高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义2.3.3直线与圆的位置关系(4知识点+7题型+巩固训练)(学生版+解析)

2.3.3直线与圆的位置关系课程标准学习目标1.理解直线与圆的三种位置关系:2.能根据方程判断直线与圆的位置关系;3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。1.重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。2.难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。知识点01直线与圆的位置关系直线Ax＋By＋C0与圆(x－a)2＋(y－b)2r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离deq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rdrd＞r代数法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C0，,（x－a）2＋（y－b）2r2))消元得到一元二次方程根的判别式ΔΔ＞0Δ0Δ＜0图形【即学即练1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直线y=x+1A．相切 B．相交但直线过圆心C．相交但直线不过圆心 D．相离【即学即练2】(多选)（22-23高二上·甘肃金昌·期末）下列直线中，与圆x2A．x+y=2 B．3x+y知识点02圆的切线1.过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0yr2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.=3\*GB3③过圆x2＋y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0yr2.2.过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.【即学即练3】（23-24高三上·湖北武汉·期末）若点A0,1在圆C:x−12【即学即练4】（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆x2+y2知识点03切线长1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即beq\f(2ar,d).【即学即练5】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点A2,3作圆M:xA．3 B．23 C．7 D．【即学即练6】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值=．知识点04圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长eq\f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L2eq\r(r2－d2).(2)代数法：若直线ykx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|eq\r(1＋k2)|x1－x2|eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆C:x−22【即学即练8】（22-23高二上·河北保定·期末）直线l:x−y+1=0与圆CA．3 B．2 C．22 D．难点：最值问题示例1：（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x=4−A．17＋2，17－2 B．17＋2，5C．37，17－2 D．37，5【题型1：直线与圆有关的位置关系】例1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线mx−y+1=0A． B．C． D．变式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆C:(xA．直线l恒过定点2,1 B．直线l与圆C相切C．直线l与圆C相交 D．直线l与圆C相离变式2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线x−3yA．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点变式3.（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设直线l:x−2A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能变式4．（2007高二·全国·竞赛）直线y=33A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点变式5.（10-11高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线ax+by−1=0与圆xA．P在圆外 B．P在圆上C．P在圆内 D．P与圆的位置不确定变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线l:mx+ny−A．若点P在圆C外，则直线l与圆C相离 B．若点P在圆C内，则直线l与圆C相交C．若点P在圆C上，则直线l与圆C相切 D．若点P在直线l上，则直线l与圆C相切变式7．（2024·四川泸州·三模）动直线l：mx+y−2m−1=0【方法技巧与总结】一.直线与圆相交的性质，如图，直线l与圆C相交与A,B，半径为r，弦AB的中点为D，则点C到直线l的距离d=|CD，称为弦心距；CD⊥l;||AD|2二.直线与圆相切的性质如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则（1）CP⊥l；（2）点C到直线l的距离d=|CP|=r；（3）切点P在直线l上，也在圆上.【题型2：由直线与圆的位置关系求参数】例2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：xa+ya=1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线y=x+b与曲线A．−1<b≤1 C．−2<b≤−1 变式2．（2024·全国·模拟预测）若直线mx+ny=1A．m2+nC．m2+n变式3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线y=k(A．−33,C．−33,0变式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐标系xOy中，A2,0，B0,2，且圆M是以(1)求圆M的标准方程；(2)若直线y=kx+2与圆M变式5.（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为−sin3,cos3，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（

）A．3 B．π-3 C．3π−62 D．变式6.（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）过点P−2,4作圆O:(x−2)2+(y−1)2A．4 B．2 C．85 D．变式7.（2024高三·全国·专题练习）设过点P(0,−5)与圆C:xA．19 B．459 C．−【题型3：圆的切线问题】例3．（2024高三·全国·专题练习）圆C:x−12+变式1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C:x−12+y变式2.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点P在圆(x−5)2+(y−5)2变式3.（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C的方程为：(x(1)过点P(1,3)作圆的切线，求切线l(2)已知圆C上有2个点到直线l：x+变式4.（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点A3,5且与圆O(2)求圆心在直线3x−y=0上，与x轴相切，且被直线变式5.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)(1)求圆C的标准方程；(2)求过点B(−1,0)且与圆C变式6.（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）实数x,y满足(xA．−7,1 B．[−1,7]C．(−∞,−7]∪1,+∞ D．变式7.(多选)（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：y=x+A．直线l的倾斜角为πB．圆C的圆心坐标为（1，0）C．当m=D．当m∈(−【方法技巧与总结】1.过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0yr2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.=3\*GB3③过圆x2＋y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0yr2.2.过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.【题型4：弦长问题】例4．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线y=x+1A．3 B．22 C．7 D．变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x2A．2 B．2 C．22 D．变式2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x−22+A．1 B．2 C．23 D．变式3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x−2A．6 B．7 C．8 D．9变式4．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点P−13,23，圆A．3x−6y−5=0 B．3x−6变式5．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线l:ax+y−A．3x+y+1=0 B．x+2y变式6．（21-22高二下·全国·期末）设M是圆C：x+22+y2=16上的动点，A．4 B．5 C．6 D．16变式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线l:y=kx+1与⊙C:xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【方法技巧与总结】解决有关弦长问题的常用方法及结论几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|2eq\r(r2－d2)代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k0时，|AB||xA－xB|；当斜率不存在时，|AB||yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用【题型5：与圆有关的对称问题】例5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆C:x2+yA．2 B．3 C．6 D．4变式1．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆x2+y2−ax+2y+1=0与圆x2+A．x2+4xC．y2−2x变式2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过直线y=2x−1上的一点P作圆C:(x+2)2+A．22 B．23 C．4 变式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆x2+y2+2A．−3 B．1 C．−1 D．3变式4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）过直线y=3x上的点P作圆C:(x+2)2+(A．35,95 B．65,变式5.（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆x2−4x+y2−2y变式6.（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆x2+y2+2①圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心是−1,2；②圆变式7.（23-24高二下·上海·期中）已知直线l:2x+(1)求直线l与圆C相交所得的弦长；(2)求圆C关于直线l对称所得的圆的方程．【题型6：点与圆有关的最值问题】例6．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点Px,y在圆x2+变式1.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点Px,y是圆C:xA．2 B．4 C．6 D．8变式2.（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线x−1=4−yA．17+2，17−2 B．17C．37，17−2 D．37，变式3.（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A−3,0,B1,0,A．34 B．40 C．44 D．48变式4.（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）在Rt△AOB中，∠BOA=90°，OA=8，OB=6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点变式5.（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点A1,1和B2,−2，且圆心C在直线(1)求圆心为C的圆的一般方程；(2)已知P2,1，Q为圆C上的点，求PQ变式6.（2023高二上·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程x−22+变式7.（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的半径为2，且圆心在直线y=x上，点A2,4在圆C上，点B(1)求圆C的圆心坐标；(2)若点D在圆C上，求BD的最大值与最小值.【方法技巧与总结】圆上的点到直接距离最值:1.把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r2.利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离3.判断位置关系【题型7：直线与圆有关的最值问题】例7．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆O:x2A．0,22−1 C．0,22+1 变式1．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，记d为点Pcosθ，sinθ到直线kx−A．2 B．3 C．4 D．6变式2.（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆C：x−32+y−42=1，直线2x−y−12=0上点P，过点P作圆C的两条切线PA变式3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆C1：x2+y2−10x+4y+25=0与圆C2：x2+y2A．22+3 B．3−22 C．6变式4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆O:x2+yA．直线l1，lB．直线l1与圆OC．直线l2与圆O截得弦长为D．l变式5．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数a,b满足a2+b变式6．（2023·江西上饶·模拟预测）直线2x⋅sinθ+y变式7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知直线x−y+m=0与圆C:x2+一、单选题1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为1,2，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（

）A．x2+yC．x2+y2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线ax+by+1=0与圆xA．与a有关，与b有关 B．与a有关，与b无关C．与a无关，与b有关 D．与a无关，与b无关3．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线x+y+2=0与圆MA．2 B．4 C．22 4．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆C:x2A．2 B．2 C．22 5．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆C:(x−aA．12 B．1 C．326．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知直线l:3x+y−1=0与圆A．π2 B．2π3 C．3π47．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线l:mx+ny−1=0圆xA．3 B．2 C．22 8．（23-24高二上·上海·期末）已知圆C:x2+y2−2xA．−13 B．13 二、多选题9．（24-25高二上·广西·开学考试）对于直线l:m−2A．l过定点(2,3)B．C的半径为9C．l与C可能相切D．l被C截得的弦长最小值为210．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知直线x+y−4=0与圆O：xA．1 B．2 C．3 D．411．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线l:y=A．直线l过定点1,0B．直线l与圆C恒相交C．直线l被圆C截得的弦长最短为4D．若直线l被圆C截得的弦长为14，则k三、填空题12．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆C与直线y=−x及x+y−4=0相切，圆心在直线y（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点Px,y在圆x214．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若直线l与单位圆和曲线x24−y2四、解答题15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知关于x,y的方程C：(1)当m为何值时，方程C表示圆；(2)若圆C与直线l:x+2y−4=0相交于M16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆C的圆心在直线2x−y=0上，且与(1)求圆C的方程；(2)若圆C直线l:x−y+m=0从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：|AB条件③：∠ACB17．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为83的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12x−9(1)求圆C的标准方程．(2)若Mx,y(3)已知A0,−1，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点18．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：(1)已知以点A−1，2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7＝0相切，过点B−2,0的动直线(2)以C4,−3为圆心的圆与圆x2+19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：x2+y(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；(2)若定点P1,1分弦AB为AP2.3.3直线与圆的位置关系课程标准学习目标1.理解直线与圆的三种位置关系:2.能根据方程判断直线与圆的位置关系;3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。1.重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。2.难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。知识点01直线与圆的位置关系直线Ax＋By＋C0与圆(x－a)2＋(y－b)2r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离deq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rdrd＞r代数法：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C0，,（x－a）2＋（y－b）2r2))消元得到一元二次方程根的判别式ΔΔ＞0Δ0Δ＜0图形【即学即练1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直线y=x+1A．相切 B．相交但直线过圆心C．相交但直线不过圆心 D．相离【答案】D【分析】利用圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断直线与圆的位置关系.【详解】圆x2+y2=1故圆心到直线y=x+1的距离为1所以直线y=x+1.【即学即练2】(多选)（22-23高二上·甘肃金昌·期末）下列直线中，与圆x2A．x+y=2 B．3x+y【答案】CC【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可.【详解】圆x2+y2=4对于选项A，圆心到直线的距离d=对于选项B，圆心到直线的距离d=对于选项C，圆心到直线的距离d=对于选项D，圆心到直线的距离d=C.知识点02圆的切线1.过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0yr2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.=3\*GB3③过圆x2＋y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0yr2.2.过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.【即学即练3】（23-24高三上·湖北武汉·期末）若点A0,1在圆C:x−12【答案】y【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解.【详解】因为点A0,1在圆C所以过A的圆的切线方程和AC垂直，因为A0,1，C1,0，所以kAC所以切线方程为y=1×x−0故答案为：y【即学即练4】（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆x2+y2【答案】y【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.【详解】由题知，kOP=−1，则切线斜率所以切线方程为y−22故答案为：y知识点03切线长1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即beq\f(2ar,d).【即学即练5】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点A2,3作圆M:xA．3 B．23 C．7 D．【答案】C【分析】先求得圆M的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得AB的值.【详解】因为圆M:所以圆M的圆心为M(0,0)，半径为r因为AB与圆M相切，切点为B，所以AB⊥BM，则因为AM=所以AB=.【即学即练6】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值=．【答案】d知识点04圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长eq\f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L2eq\r(r2－d2).(2)代数法：若直线ykx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|eq\r(1＋k2)|x1－x2|eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆C:x−22【答案】14【分析】根据直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求解.【详解】解：由题意可得，圆心为2,0，半径r弦心距d=故直线l被C截得的弦长为2r故答案为：14【即学即练8】（22-23高二上·河北保定·期末）直线l:x−y+1=0与圆CA．3 B．2 C．22 D．【答案】C【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心C(1,0)作CD⊥AB于D，分别计算|CD|【详解】如图，由圆C:x2+y2−2过点C(1,0)作CD⊥AB于D，由C(1,0)到直线则|AB故△AOB的面积为1.难点：最值问题示例1：（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x=4−A．17＋2，17－2 B．17＋2，5C．37，17－2 D．37，5【答案】D【分析】由题意可得曲线1−x=4−y2表示的图形为以A【详解】由1−x=4−y2且有(x−1)2B

又因为x2+(又因为|PA所以x2+(当动点与图中C(1,−2)点重合时，x2+．【题型1：直线与圆有关的位置关系】例1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线mx−y+1=0A． B．C． D．【答案】D【分析】由圆的位置和直线所过定点，判断直线与圆的位置关系.【详解】圆x2+y2=2直线mx−y+1=0ABD选项都有可能，C选项不可能..变式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆C:(xA．直线l恒过定点2,1 B．直线l与圆C相切C．直线l与圆C相交 D．直线l与圆C相离【答案】D【分析】求出圆C的圆心和半径，直线l所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可.【详解】圆C:(x−2)2直线l:m(x−3)+因此点(3,1)在圆C内，直线l与圆C相交，ABD错误，C正确.变式2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线x−3yA．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点【答案】D【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心到直线l的距离与半径的关系判断作答.【详解】直线x−3y=0过原点，斜率为依题意，直线l的倾斜角为60°，斜率为3，而l过原点，因此直线l的方程为：y=3x而圆(x−2)2+y于是得圆心(2,0)到直线l的距离为23所以直线l与圆相切.变式3.（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设直线l:x−2A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能【答案】D【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，与半径比较即可判断求解．【详解】圆C:(x−1)2则圆心C到直线l的距离d=故直线l与圆C相离．．变式4．（2007高二·全国·竞赛）直线y=33A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点【答案】D【分析】先求出直线y=33【详解】直线y=33直线y=33旋转后的直线方程为y=则圆心2,0到直线的距离d=23∴直线与圆相切..变式5.（10-11高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线ax+by−1=0与圆xA．P在圆外 B．P在圆上C．P在圆内 D．P与圆的位置不确定【答案】A【分析】根据直线ax+by−1=0与圆x2+y2【详解】直线ax+by−1=0根据d=1a2+b2.变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线l:mx+ny−A．若点P在圆C外，则直线l与圆C相离 B．若点P在圆C内，则直线l与圆C相交C．若点P在圆C上，则直线l与圆C相切 D．若点P在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】AB【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.【详解】对于A，因为点Pm,n在圆C则圆心C0,0到直线l的距离为d所以直线l与圆C相交，故命题A是假命题；对于B，因为点Pm,n在圆C则圆心C0,0到直线l的距离为d所以直线l与圆C相离，故命题B是假命题；对于C，因为点Pm,n在圆C则圆心C0,0到直线l的距离为d所以直线l与圆C相切，故命题C是真命题；对于D，因为点Pm,n在直线l上，所以m则圆心C0,0到直线l的距离为d所以直线l与圆C相切，故命题D是真命题；B.变式7．（2024·四川泸州·三模）动直线l：mx+y−2m−1=0【答案】8【分析】求出直线所过定点A，判断定点A在圆内，数形结合知直线l截圆C所得弦长最小时，弦心距最大，此时CA⊥【详解】直线l:mx+所以直线l过定点A2,1，又圆C:x所以点A在圆C内部，AC=当CA垂直于直线l时，C到直线l的距离最大，此时弦长最小，所以直线l被圆C截得的弦长的最小值为226故答案为：8.【方法技巧与总结】一.直线与圆相交的性质，如图，直线l与圆C相交与A,B，半径为r，弦AB的中点为D，则点C到直线l的距离d=|CD，称为弦心距；CD⊥l;||AD|2二.直线与圆相切的性质如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则（1）CP⊥l；（2）点C到直线l的距离d=|CP|=r；（3）切点P在直线l上，也在圆上.【题型2：由直线与圆的位置关系求参数】例2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：xa+ya=1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】D【分析】根据给定条件，利用直线与圆的位置关系，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】圆C:(x−3)2由直线l:x+y−a=0(a≠0)所以“a=8变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线y=x+b与曲线A．−1<b≤1 C．−2<b≤−1 【答案】A【分析】画出直线y=x+【详解】曲线x=1−y2，整理得x2当直线y=x+则圆心(0,0)到直线y=x+可得b=−当直线y=x+b过如图，直线与曲线恰有1个交点，则−1<b≤1或.变式2．（2024·全国·模拟预测）若直线mx+ny=1A．m2+nC．m2+n【答案】A【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，进而可以列出不等式.【详解】x2+y2=1圆心(0,0)到直线mx+ny−1=0依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，所以1m2+.变式3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线y=k(A．−33,C．−33,0【答案】C【分析】根据题意，得到直线y=k(x+2)【详解】由直线y=k(又由曲线y=1−x作出曲线y=1−x因为直线y=k(又由2kk2若直线y=k(x+2)即实数k的取值范围为0,3.变式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐标系xOy中，A2,0，B0,2，且圆M是以(1)求圆M的标准方程；(2)若直线y=kx+2与圆M【答案】(1)x(2)1【分析】（1）由AB为直径，可知圆心M及半径，进而可得圆的方程；（2）根据直线与圆相切，结合点到直线的距离可得解.【详解】（1）由已知A2,0，B0,2，则半径r=所以圆的方程为x−1（2）由直线y=kx+2又直线与圆相切，可得d=k−1+2变式5.（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为−sin3,cos3，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（

）A．3 B．π-3 C．3π−62 D．【答案】A【分析】设圆心为C−sin3,cos3，即可求出kOC，从而得到【详解】设圆心为C−sin3,cos3，则k依题意kl⋅k又π2<3<π，所以直线变式6.（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）过点P−2,4作圆O:(x−2)2+(y−1)2A．4 B．2 C．85 D．【答案】A【分析】由点斜式求出直线l的方程，根据直线平行及两平行直线间的距离公式可得结果.【详解】由条件知点P−2,4在圆O上，所以直线OP的斜率为4−1−2−2=−34即直线l方程为y−4=43x+2直线l平行，∴b=3,∴直线m方程为4x−3y=0，则直线．变式7.（2024高三·全国·专题练习）设过点P(0,−5)与圆C:xA．19 B．459 C．−【答案】A【分析】解法1：如图，由题意确定圆心坐标和半径，求出sin∠APC,cos∠APC，由二倍角的余弦公式求出cos∠APB即可求解；解法2：如图，由题意确定圆心坐标和半径，利用余弦定理求出cos∠APB【详解】解法1：如图，圆x2+y则圆心C(2,0)，半径r=5，过点P(0,−5)作圆因为PC=3，则PA=PB则cos∠APB=cos2∠所以cosα.解法2：如图，圆x2+y2−4x−1=0过点P(0,−5)作圆C的切线，切点为A,B，连接AB因为PA且∠ACB=π−∠APB即4−4cos∠APB=5−5cos∠ACB即∠APB为钝角，且α为锐角，则cos.解法3：圆x2+y2−4x−1=0若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离d若切线斜率存在，则设切线方程为y=kx−则圆心到切线的距离d=2k所以tanα=k由sin2α+.【题型3：圆的切线问题】例3．（2024高三·全国·专题练习）圆C:x−12+【答案】x【分析】根据条件得到点P0,3在圆上，从而得到切线的斜率为【详解】因为圆C:x−12+易知点P0,3在圆上，又kCP故切线方程为y−3=故答案为：x−变式1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C:x−12+y【答案】x【分析】过圆x−a2+y【详解】由题意，切点弦AB所在直线的方程为2−1x−1+2故答案为：x变式2.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点P在圆(x−5)2+(y−5)2【答案】3【分析】找到当∠PBA【详解】设圆(x−5)2如图所示：当∠PBA最小时，PB与圆M相切，连接MP则PM⊥PB，|BM由勾股定理得|PB所以当∠PBA最小时，|故答案为：32变式3.（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C的方程为：(x(1)过点P(1,3)作圆的切线，求切线l(2)已知圆C上有2个点到直线l：x+【答案】(1)5x−12(2)∅【分析】（1）先判断点P(1,3)（2）先求临界位置，即分别求圆上有1个点到l的距离为1，圆上有3个点到l的距离为1，时m的值，取中间范围即圆上有2个点到l的距离为1.【详解】（1）由题可知圆心C(−1,0),因为(1+1)2所以P在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条.①当k存在时，设切线方程l：y−3=k(则圆心C到l的距离d|−k−k此时切线l：5x②当k不存在时，过点P(1,3)的直线方程为x圆心C(−1,0)到直线x所以直线x=1与圆(此时切线方程l：x=1综上：切线l的方程为：5x−12（2）圆心C(−1,0)到l的距离d|−1+2|当圆上有1个点到l的距离为1，则d当圆上有3个点到l的距离为1，则d=所以当圆上有2个点到l的距离为1，则|d所以1<d<3,即∴m的取值范围为∅变式4.（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点A3,5且与圆O(2)求圆心在直线3x−y=0上，与x轴相切，且被直线【答案】(1)x=3或(2)x2+2【分析】（1）先设出方程，然后将相切条件转化为距离条件，再用距离公式求解；（2）先设出方程，然后将弦长条件转化为距离条件，再用距离公式求解.【详解】（1）据点A3,5可设直线方程为sin圆O的方程可化为x−12+y−2从而−2sint所以4=−2sin得cost这就说明cost=0或tant=5（2）设所求圆的圆心坐标为Pt,3t，由于该圆与x所以该圆的方程是x−t2而该圆被直线x−y=0截得的弦长为27，故该圆圆心到直线所以−2t2=故所求的圆的方程为x2+2x变式5.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)(1)求圆C的标准方程；(2)求过点B(−1,0)且与圆C【答案】(1)((2)x=−1或【分析】（1）设圆心坐标为m,mm>0，根据点（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为y=【详解】（1）由圆C的圆心在直线y=x上，可设圆心C的坐标为又圆C的半径为2，点A(−1,1)在圆C上，有|解得m=−1（舍去）或m故圆C的标准方程为(x（2）①当切线的斜率不存在时，直线x=−1与圆C②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y=k(由题知|2k−1|k可得切线方程为−34x由①②知，过点B(−1,0)且与圆C相切的直线方程为x=−1或

变式6.（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）实数x,y满足(xA．−7,1 B．[−1,7]C．(−∞,−7]∪1,+∞ D．【答案】D【分析】根据题意，把y+2x转化为圆上的点P(【详解】由圆的方程(x−1)2+(又由y+2x=y−(−2)x−0当过点A(0,−2)与圆C相切时，此时y设y+2x=t，可得整理得t2+6t−7=0，解得结合图象，可得y+2x的取值范围是.变式7.(多选)（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：y=x+A．直线l的倾斜角为πB．圆C的圆心坐标为（1，0）C．当m=D．当m∈(−【答案】CCD【分析】根据直线l斜率和倾斜角的关系，即可判断A选项；将圆心求出，即可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出d=r，即可得出直线l与圆C的位置关系，即可判断C选项；利用点到直线的距离公式求出d<【详解】直线l：y=x+而圆C：x2+y2−2x=0当m=2−1设圆心C1,0到直线l的距离为d，则d所以直线l与圆C相切，故C正确；对于D项，圆C：x2+y2−2x=0因为直线l:y=即d=1−0+m所以当m∈(−CD.【方法技巧与总结】1.过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0yr2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.=3\*GB3③过圆x2＋y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0yr2.2.过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.【题型4：弦长问题】例4．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线y=x+1A．3 B．22 C．7 D．【答案】D【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.【详解】由圆的方程C:x−32+如图，切线长PA2=PC2−PC最小值为圆心C到直线y=x+1所以切线长PA的最小值22.

变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x2A．2 B．2 C．22 D．【答案】C【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案.【详解】由x2+y图中AB⊥MO，MB=3,MO=2，易知AB为所有经过坐标原点的弦中最短弦，AB=2.变式2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆x−22+A．1 B．2 C．23 D．【答案】D【分析】代入弦长公式，即可求解.【详解】圆心2,0到直线x−y−2+所以弦长l=2变式3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x−2A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数.【详解】由题设，圆C的圆心为(2,4)，且半径r=而2−22+1−42=9<10当直线l与2,1、(2,4)的连线垂直时，弦长最短为2r而最长弦长为圆的直径为210，故所有弦的弦长范围为[2,2所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为2,3,4,5,6，根据圆的对称性，弦长为3,4,5,6各有2条，弦长为2的只有1条，综上，共9条.变式4．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点P−13,23，圆A．3x−6y−5=0 B．3x−6【答案】C【分析】根据题意，由条件可得过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果．【详解】设经过圆C内一点P且被圆截得弦长最短的直线的斜率为k1，直线PC的斜率为k由题意得，k2因为k1⋅k所以圆C内一点P且被圆截得弦长最短的直线的方程为y−23．变式5．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线l:ax+y−A．3x+y+1=0 B．x+2y【答案】A【分析】直线l恒过定点D1,−2，可得D点在圆C内，可得当DC⊥l【详解】l:ax−1+y+2=0因为1−22+−2+12=2<9所以当DC⊥l时，弦设直线l的斜率为k，则k=−所以直线l的方程为y+2=−x−1.变式6．（21-22高二下·全国·期末）设M是圆C：x+22+y2=16上的动点，A．4 B．5 C．6 D．16【答案】A【分析】根据切线性质可得点N的轨迹方程为圆，再根据圆上的点到定点距离的最值方法求解即可.【详解】由题意得，圆心C−2,0又MN=25，∴即点N的轨迹方程为x+2∴点N到点4,8距离的最小值为4+22.变式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线l:y=kx+1与⊙C:xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用三角形的面积公式可得，当∠ACB=90°时，△ABC再由点到直线的距离公式求出k的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可.【详解】由⊙C:x−12又S△当且仅当∠ACB此时AB=由等面积可得点C到直线l的距离d=又点C到直线l的距离d=解得，k=±1因此“k=±1”是“△.【方法技巧与总结】解决有关弦长问题的常用方法及结论几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|2eq\r(r2－d2)代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k0时，|AB||xA－xB|；当斜率不存在时，|AB||yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用【题型5：与圆有关的对称问题】例5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆C:x2+yA．2 B．3 C．6 D．4【答案】A【分析】转化为直线l过圆心即2a【详解】因为圆C:x−2所以直线l过圆心2,3，即2a则1因为ab>0，且2a+3所以12当且仅当3b2a则12.变式1．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆x2+y2−ax+2y+1=0与圆x2+A．x2+4xC．y2−2x【答案】A【分析】由圆与圆的对称性可得a，再利用几何关系，求点P的轨迹方程.【详解】圆x2+y2−ax+2圆x2+y2=1由圆x2+y2−可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y=x−1上，所以−经检验，a=2满足题意，则点C的坐标为−2,2设圆心P为坐标为x,y，则(x即圆心P的轨迹方程为y2.变式2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过直线y=2x−1上的一点P作圆C:(x+2)2+A．22 B．23 C．4 【答案】A【分析】利用数形结合，结合对称性，即可确定点P的位置，即可求解.【详解】若直线l1,l2关于直线y=2则PC与y=2x−1垂直，所以PC等于圆心C即PC=变式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆x2+y2+2A．−3 B．1 C．−1 D．3【答案】A【分析】求出圆心并将其代入直线x−【详解】由x2+y则圆心坐标为−1,2，又因为圆x2+y故由圆的对称性可知：圆心−1,2在直线x−则t=.变式4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）过直线y=3x上的点P作圆C:(x+2)2+(A．35,95 B．65,【答案】D【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.【详解】圆C:(x直线l1,l2关于直线y=3所以直线CP的方程为y−4=−由x+3y−10=0y=3.变式5.（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆x2−4x+y2−2y【答案】92【分析】空1：由题意得直线2ax+y【详解】圆x2−4x+y由题意得：直线2ax+y所以4a+b=2，又所以1a+1b=1此时直线方程为23x+故答案为：92；2变式6.（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆x2+y2+2①圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心是−1,2；②圆【答案】①②③④【分析】根据圆的一般方程化为标准方程得出圆心和半径判断①②，再根据直线过圆心得出③，再结合换元应用二次函数值域判断④即可.【详解】对于①②，将圆的方程化为标准方程可得(x+1)2+(对于③，由已知可得，直线2ax−by+2=0经过圆心，所以2a对于④，由③知b=1−a，所以ab=a1−a=−故答案为：①②③④变式7.（23-24高二下·上海·期中）已知直线l:2x+(1)求直线l与圆C相交所得的弦长；(2)求圆C关于直线l对称所得的圆的方程．【答案】(1)8(2)x【分析】（1）根据题意，由点到直线的距离公式结合勾股定理代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由点关于直线对称，即可得到圆心M的坐标，即可得到结果.【详解】（1）设直线l:2x+y−2=0因为圆C:(x−1)2则圆心到直线l的距离为d=则AB=2所以直线l与圆C相交所得的弦长为85（2）设圆C关于直线l对称所得的圆为圆M，由题意可得圆心C与圆心M关于直线l对称，设圆心Mm,n，则n则M−35,6【题型6：点与圆有关的最值问题】例6．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点Px,y在圆x2+【答案】8−2【分析】利用(x−1)2+y2表示点(x,y【详解】因为x2+y圆心为(0,2)，半径为3，又(x−1)2+y圆心(0,2)与点(1,0)的距离为5，所以点(x,y)与点故(x−1)2故答案为：8−215变式1.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点Px,y是圆C:xA．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.【详解】圆C:x2+x2+y2表示点因为CO=所以x2+y.变式2.（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线x−1=4−yA．17+2，17−2 B．17C．37，17−2 D．37，【答案】C【分析】首先化简题给条件x−1=4−y2，得到其为以【详解】由x−1=4−y此方程表示的曲线为以A(1,0)则x2+y其最大值为PA+2，最小值为PB又B(1,2)，PB=1+4则x2+y−42变式3.（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知A−3,0,B1,0,A．34 B．40 C．44 D．48【答案】C【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得.【详解】设Px,=2x即PA2+PB2等价于点又PQ≥即PA2.变式4.（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）在Rt△AOB中，∠BOA=90°，OA=8，OB=6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点【答案】8872【分析】如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，然后表示出三角形内切圆的方程，设Px【详解】如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，则A8,0，B0,6，内切C的半径

∴圆心坐标为2,2．∴内切圆C的方程为x−2设Px则d=3x∵点Px,y在圆上，∴d=3×4−4∵点Px,y是圆C上的任意点，∴当x=0时，dmax=88；当x故答案为：88，72变式5.（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点A1,1和B2,−2，且圆心C在直线(1)求圆心为C的圆的一般方程；(2)已知P2,1，Q为圆C上的点，求PQ【答案】(1)x(2)最大值为34+5，最小值为【分析】（1）直接设圆心坐标并建立CA=（2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可.【详解】（1）∵圆心C在直线l:x−y+1=0则CA2∴圆心C坐标为C−3,−2，则圆C的方程为x其一般方程为x2（2）由（1）知圆C的方程为x+3∴PC2=2+3∴PQ的最大值为PC+r=变式6.（2023高二上·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程x−22+【答案】最大值为7+43，最小值为【分析】根据方程x−22+y2【详解】方程x−22+x2又圆心到原点的距离为2−02所以x2+y2的最大值为即x2+y2的最大值为变式7.（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的半径为2，且圆心在直线y=x上，点A2,4在圆C上，点B(1)求圆C的圆心坐标；(2)若点D在圆C上，求BD的最大值与最小值.【答案】(1)4,4(2)最大值为25+2，最小值为【分析】（1）设出圆的标准方程：(x（2）先求圆外B点到圆心的距离d，则可知：d−【详解】（1）设圆的标准方程为：C:由题意得：b=a(2−即：圆C的圆心坐标：4,4.（2）由题意得:BC=所以：BC−2=2所以：BD最大值为：：25+2，最小值为：【方法技巧与总结】圆上的点到直接距离最值:1.把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r2.利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离3.判断位置关系【题型7：直线与圆有关的最值问题】例7．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆O:x2A．0,22−1 C．0,22+1 【答案】A【分析】根据题意，得到l过定点Q2,−2，得到点P在圆O上，且OQ【详解】因为直线(2+λ)x由2x−y−6=0x又因为点P在圆O上，且OQ=2又由圆O:x2+y当OQ⊥l时，点P到l的距离最大，最大距离为22所以直线l的斜率为1，此时2+λ=1+λ当直线l与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0，故点P到l的距离的取值范围为0,22.变式1．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，记d为点Pcosθ，sinθ到直线kx−A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】由直线方程得到其过定点A(3,4)，而Pcosθ，sinθ可看成单位圆上的一点，故可将求点P【详解】由直线l:kx−y−3而由Pcosθ，sinθ知，点于是求点Pcosθ，sin

如图知当直线l与圆相交时，Pcosθ，sinθ到直线要使点P到直线l距离最大，需使圆心O(0,0)到直线l又因直线l过定点A(3,4)，故当且仅当l⊥OA时距离最大，（若直线l与OA不垂直，则过点O作直线l此时|OA|=5，故点P到直线l距离的最大值为dmax=|OA.变式2.（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆C：x−32+y−42=1，直线2x−y−12=0上点P，过点P作圆C的两条切线PA【答案】19【分析】根据勾股定理可得PBmin【详解】四边形PACB的面积S=当CP与直线垂直时，此时CP取最小值，故最小值为6−4−124+1又半径r=1，所以PBmin=20−1=故答案为：19变式3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆C1：x2+y2−10x+4y+25=0与圆C2：x2+y2A．22+3 B．3−22 C．6【答案】D【分析】分析发现两圆心C1和C2的连线恰好垂直于直线y=x+1，从而得出当M与C【详解】因为圆C1：x2+圆C2：x2所以C1和C2的圆心坐标分别为5,−2、3,0，半径r1所以直线C1C2的斜率k所以直线C1C2所以当M与C1和C2共线时最小，此时又此时MC1=所以MA+MB最小值为变式4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆O:x2+yA．直线l1，lB．直线l1与圆OC．直线l2与圆O截得弦长为D．l【答案】ACD【分析】根据l1∥l2⇔A1【详解】A．由−cos2θ−sinB．圆O:x2+y2=4的圆心为0,0，半径为2，所以圆心到直线lC．直线l2到圆心的距离为0+0−1所以直线l2与圆O截得弦长为2D．∵sinθcosθCD．变式5．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数a,b满足a2+b【答案】7【分析】依题意可得a−12+b+12=2，从而得到点a,b在圆x【详解】因为a2+b所以点a,b在圆x−12+又3−ba+1=−b−3a又−1−12+3+1由图可知，当直线与圆相切时，b−3a−−1取得最值，设过点P−1,3即kx−y+k+3=0，则d即b−3a−−1的最大值为所以3−ba+1故答案为：7变式6．（2023·江西上饶·模拟预测）直线2x⋅sinθ+y【答案】2【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.【详解】由已知，圆的标准方程为x2+(y−圆心到直线2x⋅sinθ+y所以弦长为2r2−所以1≤54sin当4sin2θ+1=5即故答案为：22变式7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知直线x−y+m=0与圆C:x2+【答案】0（答案不唯一）【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，列出不等式，求得实数m取值范围，进而得到答案.【详解】由圆C:x2+y因为直线x−y+m=0解得3−10又由“直线x−y+m=0可得“直线x−y+m=0则满足2r2−d2可得d=−2−1+m12综上可得，3−10<m即实数m的取值范围为3−10所以一个实数m的为可以为0.故答案为：0（答案不唯一）.一、单选题1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为1,2，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（

）A．x2+yC．x2+y【答案】A【分析】根据题意作出图形，利用垂径定理可求得BD，继而求出圆的半径，写出圆的方程.【详解】

如图，过点C作CD⊥AB于D，依题意，BD=12从而，圆的半径为：BC=故所求圆的方程为：(x−1)2.2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线ax+by+1=0与圆xA．与a有关，与b有关 B．与a有关，与b无关C．与a无关，与b有关 D．与a无关，与b无关【答案】A【分析】先求得圆的圆心坐标为(−1,0)和半径为1，结合题意圆心到直线的距离等于半径，即−a【详解】圆x+12+y2因为直线ax+by+1=0则圆心到直线的距离等于半径，即−a化简得a2−2a.3．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线x+y+2=0与圆MA．2 B．4 C．22 【答案】D【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解.【详解】依题意，a+a+22=22故选:C.4．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆C:x2A．2 B．2 C．22 【答案】D【分析】由圆的标准方程作出圆的图形，易得切点坐标，利用两点之间距离公式计算即得.【详解】

如图，由圆C:所以切点为A2,0，B0,2，故.5．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆C:(x−aA．12 B．1 C．32【答案】A【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.【详解】由题意得圆心a,4a在直线则3a−4a.6．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知直线l:3x+y−1=0与圆A．π2 B．2π3 C．3π4【答案】C【分析】求得圆心为O到直线l:【详解】因为圆心为O到直线l:3x所以AB=2r所以∠OAB=∠OBA=π7．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线l:mx+ny−1=0圆xA．3 B．2 C．22 【答案】C【分析】原点O在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径.【详解】圆x2+y2+2直线l:原点O在圆上，所以原点O到直线l距离的最大值为1+1=2.8．（23-24高二上·上海·期末）已知圆C:x2+y2−2xA．−13 B．13 【答案】C【分析】圆心C(1,0)，半径r=2，直线l恒过定点P(0,3)，当直线l与PC垂直时，圆心C到直线【详解】因为圆C的方程为：x2+y所以圆心为C(1,0)，半径r直线l:y=kx当直线l与PC垂直时，圆心C到直线l的距离最大，由斜率公式得直线PC的斜率为：3−00−1由垂直关系的斜率公式得：k⋅(−3)=−1，解得k．二、多选题9．（24-25高二上·广西·开学考试）对于直线l:m−2A．l过定点(2,3)B．C的半径为9C．l与C可能相切D．l被C截得的弦长最小值为2【答案】CC【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；把圆的方程化为标准方程求得圆的半径判断B；判断直线过的定点在圆内判断C；当l与点2,3和圆心3,2的连线垂直时，l被C截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断D.【详解】m−2x+由x−2=0−2x+y+1=0，得圆C:x2由(2−3)2+(3−2)2=2<9所以l与C相交，不会相切，故C不正确；当l与点2,3和圆心3,2的连线垂直时，l被C截得的弦长最小.因为点2,3和圆心3,2连线的斜率为3−22−3=−1，所以−m此时l的方程为x−y+1=0，因为圆心3,2到直线l所以弦长为29−C.10．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知直线x+y−4=0与圆O：xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】DD【分析】根据直线与圆相交或相切，则圆心到直线的距离d≤【详解】圆x2+y2=由于直线x+y−4=0则−42≤r由于32D.11．（23-24高二