高中数学四作业11两角和与差的正弦、余弦、正切公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课时作业(三十一)1．tan10°tan20°＋eq\r(3)(tan10°＋tan20°)等于(）A.eq\f（\r(3），3） B.eq\r（3)C．－eq\r（3) D．1答案D解析∵tan10°＋tan20°＝tan30°·(1－tan10°·tan20°）＝eq\f（\r(3）,3）（1－tan10°·tan20°），∴原式＝tan10°·tan20°＋eq\r(3）·eq\f（\r(3）,3）(1－tan10°·tan20°）＝tan10°·tan20°＋1－tan10°·tan20°＝1。2．若eq\f(1－tanA，1＋tanA)＝4＋eq\r（5）,则eq\f(1,tan（\f（π，4)＋A)）的值是(）A．4＋eq\r（5) B．－(4＋eq\r(5))C。eq\f(1，4＋\r(5)） D．－eq\f(1,4＋\r（5)）答案A解析eq\f（1，tan（\f(π,4）＋A））＝eq\f（1，\f（tan\f（π，4）＋tanA,1－tan\f（π,4)·tanA））＝eq\f（1－tanA，1＋tanA）＝4＋eq\r(5）。3．已知α∈(eq\f(π,2）,π),sinα＝eq\f(3，5)，则tan(α＋eq\f(π,4）)＝(）A.eq\f（1,7） B．7C．－eq\f(1，7) D．－7答案A解析sinα＝eq\f(3，5)⇒cosα＝－eq\f（4,5)⇒tanα＝－eq\f（3，4)，∴tan(α＋eq\f（π，4))＝eq\f（tanα＋tan\f（π,4），1－tanα·tan\f(π,4))＝eq\f（－\f（3,4)＋1,1－(－\f（3,4)）×1）＝eq\f(1，7）.4．tan(α＋β)＝eq\f(2，5）,tan（β－eq\f（π,4)）＝eq\f（1,4)，则tan(α＋eq\f（π,4））等于（）A。eq\f（13,28) B。eq\f（13，22）C。eq\f(3，22) D。eq\f(1,6)答案C解析tan(α＋eq\f（π,4）)＝tan［（α＋β)－（β－eq\f(π,4))]＝eq\f(tan（α＋β）－tan（β－\f（π，4)），1＋tan（α＋β）·tan（β－\f(π,4)）)＝eq\f(\f（2,5）－\f(1,4),1＋\f（2,5）×\f(1,4））＝eq\f(3,22)。5．已知α＋β＝eq\f（5,4）π，则（1＋tanα）·(1＋tanβ)＝（)A．－1 B．－2C．2 D．3答案C解析（1＋tanα)·(1＋tanβ)＝1＋(tanα＋tanβ)＋tanα·tanβ＝1＋tan（α＋β）·（1－tanα·tanβ)＋tanα·tanβ＝1＋1－tanα·tanβ＋tanα·tanβ＝2。6．△ABC中，若0〈tanA·tanB〈1，则△ABC是（)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．无法确定答案B解析∵0<tanA·tanB<1,∴tanA>0,tanB〉0,tan（A＋B）＝－tanC＝eq\f(tanA＋tanB，1－tanA·tanB）〉0.∴tanC〈0，又∵0<C〈π,∴eq\f(π，2)<C<π.7。eq\f(tan105°－1，tan105°＋1)的值为（）A。eq\f(\r(3）,3） B．－eq\f（\r(3），3）C.eq\r(3） D．－eq\r(3)答案C解析原式＝eq\f（tan105°－tan45°,1＋tan105°·tan45°)＝tan（105°－45°)＝tan60°＝eq\r(3）。8．在△ABC中，tanA＝eq\f(1,3），tanB＝－2，则角C＝________．答案45°解析∵tanC＝tan[π－(A＋B）］＝－tan（A＋B）＝eq\f（－tanA－tanB,1－tanAtanB）＝eq\f（－\f（1,3)＋2，1＋\f（2,3）)＝eq\f(\f(5,3），\f(5，3)）＝1,又∵C∈(0，π)，∴C＝45°。9．若tanα＝3，tanβ＝eq\f（4，3），则tan（α－β)等于________．答案eq\f(1，3)10．若sin(α－3π）＝2cos（α－4π),则eq\f（sin（α－π)＋5cos(5π－α）,2sin(\f(3，2）π－α）－sin（－α））的值为________．答案eq\f（3,4）11．设α、β∈（－eq\f（π，2)，eq\f(π,2)）,且tanα，tanβ是一元二次方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两根，求α＋β的值．解Δ＝（3eq\r（3)）2－4×4＝11＞0，由韦达定理，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－3\r(3）＜0，，tanα·tanβ＝4＞0.))∴tanα＜0，tanβ＜0.而α，β∈（－eq\f（π，2)，eq\f（π,2）），∴α、β∈(－eq\f（π,2）,0）．∴tan（α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）＝eq\f(－3\r（3）,1－4）＝eq\r（3)。又α＋β∈（－π，0），∴α＋β＝－eq\f(2π,3）.►重点班·选做题12．已知点P（sineq\f（3，4）π,coseq\f(3,4）π）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则tan(θ＋eq\f(π，3）)的值为________．答案2－eq\r（3)解析由题可知点P(sineq\f（3，4）π,coseq\f(3,4)π）在第四象限，且落在角θ的终边上，所以tanθ＝－1，所以tan(θ＋eq\f（π，3）)＝eq\f（tanθ＋tan\f(π，3），1－tanθtan\f（π,3)）＝eq\f(－1＋\r（3)，1＋\r（3））＝2－eq\r(3).13．求值:eq\f(1－tan7°－tan8°－tan7°tan8°,1＋tan7°＋tan8°－tan7°tan8°）。解析原式＝eq\f（(1－tan7°tan8°）－（tan7°＋tan8°),（1－tan7°tan8°）＋(tan7°＋tan8°))＝eq\f（(1－tan7°tan8°）－tan15°（1－tan7°tan8°），（1－tan7°tan8°）＋tan15°（1－tan7°tan8°）)＝eq\f(（1－tan7°tan8°)（1－tan15°），（1－tan7°tan8°）(1＋tan15°））＝eq\f（1－tan15°，1＋tan15°）＝tan(45°－15°)＝tan30°＝eq\f（\r（3),3)。14．在△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3）tanBtanC＝eq\r（3），且eq\r（3)tanA＋eq\r（3）tanB＋1＝tanAtanB.试判断△ABC的形状．解析由已知得tanB＋tanC＝eq\r(3)（1－tanBtanC），∴tan(B＋C)＝eq\f（tanB＋tanC,1－tanBtanC）＝eq\r(3)。又B＋C∈（0，π),∴B＋C＝eq\f(π,3）.又eq\r(3)tanA＋eq\r（3）tanB＋1＝tanAtanB，∴tanA＋tanB＝－eq\f(\r（3),3）（1－tanAtanB)．∴tan(A＋B）＝－eq\f（\r(3),3），而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝eq\f(5π,6），∴A＝eq\f(2π，3),C＝eq\f（π，6)，B＝eq\f（π,6).即△ABC为等腰三角形．1．tanθ和tan（eq\f（π,4)－θ）是x2＋px＋q＝0的两根，证明：p－q＋1＝0。证明由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（tanθ＋tan（\f（π,4)－θ)＝－p，，tanθ·tan(\f(π，4)－θ）＝q,))又因为taneq\f(π,4)＝tan[θ＋(eq\f（π，4）－θ）]＝eq\f（tanθ＋tan（\f（π,4）－θ），1－tanθ·tan（\f（π，4）－θ)）,所以1＝eq\f（－p,1－q）,即p－q＋1＝0。2．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为eq\f（\r（2）,10）、eq\f(2\r（5）,5）.（1)求tan（α＋β)的值；（2)求α＋2β的值．解析（1）由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝eq\f(\r(2），10）,cosβ＝eq\f（2\r(5），5）。因为α为锐角，故sinα>0。从而sinα＝eq\r（1－cos2α)＝eq\f（7\r(2）,10).同理可得sinβ＝eq\f（\r(5）,5).因此tanα＝7，tanβ＝eq\f(1，2）.所以tan(α＋β)＝eq\