微专题03 解三角形-2025年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分方案

PAGE1微专题03解三角形【秒杀总结】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．【典型例题】例1．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．(1)求角的大小；(2)若时，求面积的最大值．【解析】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，当且仅当时取等，因此的面积，所以当时，面积取得最大值.例2．（2024·广东湛江·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．【解析】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范围为.例3．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为.(1)求的值；(2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，即，故，即，结合，得；（2）由于平分，故，故，而，即得,设，则，即，则，故，当，即时，取到最大值，最大值为3；又，满足，当无限趋近于1或2时，无限趋近于0，故的面积的取值范围为.例4．（2024·山西吕梁·统考一模）设的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)设的角平分线交于点，求的最小值．【解析】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由题意可得，即当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.例5．（2024·广东佛山·统考模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．(1)求角的大小；(2)如图，为外一点，，，求的最大值．【解析】（1）因为，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因为，化简可得，而，则，又，则（2）在中，由可得，在中，由可得，所以，设，由余弦定理，，可得，，因此，当且仅当时，即等号成立，所以的最大值为，此时.例6．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求；(2)若，连接，求的值．【解析】（1）由题意，得，整理，得，所以，所以，解得．又，所以；（2）方法一：根据正弦定理，得，所以．由，知是边的中点，在中，由余弦定理，得；方法二：根据正弦定理，得，所以，由，得，又，所以，所以．例7．（2024·福建漳州·统考模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.(1)若，，求的面积；(2)若，求的最大值.【解析】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.在中，，则，解得.又，所以；在中，，，，所以.（2）设，.又，所以.因为，所以.在中，，由正弦定理得，即，解得.在中，，由正弦定理得，即，解得，所以.又，所以，当且仅当，即时，取得最大值1，所以的最大值为.【过关测试】1．（2024·河南安阳·统考一模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)证明：；(2)若，求的值．【解析】（1）证明：由正弦定理及条件可得，由余弦定理可得，化简得．（2）由得，化简得，又，故，所以，故．2．（2024·湖北·校联考模拟预测）在中，已知，D为的中点.(1)求A；(2)当时，求的最大值.【解析】（1），，即，，即.或，当时，，由，有，即时.当时，（舍）..（2）设，，由（1）及余弦定理有，即.，即，当且仅当时等号成立.由D为边的中点有，，当且仅当时等号成立.，当且仅当时等号成立.的最大值为.3．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考一模）在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.(1)求角A；(2)若，求的取值范围.【解析】（1）∵，∴.∵，∴，又∵，∴.（2）∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即的取值范围为.4．（2024·山东日照·统考一模）在锐角中，角A，B，C．所对的边分别为a，b，c．已知且，(1)求角B及边b的大小；(2)求的值．【解析】（1）依题意，，由正弦定理得，由于锐角三角形中，所以，而是锐角，所以.由余弦定理得.（2）由余弦定理得，而是锐角，所以，所以..5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线长.【解析】（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依题意，，解得，又，所以为钝角，所以由,解得，由正弦定理可得，又，所以，设的中点为，则，所以，所以边上的中线长为.6．（2024·江西·新余市第一中学校联考一模）在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，．(1)若，求c；(2)若，求的值．【解析】（1）由题可得：，故又，即，，即在中，根据余弦定理得即，即，（2），，即又，①又②，由①②得：7．（2024·四川·校联考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.(1)求角；(2)若的角平分线交于，求的长.【解析】（1）解法一：由及正弦定理，可得.又，所以.又在中，，故，,所以.解法二：由及余弦定理，可得.即，所以.,所以.（2）由（1）知.又，所以.所以.8．（2024·云南大理·统考模拟预测）如图所示，在平行四边形中，有：.(1)求的大小；(2)若，求平行四边形的面积.【解析】（1）由题意得，由正弦定理得，，又，则，（2）在平行四边形中，，在中，由余弦定理得，，即解得：或，当时，平行四边形的面积：当时，平行四边形的面积：.9．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．(1)求角A的大小；(2)若，求面积的最大值，并求当面积取得最大值时对应的周长．【解析】（1）由，得．由余弦定理得：，．（2）方法一：因为，，由余弦定理得，当且仅当时取等，，所以的面积：，此时，的周长为12．方法二：，，由正弦定理得，的面积，，又，，当时，面积最大值为．此时，，于是的周长为12．10．（2024·广东茂名·统考一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知.(1)求的值；(2)若为的中点，且，求的最小值.【解析】（1）由正弦定理及，得，又，所以，又，∴，∴，即，又，∴.（2）由为的中点，得，而，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.11．（2024·湖南长沙·统考一模）在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足.

(1)证明：；(2)如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？【解析】（1）因为，由正弦定理可得，再由余弦定得得，整理得.（2）因为互补，所以，结合余弦定理可得，因为，，则，整理得，又，则，从而，故为定值.12．（2024·云南曲靖·统考一模）在中，内角的对边分别为，且．(1)求；(2)线段上一点满足，求的长度．【解析】（1）由题设及余弦定理知：，所以，又，，所以.（2）由题设，且，，在中，则，在中，则，综上，可得，则，故.13．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）如图，在四边形中，为的中点，，，，(1)求；(2)若，，求.【解析】（1）因为，，，为的中点，所以在中，，所以，所以，在中，，所以，.（2）因为，所以，所以，所以，在中，，所以14．（2024·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)若，点在内，，，求．【解析】（1）由正弦定理，可将化为，即．因为，所以．即，即．所以或．所以或．又，即，所以，即．所以，则为直角三角形．（2）因为，所以．因为，所以．在中，，所以．所以．在Rt中，，所以．在中，设，则．由正弦定理，知，即．化简，得．所以．因为，所以．15．（2024·全国·校联考模拟预测）在锐角中，角、、所对的边分别为，，，有．(1)证明：；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）由及余弦定理，得，由正弦定理边化角，得，而，即，，整理得，由是锐角三角形，得，所以，即.（2）由（1）知，，则，由正弦定理角化边得，又是锐角三角形，则，解得，，因此，所以的取值范围为.16．（2024·全国·模拟预测）在中，已知．(1)若，证明：为直角三角形；(2)若，求的面积．【解析】（1）证明：因为所以在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：．因为，所以,则.因为，所以，所以．不妨令，由，得，即.所以，解得：，即所以为直角三角形．（2）当时，为的中点.则.设，由（1）可知，所以，所以，即，所以．因为，即，所以，则.所以．17．（2024·浙江嘉兴·嘉兴一中校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.(1)求角A；(2)作角A的平分线与交于点，且，求.【解析】（1）因，由正弦定理可得：，即.因，故，则有，即，因，故.（2）因为为角平分线，所以，所以.因，，，则，即，所以.又由余弦定理可得：，把，分别代入化简得：，解得：或（舍去），所以.18．（2024·湖南邵阳·统考一模）在中，角所对的边分别为，向量，向量，且.(1)求证：；(2)延长至点，使得.当最大时，求的值.【解析】（1）因为，所以，即.又，所以，.整理可得.再由正弦定理得：，结合，可得，.即.显然，两边同时除以可得，，即.（2）如图：设，则.因为，所以，则.故.因为，当且仅当，即时取等号.所以，.此时，所以，故为等边三角形，即.19．（2024·山东泰安·新泰市第一中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为.若.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【解析】（1）因为，整理得，所以，由正弦定理得：，因为，所以，所以.（2）因为为锐角三角形，，所以，且，所以，解法，因为，所以，所以，即的取值范围是.解法，因为，所以，得，所以，即的取值范围是.20．（2024·全国·模拟预测）在中，分别为角，，所对的边，点为的中点．(1)若，，，求的值；(2)若，求的值．【解析】（1）在中，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，则．又，则．在中，由正弦定理得①；在中，由正弦定理得②；由①②得，所以．所以．因为，有意义，所以，．所以．21．（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象．(1)设，，当时，求的值域；(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，，，求内切圆半径r的值．【解析】（1）由题意知，所以，，所以，因为，，所以，所以．又，令，则．当时，是减函数，是增函数，所以是减函数，且则在是增函数，当趋向0，趋向1，当趋向1，趋向正无穷，所以函数的值域是；（2）因为．且，则，所以．因为由正弦定理，，得．又，所以，即．所以，，．所以．由，得，解得．所以内切圆半径的值为.22．（2024·全国·模拟预测）在“①；②；③”这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角所对的边分别为，且______．(1)求角的大小；(2)若表示内切圆的半径，求的最大值．【解析】（1）选择①：由正弦定理，得，所以，即．又，所以，且．所以．又，所以．选择②：由正弦定理，得．又，所以，．所以．即．又，所以．又，所以，即．选择③：由正弦定理，得．所以，即．又，所以．所以．因为，所以．（2）由余弦定理，得，所以．设的周长为，面积为，则，．所以内切圆的半径．将式代入上式，得．因为，所以由式可得，即（当且仅当时取得等号）．所以的最大值为．23．（2024·全国·模拟预测）在中，角的对边分别为，．(1)求角B的大小．(2)若，是否存在正整数b，使得是锐角三角形？若存在，求出b的最小值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为，由正弦定理，得．因为，所以．所以．因为B是三角形的内角，所以；（2）因为，，所以当且仅当A为锐角时，△ABC是锐角三角形．由余弦定理，得，所以（*）．又，代入（*），得．因为，，所以．所以，即．所以存在正整数b，使得△ABC是锐角三角形，且正整数b的最小值为4．24．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b