2024-2025学年高中数学第2讲直线与圆的位置关系第4课时弦切角的性质课后提能训练新人教A版选修4-1

PAGE3-第4课时弦切角的性质素养训练1．(2015年衡水期末)如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是直径，MN是切圆于C点的切线，若∠BCM＝38°，则∠B＝()A．32° B．42°C．52° D．48°【答案】C【解析】连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.又MN是切线，∴∠BCM＝∠BAC＝38°.∴∠B＝90°－∠BAC＝52°.故应选C．2．如图所示，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为()A．eq\f(5\r(3),3) B．eq\f(5\r(3),6)C．10 D．5【答案】A【解析】连接OC，∴∠COB＝60°.∵PC为切线，∴∠PCO＝90°.∴OC＝eq\f(\r(3),3)PC＝eq\f(5\r(3),3).故应选A．3．如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是⊙O的直径，∠BCD＝120°，过D点的切线PD与BA的延长线交于P点，则∠ADP的度数是()A．15° B．30°C．45° D．60°【答案】B【解析】连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.又PD是切线，∴∠ADP＝∠ABD．又∠BCD＝∠ADB＋∠ABD，∴∠ADP＝∠BCD－∠ADB＝30°.故应选B．4．如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.【答案】eq\r(35)【解析】由已知∠BAC＝∠APB，又∠BCA＝∠BAP(同弧所对圆周角与弦切角相等)，∴△PBA∽△ABC．∴eq\f(AB,PB)＝eq\f(BC,AB)，即AB2＝PB·BC＝35.故AB＝eq\r(35).5．如图所示，△ABC内接于⊙O，P点在⊙O外，PA，PB为⊙O两切线，A，B为切点，∠P＝60°，则∠C＝________.【答案】60°【解析】PA，PB为⊙O两切线，∴∠PAB＝∠C，∠PBA＝∠C．∴∠PAB＝∠PBA．又∠P＝60°，∴∠PAB＝∠PBA＝60°，即∠C＝60°.6．(2024年石家庄模拟)如图所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝______.【答案】40°【解析】连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵DC是⊙O的切线，∴∠DCB＝∠A＝25°(弦切角定理)．∴∠D＝180°－∠DCA－∠A＝40°.7．如图所示，圆O的直径AB为6，C为圆周上一点．BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆O交于点D，E.(1)求∠DAC；(2)求线段AE的长．【解析】(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵BC＝3＝eq\f(1,2)AB，∴∠ABC＝60°.∴∠DCA＝∠CBA＝60°.(弦切角定理)又AD⊥DC，∴∠DAC＝30°.(2)连接EB，则∠EAB＝∠DAC＋∠CAB＝30°＋30°＝60°，又∠AEB＝90°，∴AE＝eq\f(1,2)AB＝3.8．(2024年忻州模拟)如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E.(1)求证：∠ADE＝∠AED；(2)若AC＝AP，求eq\f(PC,PA)的值．【解析】(1)证明：∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP＝∠C．又∵∠APD＝∠CPE，∴∠BAP＋∠APD＝∠C＋∠CPE.∵∠ADE＝∠BAP＋∠APD，∠AED＝∠C＋∠CPE，∴∠ADE＝∠AED．(2)由(1)知∠BAP＝∠C，∵AC＝AP，∴∠APC＝∠C．∴∠APC＝∠C＝∠BAP.由三角形内角和定理可知，∠APC＋∠C＋∠CAP＝180°.∵BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°.∴∠APC＋∠C＋∠BAP＝180°－90°＝90°.∴∠C＝∠APC＝∠BAP＝eq\f(1,3)×90°＝30°.在Rt△ABC中，eq\f(1,tanC)＝eq\f(CA,AB)，即eq\f(1,tan30°)＝eq\f(CA,AB)，∴eq\f(CA,AB)＝eq\r(3).∵在△APC与△BPA中，∠BAP＝∠C，∠APB＝∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CA,AB).∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CA,AB)＝eq\r(3).实力提升9．如图所示，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，求AC的长．【解析】如图所示，连接BC，