2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理课时作业16合情推理新人教A版选修2-2

PAGE1-课时作业16合情推理学问点一归纳推理1.视察下列不等式：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…照此规律，第五个不等式为()A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＜eq\f(9,5)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＜eq\f(11,6)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(9,5)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)答案D解析视察每行不等式的特点，知第五个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6).2．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．依据这样的方法接着摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：(1)依据要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________.答案(1)10(2)55解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3，推想S4＝1＋2＋3＋4＝10，S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.学问点二类比推理3.在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是______________________．答案数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300解析因为等差数列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.4．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图①所示，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BC·BC·BD·DC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).类比猜想：四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).如图②，连接BE交CD于F，连接AF，因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，而AF⊂平面ACD，所以AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2)，易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，猜想正确.学问点三归纳和类比推理的应用5.鲁班独创锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形态上也应当类似，“锯子”应当是齿形的．该过程体现了()A．归纳推理B．类比推理C．胡乱推理D．没有推理答案B解析推理是依据一个或几个已知的推断来确定一个新的推断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：假如与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简洁图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．答案πab解析由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为eq\f(b,a)，即k＝eq\f(b,a)，∴椭圆面积S＝πa2·eq\f(b,a)＝πab.一、选择题1．归纳推理和类比推理的相像之处为()A．都是从一般到一般B．都是从一般到特别C．都是从特别到特别D．所得结论都不肯定正确答案D解析归纳推理是由特别到一般的推理，其结论不肯定正确．类比推理是从特别到特别的推理，结论具有推想性，不肯定牢靠，故选D.2．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是()A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形答案C解析由类比推理的定义和特点推断，易知选C.3．视察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76B．80C．86D．92答案B解析由已知条件得，|x|＋|y|＝n(n∈N*)的整数解(x，y)个数为4n，故|x|＋|y|＝20的整数解(x，y)的个数为80.4．如图，在所给的四个选项中，最适合填入问号处，使之呈现肯定的规律性的为()答案A解析视察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次移动一格，由其次组图的前两个图，可知选A.5．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是()A．假如一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交B．假如一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直C．假如两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交D．假如两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行答案D解析类比A的结论为：假如一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．成立．类比B的结论为：假如一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直．成立．类比C的结论为：假如两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交．成立．类比D的结论为：假如两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行．不成立．二、填空题6．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b∈R)，则a＋b＝________.答案41解析依据题意，由于eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，那么可知eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))，a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41.7．如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1,2,3,4,5,6的横纵坐标(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5,6)分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2013＋a2014＋a2015的值为______．答案1007解析由题图知a1＝x1＝1，a3＝x2＝－1，a5＝x3＝2，a7＝x4＝－2，…，则a1＋a3＝a5＋a7＝…＝a2013＋a2015＝0.又a2＝y1＝1，a4＝y2＝2，a6＝y3＝3，…，则a2014＝1007，所以a2013＋a2014＋a2015＝1007.8．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上随意不同的两点．依据图象可知线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论eq\f(ax1＋ax2,2)＞aeq\f(x1＋x2,2)成立．运用类比思想方法，可知若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有________________成立．答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)解析运用类比推理与数形结合，可知y＝sinx(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标eq\f(sinx1＋sinx2,2)总是小于函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，sin\f(x1＋x2,2)))的纵坐标，即有eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)成立．三、解答题9．视察给出的下列各式：(1)tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；(2)tan5°·tan15°＋tan15°·tan70°＋tan70°·tan5°＝1.由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论．解视察易知10°＋20°＋60°＝90°，5°＋15°＋70°＝90°，故可以猜想此推广式为：若α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，且α，β，γ都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，则有tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1.证明如下：∵α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，∴α＋β＝eq\f(π,2)－γ，∴tan(α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－γ))＝cotγ，∴tanα＋tanβ＝cotγ(1－tanαtanβ)，∴tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1.10.如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．解如图，截面AEF经过四面体ABC