人教A版高中数学必修第二册8.3.1课时评价作业（二十七）含答案

A级基础巩固1.若某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为()A.22 B.20 C.10 D.11解析:所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.答案:A2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是()161312D.1解析:三棱锥D1-ACD的体积V=13S△ACD×D1D=13×12×1×1×1答案:A3.如图,下面几何体是放倒的直四棱柱,高为2,底面是上底为2,下底为4,高为2的梯形,则该四棱柱的体积为()A.8 B.12 C.16 D.20解析:因为直四棱柱的高为2,底面是上底为2,下底为4,高为2的梯形,所以体积V=Sh=12×(2+4)×2×2=12.故选B答案:B4.(2023·新高考全国Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为28.解析:如图所示,根据题意易知△SO1A1∽△SOA,所以SO1SO=O1A1OA=222=所以OO1=3,又上、下底面正方形边长分别为2,4,所以所得棱台的体积为13×(4+16+4×16)×3=285.如图所示,某几何体的下半部分为正方体ABCD-A'B'C'D',上半部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体的高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为12.解析:V正方体=23=8,V四棱锥S-ABCD=13×22×(5-2)=4.所以该几何体的体积V=V正方体+V四棱锥S-ABCD=126.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.解:已知长方体可以看成直四棱柱,设它的底面ADD1A1的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而棱锥C-A1DD1的底面积为12S,高为h故V棱锥C-A1DD1余下部分的体积为Sh-16Sh=5所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.B级能力提升7.(2023·新高考全国Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,则该棱台的体积为76解析:如图,设正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面中心分别为M,N,过A1作A1H⊥AC,垂足为点H,由题意易知A1M=HN=22,又AN=2,所以AH=AN-HN=22.又AA1=2,所以A1H=MN=62,所以该四棱台的体积为13×(1+4+1×4)×8.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则V1V2解析:如图所示,设点C到平面PAB的距离为h,三角形PAB的面积为S,则V2=13Sh,V1=V棱锥E-ADB=13×12S×12h=112Sh9.有位油漆工用一把滚筒刷(刷子呈圆柱形,长度为50cm,横截面半径为10cm)给一块面积为10m2的木板涂油漆,且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进,则油漆工完成任务所需的时间是多少?(精确到0.01s)解:由题意可知,圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积,50cm=0.5m,10cm=0.1m.因为圆柱的侧面积为S侧=2π×0.1×0.5=0.1π(m2),且圆柱形刷子以每秒5周的速度匀速滚动,所以圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5πm2.所以油漆工完成任务所需的时间t=100.5π=20πC级挑战创新10.开放性问题现有一个棱长为1的正方体礼品盒,需要买一张正方形彩纸将其完全包住,请你设计一个方案,在不将彩纸撕开的情况下,所买彩纸费用最少(注:彩纸按面积收费).解:如图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的