人教A版高中数学必修第二册8.6.3平面与平面垂直第1课时课时评价作业（三十七）含答案

A级基础巩固1.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β解析:因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β.因为m⊂α,所以由面面垂直的判定定理,知α⊥β.答案:C2.若从二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A.相等B.互补C.互余D.无法确定解析:如图所示,BD,CD分别为AB,AC所在平面与α,β的交线,则∠BDC为二面角α-l-β的平面角,且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠A+∠BDC=180°.答案:B3.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则()A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:因为BC⊥AD,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD.因为AD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.答案:D4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有3对.解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.5.如图所示,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=12AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小解:因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC.因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.在Rt△ACD中,AC=12AD,所以∠ADC=所以平面ABD与平面BCD所成的二面角为30°.B级能力提升6.(2022·全国乙卷,理)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D解析:如图,对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,从而EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,所以由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故选项C错误;对于选项D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面A1C1D与平面B1EF不平行,故选项D错误.故选A.答案:A7.如图所示,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是34解析:如图所示,作AO⊥β于点O,过点O作OC⊥l于点C,连接OB,AC,由线面垂直、线线垂直可得AC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,所以sinθ=AOAB=ACAB·AOAC=sin30°·sin60°8.(2024·广东韶关期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,E,F分别为棱A1C1,BC的中点.(1)求证:C1F∥平面ABE;(2)求证:平面ABE⊥平面BCC1B1;(3)若AB=BC=AA1=2,求二面角E-AB-C的余弦值.(1)证明:如图,取AB的中点M,因为F为棱BC的中点,所以MF∥AC,MF=12AC.又AC∥A1C1,AC=A1C1,E为A1C1的中点,所以MF∥EC1,MF=EC1.所以四边形MFC1E是平行四边形,所以ME∥C1F.又C1F⊄平面ABE,ME⊂平面ABE,所以C1F∥平面(2)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC,所以BB1⊥AB.又AB⊥BC,BB1∩BC=B,BB1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,所以AB⊥平面BCC1B1.又AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面BCC1B1.(3)解:如图,取AC的中点G,连接EG,因为M为AB的中点,所以MG∥BC.又AB⊥BC,所以MG⊥AB,又由直三棱柱的几何特征可得EG⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC,所以EG⊥AB.又MG∩EG=G,MG⊂平面EMG,EG⊂平面EMG,所以AB⊥平面EMG,又EM⊂平面EMG,所以AB⊥EM,所以二面角E-AB-C的平面角为∠EMG.因为AB=BC=AA1=2,所以MG=1,EG=2.在Rt△EGM中,ME=EG2+MG2=22+12=5,所以cos∠C级挑战创新9.多选题如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=BC=33,PA=PB=PC=5,D,E,F分别为AB,AC,BC的中点,则以下结论正确的是()A.平面PDE⊥平面ABCB.平面PAF⊥平面ABCC.AB∥平面PFED.三棱锥P-ABC的外接球表面积为2π解析:如图,对于A,设AF与DE的交点为M,连接PM,则AF和DE垂直,若平面PDE⊥平面ABC,那么根据面面垂直的性质定理,必有AF⊥平面PDE,此时须有AM⊥PM成立,又因为M是AF的中点,此时须有PA=PF成立,上式显然不成立,所以A不正确;对于B,由于AC=AB,PC=PB,因此AF⊥BC且PF⊥BC,又AF∩PF=F,AF,PF⊂平面PAF,故BC⊥平面PAF,而BC⊂平面ABC,所以平面PAF⊥平面ABC,所以B正确;对于C,由于EF∥AB,EF⊂平面PEF,AB⊄平面PEF,因此AB∥平面PFE,所以C正确;对于D,作PN⊥平面ABC,垂足为N,则N为等边三角形ABC的重心,所以AN=3,PN=4,设三棱锥P-ABC的外接球球心为O,则O在PN上,连接AO,设三棱锥P-ABC的外接球半径为R,则在△AON中,R2=(4-R)2+32,解得R=258,因此其外接球表面积为625π16,所以D不正确.答案:BC10.(2023·全国乙卷,理)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,AD=5DO,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO.(1)证明:EF∥平面ADO;(2)证明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.(1)证明:连接OF,DE,由题可知,|AC|=23,设AF=λAC,所以AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=4,则BF·AO=(λAC-AB)·12AB+1=λ2|AC|2-12|AB|2+12λ-12AB=8λ-4=0,解得λ=12,所以OF∥AB,OF=1而DE∥AB,DE=12AB所以DE∥OF,DE=OF,所以四边形ODEF为平行四边形,所以EF∥OD.因为OD⊂平面ADO,EF⊄平面ADO,所以EF∥平面ADO.(2)证明:因为AO=AB2+OB2AD=5OD,所以AD2=AO2+OD2,即AO⊥OD,AO⊥EF.因为BF⊥AO,BF∩