2019-2021北京初三(上)期中数学汇编：点和圆、直线和圆的位置关系

1/12019-2021北京初三（上）期中数学汇编点和圆、直线和圆的位置关系一、单选题1．（2021·北京四中九年级期中）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定2．（2021·北京市第五中学分校九年级期中）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）A．2 B．2 C． D．23．（2021·北京·东直门中学九年级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（）A．110° B．90° C．70° D．50°4．（2019·北京市陈经纶中学九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（

）A．130° B．120° C．80° D．60°二、解答题5．（2019·北京师大附中九年级期中）如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．6．（2019·北京市西城外国语学校九年级期中）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．⑴求证：AC=CD⑵若AC=2，AO=，求OD的长度．7．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作交AP于E点．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长．8．（2019·北京教育学院附属中学九年级期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．9．（2019·北京教育学院附属中学九年级期中）以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x，y轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P从点A处出发，沿x轴向右匀速运动，与此同时，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q的运动速度比点P的运动速度慢，经过1秒后点P运动到点（2，0），此时PQ恰好是⊙O的切线，连接OQ．求∠QOP的大小；（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，点P停留在点（2，0）处不动，求点Q再经过5秒后直线PQ被⊙O截得的弦长．10．（2019·北京育才学校九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．（1）证明：CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长．11．（2019·北京市第一五六中学九年级期中）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠BDC＝30°．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若AB＝2，求DC的长．

参考答案1．C【详解】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，因5＞3，即d＜r，所以直线L与⊙O的位置关系是相交.故选C2．B【详解】本题考查的圆与直线的位置关系中的相切．连接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO为等边三角形．又因为弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以EF=OE=2．3．A【详解】试题分析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B=180°，∴∠D=180°﹣70°=110°，故选A．考点：圆内接四边形的性质．4．B【详解】试题分析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．考点：圆内接四边形的性质．5．（1）见解析；（2）5.【分析】（1）、连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）、依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．【详解】解：（1）、连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）、∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是⊙O的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF==10，∴BF=OF﹣OB=5．6．⑴证明见解析⑵1【分析】（1）由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证.（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长.【详解】证明：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B.∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.∵OB⊥OC，∴∠BOC="90°."∴∠ODB+∠B=90°.∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°.∴∠DAC=∠CDA.∴AC=CD.解：（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，解得：OD=1（负值已舍去）.考点：1.等腰三角形的判定和性质；2.切线的性质；3.勾股定理.7．（1）证明见解析；（2）10．【分析】（1）连接OD若要证明DE为⊙O的切线，只要证明∠DOE=90°即可；（2）过点O作OF⊥AP于F，利用垂径定理以及勾股定理计算即可．【详解】解：连接OD．∵OC=OD，∴∠1=∠3．∵CD平分∠PCO，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∵DE⊥AP，∴∠2+∠EDC=90°．∴∠3+∠EDC=90°．即∠ODE=90°．∴OD⊥DE．∴DE为⊙O的切线．（2）过点O作OF⊥AP于F．由垂径定理得，AF=CF．∵AC=8，∴AF=4．∵OD⊥DE，DE⊥AP，∴四边形ODEF为矩形．∴OF=DE．∵DE=3，∴OF=3．在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2=42+32=25．∴OA=5．∴AB=2OA=10．【点睛】本题考查1.切线的判定；2.勾股定理；3.垂径定理，属于综合性题目，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．8．（1）60°；（2）.【详解】试题分析：(1)、方法1，根据四边形的内角和为360°，根据切线的性质可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度数，可将∠APB的度数求出；方法2，证明△ABP为等边三角形，从而可将∠APB的度数求出；(2)、方法1，作辅助线，连接OP，在Rt△OAP中，利用三角函数，可将AP的长求出；方法2，作辅助线，过点O作OD⊥AB于点D，在Rt△OAD中，将AD的长求出，从而将AB的长求出，也即AP的长．试题解析：(1)、方法一：∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．方法二：

∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA；∵∠OAB=30°，OA⊥PA，∴∠BAP=90°﹣30°=60°，∴△ABP是等边三角形，

∴∠APB=60°．(2)、方法一：如图①，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP==3．方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D；∵在△OAB中，OA=OB，∴AD=AB；∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°∴AD=OA•cos30°=，∴AP=AB=3．考点：切线的性质．9．（1）∠QOP=60°；（2）QD=.【详解】（1）解：如图一，连结AQ．由题意可知：OQ=OA=1.∵OP=2,∴A为OP的中点.∵PQ与相切于点Q,∴为直角三角形∴即ΔOAQ为等边三角形.∴∠QOP=60°．（2）解：由（1）可知点Q运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5秒，则Q点落在与y轴负半轴的交点的位置（如图二）.设直线PQ与的交点为D，过O作OC⊥QD于点C，则C为QD的中点.∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,∴QP=∵,∴OC=∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,∴QC=.∴QD=10．（1）答案见解析；（2）．【详解】分析：（1）要证CF为⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°即可；

（2）根据三角函数求得AC的长，从而可求得BE的长，再利用三角函数可求出MB的值，从而可得到MO的长．详解：（1）如图，连接OC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°；在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，∴∠E=30°；∵∠E=∠ECF，∴∠ECF=30°，∴∠ECF+∠OCB=90°；∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，∴∠OCF=90°，∴CF为⊙O的切线；（2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，∴AC=ABcos30°=，BC=ABsin30°=1；∵AC=CE，∴BE=BC+CE=1+．在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，∴MB=BEsin30°=，∴MO=MB﹣OB=．点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．11．（1）证明见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）根据切线的判定方法，只需证CD⊥OC．所以连接OC，证∠OCD