2025年春八年级下册数学北师版教学课件 1.4 第2课时 三角形三条内角的平分线

新知一览等腰三角形三角形的证明线段的垂直平分线角平分线直角三角形三角形三条内角的平分线角平分线1.4角平分线第一章三角形的证明第2课时三角形三条内角的平分线活动1

分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？结论：三角形的三条角平分线相交于一点.活动2

分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.你能证明以上两个结论吗？已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.证明结论D

E

F

A

B

C

P

N

M

三角形的内角平分线1∴点

P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，同理

PE=

PF.∴PD=PE=PF.即∠A的平分线经过点P.D

E

F

A

B

C

P

N

M

证明：BM

是△ABC

的角平分线，点

P在

BM

上，且

PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为D，E，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.归纳总结例1

如图，在△ABC

中，已知

AC

=

BC，∠C

=

90°，AD

是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，垂足为

E.(1)如果

CD

=

4

cm，求AC

的长；EDABC解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为

E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC，∴∠B=∠BAC.∵∠C

=

90°，∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰Rt△BDE中，(2)求证：AB＝AC＋CD.证明：由(1)的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE.∵BE＝DE＝CD，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.EDABC例2

如图，在直角△ABC

中，AC

=

BC，∠C

=90°，AP

平分∠BAC，BD

平分∠ABC；AP，BD

交于点

O，过点

O

作

OM⊥AC，若

OM＝4，(1)点

O

到△ABC

三边的距离和为

.MABCPOD温馨提示：不存在垂线段——构造应用12EN解：如图，过点

O

作

OE⊥AB

于点

E，ON⊥BC

于点

N，连接

OC.(2)若

△ABC

的周长为

32，求

△ABC

的面积.MENABCPOD例3

如图，在△ABC

中，点

O

是△ABC

内一点，且点

O

到△ABC

三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC

的度数为

()A．110°

B．120°

C．130°

D．140°A解析：O

到△ABC

三边的距离相等，所以

O

是内心，即三条角平分线的交点，故BO，CO

都是内角平分线，则∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°

－

70°＝110°.三角形内角平分线的性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等应用：位置的选择问题1.如图，已知

△ABC，求作一点

P，使

P

到∠A的两边的距离相等，且

PA＝PB．下列确定

P

点的方法正确的是(

)A.P为∠A，∠B两角平分线的交点B.P为∠A的平分线与

AB

的垂直平分线的交点C.P为

AC，AB

两边上的高的交点D.P为

AC，AB两边的垂直平分线的交点B2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，

∠CBE=∠ABE，且

AC=6cm，

那么AE+DE=

cm.CABED63.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(

)A.△ABC

的三条中线的交点B.△ABC三边的垂直平分线的交点C.△ABC

三条角平分线的交点D.△ABC

三条高所在直线的交点C4.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于

E，F在

AC上，BD=DF.求证：CF=EB.证明：∵

AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C

=90°(已知)，∴CD＝DE(角平分线的性质).在Rt△CDF和Rt△EDB中，

CD=ED(已证)，

DF=DB(已知)，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB(