列式求解QUOTEa1,da1,d（2）先求QUOTESnSn，讨论QUOTEanan的符号去绝对值，结合QUOTESnSn运算求解.【详解】（1）设等差数列的公差为QUOTEdd，由题意可得QUOTEa2=a1+d=11S10=10a1+10×92d=40a2=a1+d=11S所以QUOTEan=13-2n-（2）因为QUOTESn=n13+15-2n令QUOTEan=15-2n>0an=15-2n>0，解得QUOTEn<152n<152，且QUOTEn∈N*当QUOTEn≤7n≤7时，则QUOTEan>0an>0，可得QUOTETn=a1+a2+当QUOTEn≥8n≥8时，则QUOTEan<0an<0，可得QUOTETn=a1+a2QUOTE=S7-Sn-综上所述：QUOTETn=14n-n219．如图，在三棱锥QUOTEP-ABCP-ABC中，QUOTEAB⊥BCAB⊥BC，QUOTEAB=2AB=2，，QUOTEPB=PC=6PB=PC=6，的中点分别为QUOTED,E,OD,E,O，点QUOTEFF在QUOTEACAC上，QUOTEBF⊥AOBF⊥AO．(1)求证：QUOTEEFEF//平面QUOTEADOADO；(2)若QUOTE∠POF=120°∠POF=120°，求三棱锥QUOTEP-ABCP-ABC的体积．【答案】(1)证明见解析(2)QUOTE26326【分析】（1）根据给定条件，证明四边形QUOTEODEFODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）作出并证明QUOTEPMPM为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.【详解】（1）连接QUOTEDE,OFDE,OF，设，则，QUOTEAO=-BA+12BCAO=-BA+12BC，QUOTEBF⊥AOBF⊥AO，则QUOTEBF⋅AO=[(1-t)BA+tBC]⋅(-BA+12BC)=(t-1)BA2+12tBC2于是QUOTEDE//AB,DE=12AB,OF//AB,OF=12ABDE//AB,DE=12AB,OF//AB,OF=12AB则四边形QUOTEODEFODEF为平行四边形，QUOTEEF//DO,EF=DOEF//DO,EF=DO，又QUOTEEF⊄EF⊄平面平面QUOTEADOADO，所以QUOTEEF//EF//平面QUOTEADOADO.（2）过QUOTEPP作QUOTEPMPM垂直QUOTEFOFO的延长线交于点QUOTEMM，因为QUOTEPB=PC,OPB=PC,O是QUOTEBCBC中点，所以QUOTEPO⊥BCPO⊥BC，在QUOTERt△PBORt△PBO中，QUOTEPB=6,BO=12BC=所以QUOTEPO=PB2-OB因为QUOTEAB⊥BC,OF//ABAB⊥BC,OF//AB所以QUOTEOF⊥BCOF⊥BC，又QUOTEPO∩OF=OPO∩OF=O，QUOTEPO,OF⊂PO,OF⊂平面QUOTEPOFPOF，所以QUOTEBC⊥BC⊥平面QUOTEPOFPOF，又QUOTEPM⊂PM⊂平面QUOTEPOFPOF，所以QUOTEBC⊥PMBC⊥PM，又QUOTEBC∩FM=OBC∩FM=O，QUOTEBC,FM⊂BC,FM⊂平面QUOTEABCABC，所以QUOTEPM⊥PM⊥平面QUOTEABCABC，即三棱锥QUOTEP-ABCP-ABC的高为QUOTEPMPM，因为QUOTE∠POF=120°∠POF=120°，所以QUOTE∠POM=60°∠POM=60°，所以QUOTEPM=POsin60°=2×又QUOTES△ABC=12AB所以QUOTEVP-ABC=1320．已知函数．(1)当QUOTEa=-1a=-1时，求曲线在点QUOTE1,fx1,fx处的切线方程．(2)若函数QUOTEfxfx在QUOTE0,+∞0,+∞单调递增，求QUOTEaa的取值范围．【答案】(1)QUOTEln2x+y-ln2=0ln2x+y-ln2=0【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即QUOTEf'x≥0f'x≥0在区间QUOTE0,+∞0,+∞上恒成立，整理变形可得QUOTEgx=ax2+x-x+1lnx+1≥0gx=ax2+x-x+1lnx+1≥0在区间QUOTE0,+∞0,+∞上恒成立，然后分类讨论QUOTEa≤0,a≥12【详解】（1）当QUOTEa=-1a=-1时，QUOTEfx=1x-1lnx+1x>则QUOTEf'x=-1x2×lnx+1+1x-所以函数在QUOTE1,f11,f1处的切线方程为QUOTEy-0=-ln2x-1y-0=-ln2x-1，即QUOTEln2x+y-ln（2）由函数的解析式可得QUOTEf'x=-1x满足题意时QUOTEf'x≥0f'x≥0在区间QUOTE0,+∞0,+令QUOTE-1x2lnx+1+1x+a1x+1≥0-令QUOTEgx=ax2+x-x+1lnx+1gx=ax2+x-x+1lnx+1，原问题等价于QUOTEgx则QUOTEg'x=2ax-lnx+1g'x=2ax-lnx+1，当QUOTEa≤0a≤0时，由于QUOTE2ax≤0,lnx+1>02ax≤0,lnx+1>0，故QUOTEg'x<0g'x<0，QUOTEgxgx在区间QUOTE0,+∞0,+令QUOTEhx=g'x=2ax-lnx+1hx=g'当QUOTEa≥12a≥12，QUOTE2a≥12a≥1时，由于QUOTE1x+1<11x+1<1，所以QUOTEh'x>0,hxh'x>0,hx在区间QUOTE0,+即QUOTEg'xg'x在区间QUOTE0,+∞0,+∞上单调递增，所以QUOTEg'x>g'0=0g'x>g'0=0，QUOTEgxgx在区间QUOTE0,+∞0,+∞上单调递增，QUOTE当QUOTE0<a<120<a<12时，由QUOTEh'x=2a-1x+1=0h'x=2a-1x+1当QUOTEx∈0,12a-1x∈0,12a-1时，QUOTEh'x<0,hxh'x<0,hx在区间QUOTE0,12a注意到，故当QUOTEx∈0,12a-1x∈0,12a-1时，QUOTEg'x<g'0=0g'由于QUOTEg0=0g0=0，故当QUOTEx∈0,12a-1x∈0,12a-1时，QUOTEg综上可知：实数QUOTEaa得取值范围是QUOTEa|a≥12a|a≥12.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间QUOTEa,ba,b上单调，实际上就是在该区间上QUOTEf'x≥0f'x≥0(或QUOTEf'x≤0f②函数在区间QUOTEa,ba,b上存在单调区间，实际上就是QUOTEf'x≥0f'x≥0(或QUOTEf'x≤0f21．已知椭圆QUOTEC:y2a2+x2b2=1(a>b>0)C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率是QUOTE5353，点(1)求QUOTECC的方程；(2)过点QUOTE-2,3-2,3的直线交QUOTECC于QUOTEP,QP,Q两点，直线QUOTEAP,AQAP,AQ与QUOTEyy轴的交点分别为QUOTEM,NM,N，证明：线段QUOTEMNMN的中点为定点．【答案】(1)QUOTEy29+x24【分析】（1）根据题意列式求解QUOTEa,b,ca,b,c，进而可得结果；（2）设直线的方程，进而可求点QUOTEM,NM,N的坐标，结合韦达定理验证QUOTEyM+yN2yM+y【详解】（1）由题意可得QUOTEb=2a2=b2+c2e=ca=53b=2a2=b2+（2）由题意可知：直线的斜率存在，设QUOTEPQ:y=kx+2+3,Px1,y1联立方程QUOTEy=kx+2+3y29+x24=1y=kx+2+3y2则QUOTEΔ=64k22k+32-644k2+9k2+3k=-1728k>0可得QUOTEx1+x2=-8k2k+34k2+9,x1x2=16k2+3k4k2+9x1+x2=-8k2k+34k2+9,x1x2=16k2+3k4k2+9则QUOTE2y1x1+2+=2kx1x2+4k+3x所以线段QUOTEMNMN的中点是定点QUOTE0,30,3.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．22．在直角坐标系QUOTExOyxOy中，以坐标原点QUOTEOO为极点，QUOTExx轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线QUOTEC1C1的极坐标方程为QUOTEρ=2sinθπ4≤θ≤π2ρ=2sinθπ4≤θ≤π2，曲线QUOTEC2C2：QUOTEx=2cosαy=2sinαx=2cosαy=2sinα（QUOTEαα为参数，QUOTEπ2<α<π(1)写出QUOTEC1C1的直角坐标方程；(2)若直线QUOTEy=x+my=x+m既与QUOTEC1C1没有公共点，也与QUOTEC2C2没有公共点，求QUOTEmm的取值范围.【答案】(1)QUOTEx2+y-12=1,x∈0,1,y∈1,2【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意QUOTEx,yx,y的取值范围；（2）根据曲线QUOTEC1,C2C1,C2的方程，结合图形通过平移直线QUOTEy=x+m【详解】（1）因为QUOTEρ=2sin