中考数学二轮复习讲练测题型九 二次函数综合题 类型八 二次函数与平行四边形有关的问题（专题训练）（解析版）

题型九二次函数综合题类型八二次函数与平行四边形有关的问题（专题训练）1.（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ=，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，∴B（4，0），C（0，4），设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，∴抛物线的解析式为：；（2）∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），∴PQ=-x+4-()==，∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，∴此时，PQ=CO，又∵PQ∥CO，∴四边形OCPQ是平行四边形；（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，由（2）得：Q（2，-2），∵D是OC的中点，∴D（0，2），∵QN∥y轴，∴，又∵，∴，∴，∴，即：，设E（x，），则，解得：，（舍去），∴E（5，4），设F（0，y），则，，，①当BF=EF时，，解得：，②当BF=BE时，，解得：或，③当EF=BE时，，无解，综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）．．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．2.（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD平移个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）8；（3）或或，过程见解析【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PE∥y轴交直线AD于E，设P（m，m2-3m-4），用m表示出△APD的面积即可求出最大面积；

（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分DE为对角线、EG为对角线、EF为对角线三种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-4得，解得：，∴该抛物线的解析式为y=x2-3x-4，（2）把x=0代入y=x2-3x-4中得：y=-4，

∴C（0，-4），抛物线y=x2-3x-4的对称轴l为

∵点D与点C关于直线l对称，

∴D（3，-4），

∵A（-1，0），设直线AD的解析式为y=kx+b；

∴，解得：，∴直线AD的函数关系式为：y=-x-1，

设P（m，m2-3m-4），

作PE∥y轴交直线AD于E，

∴E（m，-m-1），

∴PE=-m-1-（m2-3m-4）=-m2+2m+3，∴，∴，∴当m=1时，的面积最大，最大值为：8（3）∵直线AD的函数关系式为：y=-x-1，∴直线AD与x轴正方向夹角为45°，∴抛物线沿射线AD方向平移平移个单位，相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵，，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），

设平移后的抛物线的解析式为则，解得：，∴平移后y1=x2-11x+20，∴抛物线y1的对称轴为：，∵P（1，-6），

∴E（5，-10），∵以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：设G（n，n2-11n+20），F（，y），①当DE为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴，∴∴②当EF为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴，∴∴③当EG为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴，∴∴∴或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．3.（2022·四川眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．(1)求点的坐标；(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)最大为(3)存在，的坐标为或（3，-16）或【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；（2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．(1)（1）∵点在抛物线的图象上，∴∴，∴点的坐标为；(2)过作于点，过点作轴交于点，如图：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴当最大时，最大，设直线解析式为，将代入得，∴，∴直线解析式为，设，，则，∴，∵，∴当时，最大为，∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；(3)存在．∵∴抛物线的对称轴为直线，设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴点M的坐标为（3，-16）②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，方法同①可得，，∴∴点M的坐标为（-7，-16）；③当AC为对角线时，如图，∵A（-5，0），C（0，5），∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）∴，解得，。∴∴点M的坐标为（-3，8）综上，点的坐标为：或（3，-16）或．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．4.（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．【答案】（1）；（2）t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为，点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P，其中0<t<4，则E，证明△PDE∽△AOC，根据周长之比等于相似比可得，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，1）当MN∥AB时；2）当NM∥AB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可．【详解】解（1）∵抛物线经过点A（0，﹣1），点B（4，1），∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为；（2）∵A（0，-1），B（4，1），∴直线AB的函数表达式为，∴C（2，0），设P，其中0<t<4，∵点E在直线上，PE∥x轴，∴E，∠OCA=∠DEP，∴PE=，∵PD⊥AB，∴∠EDP=∠COA，∴△PDE∽△AOC，∵AO=1，OC=2，∴AC=，∴△AOC的周长为3+，令△PDE的周长为l，则，∴，∴当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线．①若AB是平行四边形的对角线，当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，即MN经过AB的中点C（2，0），∵点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，-4）；②若AB是平行四边形的边，1）MN∥AB时，四边形ABNM是平行四边形，∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，12）；2）当NM∥AB时，四边形ABMN是平行四边形，∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2+4=6，∴点M的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点睛】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．5.（2021·湖北中考真题）抛物线交轴于，两点（在的左边）．（1）的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴右侧的抛物线上．①如图（1），若点的坐标是，点的横坐标是，直接写出点，的坐标；②如图（2），若点在抛物线上，且的面积是12，求点的坐标；（2）如图（3），是原点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点，若直线与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值．【答案】（1）①，；②点的坐标是．（2）见解析【分析】（1）①根据函数图象与x轴的交点，令y=0，求出，点E在抛物线上，求出纵坐标为，再根据平行四边形的性质，求出；②连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为，设点坐标为，点坐标为，根据平行四边形的性质，与点在抛物线上，得到，再由则，列出方程求解；（2）方法一：先求出G、H两点的横坐标，再利用求解即可；方法二：先用待定系数法求出直线与直线l的表达式，根据直线l与抛物线有唯一的交点，求出点坐标为，点坐标为，再求出结果．【详解】（1）解：①∵抛物线交轴于，两点（在的左边），∴令=0，解得：，，∴，∵点E在抛物线上，点的横坐标是，∴，∵四边形ACDE是平行四边形，∴∴；②设点坐标为，点坐标为．∵四边形是平行四边形，∴将沿平移可与重合，点坐标为．∵点在抛物线上，∴．解得，，所以．连，过点作轴垂线，垂足为，过点作，垂足为．则，∵，，∴．∴，解得，（不合题意，舍去）．∴点的坐标是．（2）方法一：证明：依题意，得，，∴设直线解析式为，则，解得．∴直线的解析式为．同理，直线的解析式为．设直线的解析式为．联立，消去得．∵直线与抛物线只有一个公共点，∴，．联立，且，解得，，同理，得．∵，两点关于轴对称，∴．∴．∴的值为．方法二：证明：同方法一得直线的解析式为．设直线的解析式为，与抛物线唯一公共点为．联立，消去得，∴．解得．∴直线的解析式为．联立，且，解得．∴点坐标为．同理，点坐标为．∵，∴．∴的值为．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数、一次函数、三角形面积、方程组等知识点，解题的关键是学会利用参数，学会用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会把问题转化为方程解决，属于压轴题．6.（2021·广东中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，或或或【分析】（1）令，解得，可得函数必过，再结合必过得出，，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式．（2）结合（1）求出点C的坐标，设，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：（1）令，解得，当时，，∴必过，又∵必过，∴，∴，即，即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方∴，有两个相等的实数根∴，∴，∴，∴，，∴．（2）由（1）可知：，，设，①当为对角线时，∴，解得（舍），，∴，即．②当为对角线时，∴，解得（舍），∴，即．③当为对角线时，∴，解得，∴或，∴．综上所述：N点坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．7.（2021·四川中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大．求出点P的坐标（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q．使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）【分析】（1）根据OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断出四边形BACP的面积最大时，△BPC的最大面积，过点P作y轴的平行线交BC于点H，求出直线BC的表达式，设点P（x，-x2-2x+3），利用三角形面积公式S△BPC=，即可求出S△BPC面积最小时点P的坐标；（3）分类讨论，一是当BP为平行四边形对角线时，二是当BP为平行四边形一边时，利用平移规律即可求出点Q的坐标．【详解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=，∴，即，解得：OA=1，OC=OB=3，∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，则，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）如图，四边形PBAC的面积=△BCA的面积+△PBC的面积，而△ABC的面积是定值，故四边形PBAC的面积最大，只需要△BPC的最大面积即可，过点P作y轴的平行线交BC于点H，∵B（-3，0），C（0，3），设直线BC的表达式为y=mx+n，则，解得：，∴直线BC的表达式为y=x+3，设点P（x，-x2-2x+3），则点H（x，x+3），S△BPC===，∵，故S有最大值，即四边形PBAC的面积有最大值，此时x=，代入得，∴P（，）；（3）若BP为平行四边形的对角线，则PQ∥BM，PQ=BM，则P、Q关于直线x=-1对称，∴Q（，）；若BP为平行四边形的边，如图，QP∥BM，QP=BM，同上可得：Q（，）；如图，BQ∥PM，BQ=PM，∵点Q的纵坐标为，代入中，解得：或（舍），∴点Q的坐标为（，）；如图，BP∥QM，BP=QM，∵点Q的纵坐标为，代入中，解得：（舍）或，∴点Q的坐标为（，）；综上：点Q的坐标为（，）或（，）或（，）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8.（2021·湖南中考真题）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或．【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可；（2）由（1）及题意易得，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解；（3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以AC为平行四边形的边时，②当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：，解得：，∴抛物线的表达式为，即为；（2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有，∴，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=∠ACO=45°，∵，∴∠AED=∠CAO=45°，∴∠AED=∠PEF=45°，∵，∴△PEF是等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，如图所示：

∴，∴，∴要使面积最大则PE的值为最大即可，设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：，解得：，∴直线AC的解析式为，设点，则，∴，∵-1＜0，开口向下，∴当时，PE有最大值，即为，∴△PEF面积的最大值为；（3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，抛物线的对称轴为直线，∴，∠CAO=∠ADQ=45°，①当以AC为平行四边形的边时，如图所示：

过点P作PG⊥l于点G，∵四边形APQC是平行四边形，∴，AC∥PQ，∴∠ADQ=∠PQG=45°，∴△PQG是等腰直角三角形，∴，∴点P的横坐标为-4，∴；②当以AC为平行四边形的边时，如图所示：

同理①可得点P的横坐标为2，∴；③当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：

∵四边形AQCP是平行四边形，∴，设点，∴由中点坐标公式可得：，∴，∴；综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．9.（2021·海南中考真题）已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为、点C的坐标为．

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P，求的面积；（3）如图2，有两动点在的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线按方向向终点B运动，点E沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，的面积等于；②在点运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接得到的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．【答案】（1）；（2）的面积为；（3）①当或时，；②点F的坐标为或．【分析】（1）直接将两点坐标代入解析式中求出a和c的值即可；（2）先求出顶点和B点坐标，再利用割补法，将所求三角形面积转化为与其相关的图形的面积的和差关系即可，如图，；（3）①先求出BC的长和E点坐标，再分两种情况讨论，当点D在线段上运动时的情况和当点D在线段上运动情况，利用面积已知得到关于t的一元二次方程，解t即可；②分别讨论当点D在线段上运动时的情况和当点D在线段上的情况，利用平行四边形的性质和平移的知识表示出F点的坐标，再代入抛物线解析式中计算即可．【详解】（1）∵抛物线经过两点，解得该地物线的函数表达式为（2）∵抛物线，∴抛物线的顶点P的坐标为．，令，解得：，点的坐标为．如图4-1，连接，则的面积为．（3）①∵在中，．当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动．，∴在中，．当运动时间为t秒时，，如图4-2，过点E作轴，垂足为N，则．．．∴点E的坐标为．下面分两种情形讨论：i．当点D在线段上运动时，．此时，点D的坐标为．当时，．解得（舍去），．．ii．如图4-3，当点D在线段上运动时，，．．当时，解得．又，．综上所述，当或时，②如图4-4，当点D在线段上运动时，；∵，当四边形ADFE为平行四边形时，AE可通过平移得到EF，∵A到D横坐标加1，纵坐标加，∴，∴，化简得：，∴，∴，∴;如图4-5，当点D在线段上运动时，AE可通过平移得到EF，∵，∵A到D横坐标加，纵坐标不变，∴，∴∴，因为，∴，∴，综上可得，F点的坐标为或．【点睛】本题综合考查了抛物线的图像与性质、相似三角形的判定与性质、已知顶点坐标求三角形面积、平行四边形的判定与性质、平移的性质、勾股定理等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，本题对学生的综合思维能力、分析能力以及对学生的计算能力都要求较高，考查了学生利用平面直角坐标系解决问题的能力，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．10.（2020•齐齐哈尔）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为），cos∠ABO＝；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：12×16−4b+c=01故直线AB的表达式为：y=12x（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；则∠ABO＝45°，故cos∠ABO=2对于y=12xOP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或则yPyC=1故点P（﹣2，2）或（0，4）；故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；22（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，点A′（4，0），设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则4k+b=0−2k+b=−2，解得k=故直线A′M的表达式为：y=13x令x＝0，则y=−43，故点Q（0，（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②当AC是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故点N（﹣2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．11.（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝2，即12（2）求出点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，而四边形PBCQ为平行四边形，则PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，即可求解．【解析】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），故抛物线的对称轴为x＝2，即12故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，∵四边形PBCQ为平行四边形，∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）＝2，|x1+x2﹣4|＝1．∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3，由x2−x由x2−x12.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−2，0），直线BC的解析式为y=−（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝ax2﹣22a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=（2）四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）直线BC的解析式为y=−23x+2，令y＝0，则x＝3故点B、C的坐标分别为（32，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝a（x2﹣22x﹣6）＝ax2﹣22即﹣6a＝2，解得：a=1故抛物线的表达式为：y=−13x2+2（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=−23（x+2联立①②并解得：x＝42，故点D（42，−10由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−2当x＝32时，yBC=−23x+2＝﹣2，即点H（3设点E（x，−13x2+2则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH=12×（−13x2+22∵−22＜0，故S有最大值，当x=322时，S的最大值为（3）存在，理由：y=−13x2+223x+2=−13（x−2则新抛物线的表达式为：y=−13x2点A、E的坐标分别为（−2，0）、（322，52）；设点M（2，m），点N（n，s），s=−①当AE是平行四边形的边时，点A向右平移522个单位向上平移52个单位得到E，同样点M（N）向右平移5即2±52则s=−13n2+8故点N的坐标为（722，−112）或（②当AE是平行四边形的对角线时，由中点公式得：−2+322s=−13n2故点N的坐标（−22，综上点N的坐标为：（722，−112）或（−32213.（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．（1）如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC【分析】（1）①先确定出点C的坐标，再用待定系数法即可得出结论；②先确定出抛物线的顶点坐标，进而得出DF=b24，再判断出△（2）先判断出抛物线的顶点坐标D（﹣1，c+1），设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），判断出△AFD≌△BCO（AAS），得出AF＝BC，DF＝OC，再判断出△ANF∽△AMC，得出ANAM=FNCM=AFAC=BCDN=94，FN=9【解析】（1）①∵AC∥x轴，点A（﹣2，1），∴C（0，1），将点A（﹣2，1），C（0，1）代入抛物线解析式中，得−4−2b+c=1c=1∴b=−2c=1∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F，∵AC∥x轴，∴EF＝OC＝c，∵点D是抛物线的顶点坐标，∴D（b2，c+∴DF＝DE﹣EF＝c+b24∵四边形AOBD是平行四边形，∴AD＝BO，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∵∠AFD＝∠BCO＝90°，∴△AFD≌△BCO（AAS），∴DF＝OC，∴b2即b2＝4c；（2）如图2，∵b＝﹣2．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，∴顶点坐标D（﹣1，c+1），假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F，∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，∵四边形AOBD是平行四边形，∴AD＝BO，AD∥OB，∴∠DAF＝∠OBC，∴△AFD≌△BCO（AAS），∴AF＝BC，DF＝OC，过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N，∴DE∥CO，∴△ANF∽△AMC，∴ANAM∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，∴−m−1−m∴m=−5∴点A的纵坐标为﹣（−52）2﹣2×（−5∵AM∥x轴，∴点M的坐标为（0，c−54），N（﹣1，c∴CM＝c﹣（c−54）∵点D的坐标为（﹣1，c+1），∴DN＝（c+1）﹣（c−54）∵DF＝OC＝c，∴FN＝DN﹣DF=9∵FNCM∴94∴c=3∴c−5∴点A纵坐标为14∴A（−52，∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．14.（2020•黔东南州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC=10设点E（0，m），则AE=m∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE时，10=∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），∴E（0，3），②当AC＝CE时，10=∴m＝﹣3±10，∴E（0，﹣3+10）或（0，﹣3−③当AE＝CE时，m2∴m=−4∴E（0，−4即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+10）、（0，﹣3−10）、（0，（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+22或t＝1﹣22，∴Q（1+22，4）或（1﹣22，4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴点P的横坐标为（1+22）﹣2＝﹣1+22或（1﹣22）﹣2＝﹣1﹣22，即P（﹣1+22，0）、Q（1+22，4）或P（﹣1﹣22，0）、Q（1﹣22，4）．15.（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），把点C坐标代入解析式，可求解；（2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求S△ABD=1（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴顶点M的坐标为（2，﹣2），∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，∴点N（2，2），设直线AN解析式为：y＝kx+b，由题意可得：0=k+b2=2k+b解得：k=2b=−2∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，联立方程组得：y=2x−2y=2x解得：x1=1y∴点D（4，6），∴S△ABD=1设点E（m，2m﹣2），∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，∴S△ABE=13S△ABD＝2或S△ABE=23∴12×2×（2m﹣2）＝2或∴m＝2或3，∴点E（2，2）或（3，4）；（3）若AD为平行四边形的边，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD＝PQ，∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；若AD为平行四边形的对角线，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD与PQ互相平分，∴xA∴xP＝3，∴点P坐标为（3，0），综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．16.（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可．（3）分两种情形：①PA为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为±2，求出点M的坐标即可解决问题．②当AP为平行四边形的对角线时，点M″的横坐标为﹣4，求出点M″的坐标即可解决问题．【解析】（1）由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），∴c=3−1+b+c=0解得b=−2c=3∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），∵B（0，3），C（1，0），∴OA＝OB＝3OC＝1，AB＝32，∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，∴△PAO∽△CAB，∴APAC∴AP4∴AP＝22．（3）由（2）可知，P（﹣1，2），AP＝22，①当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或﹣2，∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），②当AP为平行四边形的对角线时，点N″的横坐标为﹣4，∴N″（﹣4，﹣5），综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．17.（2020•聊城）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可（2）证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE=154，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则PFCE【解析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，得：0=a−b+40=16a+4b+4解得：a=−1b=3∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得：4=n0=4m+n解得：m=−1n=4∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x−32）2∴点D的坐标为：（32，25将x=32代入y＝﹣x+4，即y=−3∴点E的坐标为：（32，5∴DE=25设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t=15解得：t1=32（不合题意舍去），t2当t=52时，﹣t2+3t+4＝﹣（52）2+3×∴点P的坐标为（52，21（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴PFCE∵C（0，4）、E（32，5∴CE=(由（2）得：DE=154，PF＝﹣t∴CF=t∴−t∵t≠0，∴154解得：t=16当t=165时，﹣t2+3t+4＝﹣（165）2+3×∴点P的坐标为：（165，8418.（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）如图2中，设P（t，14t2【解析】（1）把点A（﹣3，94）代入y＝ax2得到94∴a=1∴抛物线的解析式为y=14x（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有94解得k=−1∴直线l的解析式为y=−12x令x＝0，得到y=3∴C（0，34由y=14x2y=−∴B（1，14如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，∴BMMC=M∴BMMC即MC2＝MA•MB．（3）如图2中，设P（t，14t2∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，∴PD∥OC，PD＝OC，∴D（t，−12t∴|14t2﹣（−12t+整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，解得t＝﹣1−7或﹣1+∴P（﹣1−7，2+72）或（﹣1+19.（2020·辽宁铁岭?中考真题）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上存在点，使，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点的坐标为，点在抛物线上，点在直线上，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．【答案】（1）；（2）点坐标为；（3），【解析】【分析】（1）将A、C点坐标分别代入抛物线中，联立即可求得a和c的值，从而求出抛物线解析式；（2）过点作轴交抛物线于点，则，过点作交抛物线于点，设，借助，即可求得t的值，从而求得D点坐标；（3）先求出直线BC的解析式，设，分DF为边和DF为对角线两种情况讨论，表示出M点坐标，代入抛物线中求得n的值，即可得出N点坐标．【详解】解：（1）：抛物线经过点，解得∴抛物线的解析式为（2）过点作轴交抛物线于点，则过点作交抛物线于点过点作于点，则设点的横坐标为，则∵点是与轴的交点，解得的坐标为，解得（舍去），∴点的纵坐标为：则点坐标为（3）设直线BC的解析式为：，将C（0,3），B（4，0）分别代入得，，解得，∴直线BC的解析式为：，设，①当FD为平行四边形的边时，如图，当N点在M点左侧时，则即整理得，即,故，解得：，此时；同理当N点在M点右侧时可得，故，解得，此时；①当FD为平行四边形的对角线时，则,即故，整理得，该方程无解．综上所述：，．【点睛】本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函数与平行四边形问题．（1）中直接代入点的坐标即可，难度不大；（2）中能正确作辅助线，构造相似三角形是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键，需注意平行四边形对边平行且相等，可借助这一点结合图象表示M点坐标．20.（2020·四川绵阳?中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1（2）（，）；（