人教版数学八年级(下)平行四边形单元试卷（解析版）

人教版数学八年级（下）平行四边形单元试卷

一、单选题（共“题；共21分）

1.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为Si,S2,则S1+S2的值为

（）

A.16B.17

C.18D.19

【答案】B

【解析】

【详解】如图

根据等腰直角三角形的性质知，AC=J2BC,BC=CE=J2CD,

；.AC=2CD,CD=1=2,

.,.EC2=22+22,即EC=2&;

.♦•S2的面积为2，）x2企=8；

TS1的边长为3,S1的面积为3x3=9,

；.SI+S2=8+9=17.故选B.

2.顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是【】

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【答案】C

【解析】

【详解】矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定.

【分析】如图，连接AC.BD,

在△ABD中，：AH=HD,AE=EB,.*.EH=—BD.

2

同理FG」BD,HG=—AC,EF」AC.

222

又•.,在矩形ABCD中，AC=BD,AEH=HG=GF=FE.

，四边形EFGH为菱形.故选C.

3.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点，把4ADE沿直线AE折叠，当点D的对

应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为.

A.3或4B.3或10C.*或°D.工或°

22353

【答案】B

【解析】

【详解】试题解析：①如图1,当点F在矩形内部时，

•••四边形ABC。为矩形，AO=5,AB=8,

AB—CD,

又♦.•点F在线段AB的垂直平分线MN上，

AN=DM=4,

由折叠性质得：Ab=AD=5,DE=FE,

在RtC尸中，

NF=ylAF2-AN2=3,

；.FM=5—3=2,

设DE=EF=x,则M£=4—刘

在RtDAN/中，

AME2+MF2EF1,BP（4-x）2+22=x2.

5

:.x=—.

2

即DE='.

卦

图2

•..四边形ABC。为矩形，AD=5,AB=8,

AB=CD,

又•.•点尸在线段AB的垂直平分线MN上,

：.AN=DM=4,

由折叠性质得：AF=AD=5,DE=FE,

在RtDAN/7中，

,NF=1AF2-AN?=3,

'.FM=5+3=8,

设DE—EF—y,则ME=y—4,

在RtQEM/中,

•-ME2+MF2=EF2,

即(y-4『+82=y2,

/.y=10.

即DE=10.

故选B.

4.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF,若AB=3,则菱形AECF的面积为

()

A.1B.272C.2GD.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据菱形AECF,得/FCO=/ECO,再利用NECO=/ECB,可通过折叠的性质，结合直角三角形

勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解.

【详解】解：•••四边形AECF是菱形，AB=3,

假设BE=x,则AE=3-x,CE=3-x,

•.•四边形AECF是菱形，

AZFCO-ZECO,

VZECO=ZECB,

ZECO=ZECB=ZFCO=30°,

2BE=CE,

/.CE=2x,

2x=3-x,

解得：x=l,

・・・CE=2,利用勾股定理得出：

BC2+BE2=EC2,

BC=7EC2-JBE2=V22-l2=73，

又：AE=AB-BE=3-1=2,

则菱形的面积是：AEBC=26.

故选C.

【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理.解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据

轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.

5.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EFLED,连结DF,M

为DF的中点，连结MA,ME.若AMLME,则AE的长为（）

A.5B.275C.2V10D.472

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：设BE=x,贝ijEC=6-x,由△EBFS^DCE,得生=丝二列出方程求出X,即可解

，豳海

决问题.

设BE=x,贝|JEC=6-X,VEF±ED,，NFED=90°,AZFEB+ZDEC=90°,

ZDEC+ZEDC=90°,.\ZFEB=ZEDC,VZB=ZC=90°,.".△EBF^ADCE,

——=上，解得x=2或4（舍弃），当x=2时，EF=2畲，DE=4畲,

球一,春4

DF=，蜻存螫产=境廊，/.AM=ME=7W>VAMIME,.,.ZAME=90°,

考点：矩形性质.

6.如图，己知正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点，BF_LAE交CD于点F,垂足为点G,连接

CG,下列说法：①AG>GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为支；④CG的最小值6-1.其中正确的

EJ

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：•••在正方形ABCD中，BFXAE,

，ZAGB保持90。不变，

AG点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，

.•.当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点,

，AG=GE,故①错误；

VBF±AE,

.•.ZAEB+ZCBF=90°,

VZAEB+ZBAE=90°,

/BAE=NCBF,

在会ABE和ABCF中，

ZBAE=ZCBF

{ZABE=ZBCF=90?,

AB=BC

.'.△ABE^ABCF(AAS),

故②正确；

,/当E点运动到C点时停止，

.•.点G运动的轨迹为,圆，

4

圆弧的长兀，故③错误；

42

由于0C和0G的长度是一定的，因此当0、G、C在同一条直线上时，CG取最小值,

℃7OB2+BC)=小,

CG的最小值为OC-OG=6-1,故④正确;

综上所述，正确的结论有②④.

故选C.

考点：正方形性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用.

7.在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABC。是矩形，E是BA

延长线上一点，F是CE上一点，ZACF=ZAFC,ZFAE=ZFEA.若/ACB=21。，则/EC。的度数是（）

B.21°C.23°D.24°

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：设NAEF=x,VZFAE=ZFEA,；.NAFC=2x,VZACF=ZAFC,；.NACF=2x,•四

边形ABCD是矩形，NB=90°,AZACB+ZACF+ZAEF=90°,21°+x+2x=90°,，x=23°,故选C.

考点：三角形的外角性质；直角三角形的性质.

8.如图，四边形A8CD是边长为6的正方形，点E在边A3上，BE=4,过点£作EV//6C，分别交

3。,。9于6,尸两点.若M,N分别是。G,CE的中点，则MN的长为（）

A.3B.2GV13D.4

【答案】C

【解析】

【分析】连接BRRW,可证明四边形5CEE是矩形，根据正方形的性质可得/BCD=45。，可知4DFG是

等腰直角三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得4MBF是直角三角形，根据直角三角形斜边中线

的性质，利用勾股定理即可求出MN的长.

【详解】如图，连接6尸,£M,

：ABCD是正方形，EF//BC,

四边形BCEE是矩形，

：N是CE的中点，BF、CE是矩形BCFE的对角线，

/.三点在同一条直线上.

•••8。是正方形ABCD的对角线，

/•ZBOC=45°，

ADFG是等腰直角三角形.

又•••〃/是AD/G的中线，

也是。G边上的高，

AM8尸是直角三角形，

•；N为BF的中点，

MN=-BF=-y]BC2+CF2=-x>/62+42=y/13.

【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质，等腰

三角形顶角的角平分线、底边的高和底边的中线，“三线合一”；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练

掌握相关性质是解题关键.

9.如图，在AABC中,AB=AC,E,F分别是BC,AC的中点，以AC为斜边作放AAOC,若/C4Z）=/CAB=45。，

则下列结论不正确的是（）

A.Z£CD=112.5°B.OE平分Nf£>CC.ZDEC=30°D.AB=42CD

【答案】C

【解析】

【详解】试题解析："：AB=AC,NCAB=45。，NB=NACB=67.5。.

•.•RfZkADC中，ZCAD=45°,ZADC=90°,：.ZACD=45°,AD=DC,：.ZECD=ZACB+ZACD=\\2.50,故

A正确，不符合题意；

VE>尸分别是8C、AC的中点，：.FE=—AB,FE//AB,；.NEFC=NBAC=45°,NFEC=NB=67.5°.

2

•••尸是AC的中点,

ZADC=90°,AD=DC,：.FD=—AC,DF±AC,ZFDC=45°,'：AB=AC,；.FE=FD,：.ZFDE=ZFED=

2

—(180°-ZEFD)=—(180°-135°)=22.5°,：.ZFDE=—ZFDC,：.DE^^ZFDC,故B正确，不

222

符合题意；

,:NFEC=NB=615。,ZFED=22.5°,:.NDEC=NFEC-NFED=45。,故C错误，符合题意；

•.,RAADC中，ZADC=90°,AD=DC,：.AC=42CD,\'AB=AC,:.AB=^CD,故。正确，不符合题意.

故选C.

10.下列性质中菱形不一定具有的性质是()

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直

C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形

【答案】C

【解析】

【分析】根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对

角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对

角线所在直线.

【详解】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；

B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；

C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；

D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；

故选C.

考点：菱形的性质

11.如图，已知凸五边形4BCCE的边长均相等，且AC=1,则8。必定满足()

A.BD<2B.BD=2

C.BD>2D.以上情况均有可能

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：VAE=AB,；.NABE=NAEB,同理NCBD=NCDB

VZABC=2ZDBE,AZABE+ZCBD=ZDBE,VZABE=ZAEB,ZCBD=ZCDB,

/.ZAEB+ZCDB=ZDBE,AZAED+ZCDE=180°,；.AE〃CD,；AE=CD,.•.四边形AEDC为平行四边

形，...DE=AC=AB=BC,.二△ABC是等边三角形，，BC=CD=1,在ABCD中，；BD<BC+CD,；.BD<2.故

选A.

考点：平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质.

二、综合题(共12题；共134分)

12.如图，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,/BAD=/B=NC=ND=90°,点E、F分别在正方形ABCD的边

DC、BC±,AG_LEF且AG=AB,垂足为G,则：

(1)△ABF与△AGF全等吗？说明理由；

(2)求NEAF的度数;

(3)若AG=4,4AEF的面积是6,求4CEF的面积.

【答案】(1)见解析;(2)45°；(3)4

【解析】

【详解】试题分析：(1)根据HL可得出口A3F也DAGF.

(2)只要证明N84b=NG4RNGAEn/DAE；所以可求NE4b=45°.

(3)设FC=x,EC=y,则3尸=4-y,DE=4-y,构建方程组，求出孙即可解决问题.

试题解析：(1)ZVIB尸与aAGF全等，理由如下：

在RtCABF和RtAAGP中，

AB=AG

<AF=AF.

AQABFUAGF.

(2)'：UABF^DAGF.

：.ZBAF=ZGAF,

同理易得：Q4GE也OADE.有NGAE=NDAE,

即ZEAF=ZEAD+ZFAG=-ZBAD=45°.

2

(3),/SAAc-FrF=2—EF-AGfAG=4,

:.6=1EF.AG,

2

:.EF=3,

,:BF=FG,EG=DE,AG=AB=BC=CD=4,

设/C=x,EC~y,则DE=4-y,

•:BF+DE=FG+EG=EF=3,

;.4-x+4—y=3,

x+y=5①

在Rt/XEFC中，EF2=EC2+FC2,

x2+y2=320

①2-②得到，2肛=16,

SCEF=-xy=4.

13.如图，在RtA46c中，AB^AC,ZBAC=90°＞。为3C的中点.

(1)写出。点到AABC的三个顶点AB,C的距离关系.

(2)如果点M,N分别在线段AB,AC上移动，移动中保持=请写出△QWN的形状，并证

明你的结论.

【答案】(1)OA=OB=OC，(2)AOMN是等腰直角三角形，见解析.

【解析】

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质即可解题，

(2)证明AAON丝ABOM(SAS)即可解题.

【详解】解：(1)VAB=AC，N8AC=90°，

/.ABAC是等腰直角三角形

OA-OB—OC-

(2)AOMN是等腰直角三角形.

证明：•；AC=AB,OC=OB,

：.AOLBC,即4。8=90°，ZCAO=ZBAO.

又•:NBAC=90°，

ZC4O=-ZBAC=45\

2

VAC=AB,ZR4C=90°，

NB=45°，

ZCAO=ZB.

又,：AN=BM,OA=OB,

.".△AON^ABOM(SAS),

：.OM=ON,ZNOA^ZMOB,

：.ZNOA+ZAOM=ZMOB+ZAOM.

/.ZNOM=ZAOB=90°.由ON=OM,ZNOM=90°可知bOMN是等腰直角三角形.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质，属于简单题,熟悉三角全等的判定方法是

解题关键.

14.正方形ABC。中，E是边上一点，

（1）将口/E绕点A按顺时针方向旋转，使A。、A3重合，得到口/归尸，如图1所示.观察可知：与DE

相等的线段是，ZAFB=N______.

（2）如图2,正方形ABC。中，P、Q分别是8C、CD边上的点，且NQ4Q=45。，试通过旋转的方式

说明：DQ+BP=PQ

（3）在（2）题中，连接分别交AP、AQ于M、N,你还能用旋转的思想说明创〃+。可2=削2.

【答案】（1）BF,AED；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

【详解】试题分析：（1）、直接根据旋转的性质得到DE=BF,ZAFB=ZAED；（2）、将△ADQ绕点A按顺时

针方向旋转90°,则AD与AB重合，得到△ABE,根据旋转的性质得NEAQ=NBAD=90。，AE=AQ,BE=DQ,

而/PAQ=45。，则NPAE=45°,再根据全等三角形的判定方法得到△APE也aADQ,则PE=PQ,于是

PE=PB+BE=PB+DQ,即可得至ljDQ+BP=PQ；

（3）、根据正方形的性质有/ABD=/ADB=45。，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90。，则AD与AB重

合，得到AABK,根据旋转的性质得NABK=NADN=45。，BK=DN,AK=AN,与（2）一样可证明

△AMN丝aAMK得到MN=MK,由于NMBA+NKBA=45o+45o=90。，得到△BMK为直角三角形，根据勾

股定理得BK2+BM2=MK2,然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2=MN2.

试题解析：（1）、••,△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF,

：DE=BF,ZAFB=ZAED.

（2）、将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90。，则AD与AB重合，得到△ABE,如图2,

则/D=NABE=90。，即点E、B、P共线，ZEAQ=ZBAD=90°,AE=AQ,BE=DQ,；NPAQ=45。，

ZPAE=45°；.NPAQ=/PAE,/.△APE^AAPQ（SAS）,，PE=PQ,

而PE=PB+BE=PB+DQ,；.DQ+BP=PQ；

（3）、：四边形ABCD为正方形，.,.ZABD=ZADB=45°,

如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90。，则AD与AB重合，得到△ABK,

则/ABK=/ADN=45°,BK=DN,AK=AN,与（2）一样可证明△AMNgAAMK,得到MN=MK,

VZMBA+ZKBA=45o+45°=90°,，△BMK为直角三角形，BK2+BM2=MK2,ABM2+DN2=MN2.

考点：（1）、旋转的性质；（2）、全等三角形的判定与性质；（3）、勾股定理；（4）、正方形的性质.

15.如图，在长方形A3CO中，AB=CD=6an，BC=10cm,点、P从点、B出发,以2。〃/秒的速度沿

向点C运动，设点P的运动时间为/秒：

（1）PC=_cm.（用f的代数式表示）

（2）当f为何值时，DABP力。CP?

（3）当点尸从点B开始运动，同时，点。从点C出发，以v。加/秒的速度沿向点。运动，当点P到

达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，是否存在这样v的值，使得AABP与△PQC全等？若存在,

请求出v的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）PC=10-2f；（2）t=2.5,理由见解析；（3）存在，v=2.4或者v=2.

【解析】

【分析】⑴根据S=vt计算线段BP=2t,利用BP+PC=BC求PC即可；

（2）根据三角形全等，得BP=PC=5,所以t=2秒；

2

（3）分BP=CQ和BA=CQ两种情形讨论求解.

【详解】（1）点尸从点8出发，以2cm/秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为，秒，

二BP=2t,

PC=10—2r.

(2)当，=2.5时，口他2注小尸.

理由：•.•当r=2.5时，BP=2.5x2=5

PC=10-5=5

•••在/XABP和口。。尸中

AB=DC

<NB=NC=90°

BP=CP

.-.QABP^DCP(SASy

(3)①当BP=CQ时，AB=PC时，UABPRDCP；

•/AB=6,

■-PC=6,

BP=10—6=4,

"1•2r=4,

解得r=2,

CQ=BP=4,

所以2y=4,

v—2；

②当BA=CQ,PB=PC时,□ABPRDCP；

•••PB=PC,

：.PB=PC=-BC=5,

2

2/=5,

解得r=2.5,

CQ=BA=6,

解得v=2.4；

综上所述，当u=2.4或者v=2时ZxABP与口QCP.

【点睛】本题考查了矩形中的动点问题，熟练掌握三角形全等，灵活运用分类思想是解题的关键.

16.如图，已知tanZE0F=2,点C在射线OF上，0C=12.点M是NEOF内一点，MCLOF于点C,MC=4.在

射线CF上取一点A,连结AM并延长交射线0E于点B,作BDJ_OF于点D.

(1)当AC的长度为多少时，AAMC和ABOD相似；

(2)当点M恰好是线段AB中点时，试判断AAOB的形状，并说明理由;

(3)连结BC.当SA.=S△耻时，求AC的长.

【答案】(1)2或8；(2)直角三角形，理由见解析；(3)18；

【解析】

【详解】试题分析：(1)由于NMCA=NBDO=RtN,所以4AMC和ABOD相似时分两种情况：

©△AMC^ABOD；②△AMCSAOBD.则两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等及tanZEOF=2

列出关于AC的方程，解方程即可求出AC的长度；

(2)先由MC〃BD,得出AAMCS^ABD,根据相似三角形对应边的比相等及三角形中位线的性质求出

BD=2MC=8,OD=4,CD=8,AC=CD=8,再利用SAS证明△AMC丝△BOD,得到NCAM=NDBO,根据

平行线的性质及三角形内角和定理求出/ABO=90。，进而得出4ABO为直角三角形；

(3)设OD=a,根据tan/EOF=2得出BD=2a,由三角形的面积公式求出SAAMC=2AC,SABoc-12a,根据

SAAMC=SABOC,得到AC=6a.由△AMCsaABD,根据相似三角形对应边的比相等列出关于a的方程，解

方程求出a的值，进而得出AC的长.

解：⑴VZMCA=ZBDO=RtZ,

AAMC和4BOD中，C与D是对应点，

/.AAMC和小BOD相似时分两种情况：

①当△AMCs/XBOD时，—^S=tanZEOF=2,

MCDO

VMC=4,

.AC)

..—=2,

4

解得AC=8；

②当△AMC^AOBD时,些悬…F=2,

VMC=4,

解得AC=2.

故当AC的长度为2或8时，AAMC和^BOD相似;

(2)AABO为直角三角形.理由如下：

：MC〃BD,

/.△AMC^AABD,

.MC_AW_AC

,BD^AB^AD,ZAMC=ZABD,

：M为AB中点,

；.C为AD中点,BD=2MC=8.

VtanZEOF=2,

.*.OD=4,

.\CD=OC-OD=8,

；.AC=CD=8.

在公AMC与4BOD中，

'AC=BD=8

-ZACM=ZBD0=90°，

CM=DO=4

••.△AMC^ABOD(SAS),

...NCAM=NDBO,

.•.ZABO=ZABD+ZDBO=ZAMC+ZCAM=90°,

...△ABO为直角三角形；

(3)连结BC,设OD=a,则BD=2a.

"•"SAAMC=SABOC,SAAMC="^ACMC=2AC,SABOC=^OCBD=12a,

.,.2AC=12a,

/.AC=6a.

•/△AMC^AABD,

.MCACHn4_6a

••二，[AJ-f

BDAD2a6a+12-a

解得ai=3,a2=-4(舍去)，

3

，AC=6x3=18.

考点：相似三角形的判定与性质.

17.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重

合）且始终保持BP=BQ,AQXQE,QE交正方形外角平分线CE于点E,AE交CD于点F,连结PQ.

BQC

（1）求证：AAPQ丝ZXQCE.

（2）求NQAE的度数.

（3）设BQ=x,当x为何值时，QF〃CE,并求出此时AAQF的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）ZQAE=45°；（3）x=2血-2时，QF//CE,SAAQF=4&-4.

【解析】

【分析】（1）判断出4PBQ是等腰直角三角形，然后求出/APQ=/QCE=135。，再根据同角的余角相等求

出/PAQ=/CQE,再求出AP=CQ,然后利用ASA证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得AQ=EQ,

可证明4AQE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可得答案；（3）根据平行线的性质可得

ZCQF=45°,可求出CQ=CF,把aABQ绕点A逆时针旋转90。得到AADG,求出NGAF=45。，从而得到

ZGAF=ZQAF,再利用SAS证明△AQF丝ZiAGF,根据全等三角形对应边相等可得QF=GF,分别用x表

示出CQ、CF、QF,利用勾股定理列出方程求出x即可，利用三角形面积公式求出4AGF的面积即可得4AQF

的面积.

【详解】(1)在正方形ABCD中,ZB=90°,AB=BC,

VBP=BQ,

•••△PBQ是等腰直角三角形，

AAB-BP=BC-BQ,即AP二CQ,ZBPQ=45°,

・・・CE为正方形外角的平分线，

.\ZAPQ=ZQCE=135°,

VAQ1QE,

AZCQE+ZAQB=90°,

VZPAQ+ZAQB=90°,

AZPAQ=ZCQE,

ZPAQ=ZCQE

在aAPQ和aQUE中，｛AP=CQ,

ZAPQ=ZQCE

.,.△APQ^AQCE(ASA).

(2)VAAPQ^AQCE,

AAQ=QE,

VAQ±QE,

・•・AAQE是等腰直角三角形，

.・・ZQAE=45°.

(3)・・・QF〃CE,

・・・ZCQF=ZECH=45°,

・•・ACQF是等腰直角三角形，

ACQ=CF=2-x,

ABQ=DF,

如图，把AABQ绕点A逆时针旋转90。得到AADG,

ABQ=DG,AQ=AG,ZBAD=ZDAG,ZADG=ZB=90°,

・••点F、D、G在一条直线上，

*.•ZQAF=45°,

.・・NBAQ+NFAD=45。,

ZDAG+ZFAD=45°,即ZFAG=45°,

ZQAF=ZFAG,

AQ=AG

在△AQF和aAGF中，＜ZQAG=ZFAG,

AF=AF

.,.△AQF^AAGF,

；.QF=GF

VBQ=DF,BQ=DG,

；.QF=GF=2BQ=2x,

，在RtZ\CQF中，QF=2CQ2,即(2xp=2(2-x)2,

解得：x=2&-2或x=—2夜-2(舍去)，

,当x=2及一2时，QF//CE.

SAAQF=SAAGF=；GF-AD=yx2x(272-2)x2=4&-4.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性

质，勾股定理的应用，正确作出作辅助线，构造全等三角形并利用勾股定理列出方程是解题关键.

18.已知，正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA±,

AH=2.

(1)如图1,当DG=2,且点F在边BC上时.

求证:①AAHE^ADGH；

②菱形EFGH是正方形;

(2)如图2,当点F在正方形ABCD的外部时，连接CF.

H\

B

图2

①探究：点F到直线CD的距离是否发生变化？并说明理由；

②设DG=x,aFCG的面积为S,是否存在x的值，使得S=l,若存在，求出x的值；若不存在，请说明理

由.

【答案】（1）证明见解析（2）①2②不存在

【解析】

【详解】

试题解析：（1）①由正方形的性质得/A=/Z>90。，由菱形的性质得£74，G,又AH=DG=2,故可证AA”

EqADGH；②由①可得NG”E=90。，故菱形EFG”是正方形.

（2）①作FM_L£>C于M,连结GE.

通过证明丝/XA/FG得FM=H4=2,即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.

②在R34HE中，4芯=历>6,即点E已经不在边48上.故不可能有S=l.

试题解析：（1）①在正方形ABC£>中，/A=ND=90。，

在菱形EFGH中，EH=HG,

又：AH=DG=2,

：."HE会ADGH

②由（1）知

NAHE=NDGH.

•：NDGH+NDHG=90。,

：.NDHG+NAHE=90。,

ZGHE=90°,

：.菱形EFGH是正方形.

(2)①点F到直线CO的距离没有发生变化，理由如下:

作于M,连结GE如图，

AB//CD,：.ZAEG=ZMGE,

・・,HE//GF,：.ZHEG=ZFGE,

：.ZAEH=ZMGF.

在和AMFG中，ZA=ZM=90°,HE=FG,

：.〉AHE"4MFG.

：.FM=HA=2,即无论菱形EFG”如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.

②不存在.

・・・DG=x,・・・GC=6-x.

1,,

S=SAFCG=—x2x(6-x)=6-x.

2

若S二S,CG=1,・,•由S"CG=6-X,得X=5.

此时，在RSDGH中，HG=,必+出="2+52=a.

相应地，在RlAAHE中，A£=V37>6,即点E已经不在边AB上.

故不可能有S=l.

19.在图1--图4中，菱形ABCD的边长为3,/A=60。，点M是AD边上一点，且DM《AD,点N是

折线AB-BC上的一个动点.

(1)如图1,当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为

(2)当点N在AB边上时，将AAMN沿MN翻折得到AAWN,如图2,

①若点A，落在AB边上，则线段AN的长度为；

②当点A，落在对角线AC上时，如图3,求证：四边形AMA小是菱形；

A〃

③当点A，落在对角线BD上时，如图4,求”的值.

AN

【答案】（1）V13：（2）①1；②证明见解析；（3）y

【解析】

【详解】试题分析：（1）过点N作NGLA8于G,构造直角三角形，利用勾股定理解决问题；

（2）①利用线段中垂线的性质得到AN=AN,再由三角函数求得；

②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角，得到NZMC=NC45=30。，根据翻折的性质得到

AC人MNAM=A'M,AN=A'N,ZAMN=ZANM=60°,AM=AN,AM=A'M^AN^A'N,四边形AM4W是菱

形；

③根据菱形的性质得到AB^AD,ZADB=ZABD=60°,求得证得

A'M=AM^,4NAM=N4⑥得到用三角形相似得到结果.

试题解析：（1）如图1,过点N作NGL48于G,

：.AD//BC,OD=OB,

DMOD,

-----=——=1,

BNOB

BN=DM=1AD=1,

3

NDAB=60°,

，ZNBG=60°.

/.BG=-,GN

22

AAN=y]AG2+GN2=Jf->l+H]=屈.

丫（2）I2j

故答案为而.

⑵①当点4'落在A8边上，则M/V为AH的中垂线,

;NZM8=60°,AM=2,

A7V」AM=1,

2

故答案为1；

②在菱形ABCQ中，AC平分ND4B,

•••ZDAB=60°,

二ZDAC=ZCAB=30°,

丛AMN沿MN翻折得到△ANN,

：.ACLMNAM=A'M,AN=A'N,

•••ZAMN=ZANM=60°,

：.AM=AN,

：.AM=A'M=AN=A'N,

四边形AMAW是菱形；

③在菱形ABC。中，AB=AD,

ZADB=AABD=6^,

：.ZBA'M=ZDMA'+ZADB,

：.A'M=AM=2,/NKM=NA=60°,

ZNA'B=ZDMA',

.DMA'B

"A'M"AW,

•：MD=-AD=1,A'M=2,

3

.A，B-1

,•而-3

点睛：四条边相等的四边形是菱形.

20.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连

接AD,EC.

(1)求证：△ADC^AECD；

(2)当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由.

(2)点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形.

【解析】

【分析】(1)利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得/EDC=NACB,则易证△ADC丝4ECD,利

用全等三角形的对应边相等即可证得；

(2)根据平行四边形性质推出AE=BD=CD,AE〃CD,得出平行四边形，根据AC=DE推出即可.

【详解】解：(1)证明：VAB=AC,/.ZB=ZACB,又「oABDE中，AB=DE,AB〃DE,

/B=/EDC=ZACB,AC=DE,

AC=DE

在4ADC和4ECD中，｛NEDC=NACB,

DC=CD

.".△ADC^AECD(SAS).

(2)点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，•.•四边形ABDE是平行四边形，

；.AE=BD,AE〃BC,为边长中点，；.BD=CD,，AE=CD,AE〃CD,

四边形ADCE是平行四边形，VAADC^AECD,；.AC=DE,

，四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形.

考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定的应用.

21.如图，菱形A8CD的对角线AC、8。相交于点0,过点。作。E//AC且。E=连接CE、

2

0E,连接AE交。。于点F.

(1)求证：0E=CD；

(2)若菱形ABC。的边长为2,NA3C=60°.求AE的长.

【答案】(1)证明见解析(2)J7

【解

【详解】试题分析：(1)先求出四边形OCEO是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出NCOO=90°,

证明OCED是矩形，可得0E=8即可；

(2)根据菱形的性质得出AC=A8,再根据勾股定理得出AE的长度即可.

(1)证明：在菱形ABC。中，OC=g/lC.

：.DE=OC.

\'DE//AC,

四边形OCE。是平行四边形.

'：ACA.BD,

平行四边形OCEO是矩形.

/.OE=CD.

(2)在菱形ABC。中，ZABC=60°,

；.AC=AB=2.

.••在矩形。CEO中，

CE=OD=^AD2-AO2=>/3.

在RSACE中，

AE=JAC2-CE2=此

点睛：本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与

菱形的性质是解题的关键.

22.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZM£B=B<T?4==D是AB的中点，E,F分别是AC,BC.

上的点(点E不与端点A,C重合)，且AE=CF连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使

GO=OD,连接DE,DF,GE,GF

GjC

B

(1)求证:四边形EDFG是正方形；

(2)直接写出当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小?最小值是多少？

【答案】(1)详见解析；(2)当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4

【解析】

【分析】(1)连接CD,根据等腰直角三角形的性质可得出NA=NDCF=45。、AD=CD,结合AE=CF可证出

△ADE^ACDF(SAS),根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=/CDF,通过角的计算可得出

NEDF=90。，再根据O为EF的中点、GO=OD,即可得出GD_LEF,且GD=2OD=EF,由此即可证出四边形

EDFG是正方形；

(2)过点D作DE，J_AC于以，根据等腰直角三角形的性质可得出DE，的长度，从而得出2WDEV2加,再

根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值.

【详解】⑴证明:连接CD,如图1所示.

•；AA3C为等腰直角三角形，ZACB=90.

D是AB的中点，

ZA=ZDCF=45°,AD=CD

在MDE和ACDF中AE=CF•NA=ZDCF-AD=CD,

AADE=ACDF(SAS),

DE=DF,ZADE=ZCDF,

NADE+NEDC=90°，

•••ZEDC+ZCDF=ZEDF=90°.

.••△EDF为等腰直角三角形.

•；O为EF的中点，GO=OD,

AGD1EF,且GD=2OD=EF,

四边形EDFG是正方形；

（2）解:过点D作DE_LAC于E’,如图2所示.

图2

：AA3C为等腰直角三角形，NACB=90°,AC=BC=4,

•••DE'=2,AB=40,点E，为AC的中点,

2<DE<2V2（点E与点E，重合时取等号）.

4<S四边形BDFG=DE<8

...当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是:

（1）找出GD1.EF且GD=EF；（2）根据正方形的面积公式找出4/S四娜EDFG<8.

23.如图1,在中，ZA=90°,AB=AC,点。，E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接。C,点

M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是,位置关系是；

（2）探究证明：把△AOE绕点4逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断的形状,

并说明理由；

（3）拓展延伸：把△AQE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大

值.

49

【答案】（1）PM=PN,PMLPN；（2）△2〃代是等腰直角三角形.理由见解析；（3）SAPMN2.

2

【解析】

【分析】（1）由已知易得3O=CE,利用三角形的中位线得出PM=」CE,PN=LBD,即可得出数

22

量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出NDPM=N0CA，最后用互余即可得出位置关系；

（2）先判断出AABOMMCE,得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=LB。，PN=-BD,即可

22

得出尸M=PN,同（1）的方法由NMPN=NDCE+NDC3+ND3C=NACB+NA3C,即可得出结论；

（3）方法1：先判断出MN最大时，APMN的面积最大，进而求出AN,AM，即可得出MN最大

^AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BO最大时，APMN的面积最大，而BD

最大是AB+AP=14，即可得出结论.

【详解】解：（1）•••点P，N是BC,CO的中点，

:.PNHBD,PN=>BD,

2

•••点P，M是CO，OE的中点，

:.PM//CE,PM=-CE,

2

-.AB=AC,AD^AE，

BD=CE,

PM=PN,

\-PNHBD,

:.ADPN=ZADC,

-,-PM//CE,

：.ADPM=NDCA,

•.•NBAC=90。，

:.ZADC+ZACD^90°,

：.AMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90°,

PMVPN,

故答案为：PM=PN,PM1PN；

（2）APMN是等腰直角三角形.

由旋转知，ZBAD=ZCAE,

-.AB=AC,AD^AE，

AABD=MCE（SAS）,

.-.ZABD^ZACE,BD=CE,

利用三角形的中位线得，PN=-BD,PM=-CE,

22

：.PM=PN,

”MN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PMHCE,

：.ZDPM=ZDCE,

同(1)的方法得，PNHBD,

：.4PNC=4DBC,

4DPN=NDCB+NPNC=/DCB+NDBC，

ZMPN=ZDPM+4DPN=ZDCE+ZDCB+NDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

-.-ZBAC=90°,

:.ZACB+ZABC=90°,

.•.ZMPN=90°,

"MN是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2,同（2）的方法得，APMN是等腰直角三角形,

.'MN最大时，APMV的面积最大，

DEI/BC昱£>£在顶点A上面，

MN最大=AM+AN,