2025届河南省新乡市高三上学期第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新乡市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】，.故选：A.2.函数的图象在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.故选：D3.为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（）A.127 B.136 C.133 D.138【答案】D【解析】该班共有人，因为，所以中位数在区间内，设为，则，解得.故选：D.4.若函数的定义域分别为，且，则（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】由题意，因为，所以，解得，所以故选：A.5.若直线与圆的两个交点为，且，则（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】圆的圆心，半径，由题意圆心到直线的距离，则，解得或.故选：B.6.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，当时，，由在区间上恰有5个零点，得，解得.故选：B7.“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（）A.立方分米 B.立方分米 C.7立方分米 D.立方分米【答案】D【解析】如图，在正三棱台中，，将棱台补全为正三棱锥，设为底面的中心，连接，则平面，而平面，所以，因为，所以，，所以，则正三棱台的高，该正三棱台的上底面面积，下底面面积，所以该正三棱台储物凳的储物容积.故选：D.8.当，且有且只有一个为0时，，则（）A.既无最大值，也无最小值 B.的最大值为4，最小值为2C.的最大值为无最小值 D.的最小值为无最大值【答案】A【解析】在中，由有且只有一个为0，当时，则，而，则，，因此，即，同理，所以，既无最大值，也无最小值.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则以下等式可能成立的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，当时，，所以不可能成立，故A错误；对于B，由，得，则，则可能成立，故B正确；对于C，取，此时，则可能成立，故C正确；对于D，由，得，则则，则不可能成立，故D错误.故选：BC.10.已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.点的纵坐标之积与有关 D.若（为坐标原点），则【答案】ABD【解析】设，对于A，若，则直线，联立，得，则，所以，故A正确；对于B，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，不妨设，则，则，故B正确；对于C，易得直线的斜率不为零，设，联立，得，则为定值，所以点的纵坐标之积与无关，故C错误；对于D，由，得，即，即，由，得，，因为点在轴的上方，所以，则，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（）A.平面 B.长可能为3C. D.点在半径为的球面上【答案】ACD【解析】对于A，取的中点，连接，则，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，设的中点为，连接，由题意四边形为直角梯形，则，因为，所以点在以为球心，为半径的球面上运动（不过平面），则，故B错误；对于C，，因为不共线，所以，所以，故C正确；对于D，设的中点为，连接，则，所以点在以为球心，为半径的球面上运动，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若椭圆的离心率为，则______，______．【答案】①②.【解析】因为椭圆的离心率为，所以，所以，，.故答案为：；.13.在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为______，此时的周长为______．【答案】①.8②.【解析】由和正弦定理可得，故,，，故,当且仅当，即时取等号，，故，此时周长为，故答案为：8，14.如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有______种．【答案】401【解析】如图，当路线经过点时，从到有1种，从到有种；当路线经过点时，从到有种，从到有种；当路线经过点时，从到有种，从到有种；当路线经过点时，从到有种，从到有种；当路线经过点时，从到有种，从到有1种，所以不同的走法共有（种）.故答案为：401四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数．（1）求的单调区间；（2）比较与的大小；（3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．解：（1），当时，，当，，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）因为，所以；（3）因为关于的不等式的解集为，则只需要即可，由（1）得，所以，解得，所以的取值范围为．16.如图，在中，，将沿折起得到四棱锥，且平面平面．（1）证明：四棱锥的高为．（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）证明：依题意，则，因为，所以，所以和都是边长为的正三角形，取的中点，连接，则，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以即为四棱锥的高，所以四棱锥的高为；（2）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，可取，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响．（1）求甲同学初赛被淘汰的概率；（2）已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望．解：（1）若甲同学初赛不被淘汰，则他答对中级编程题的数量至少为，则甲同学初赛不被淘汰的概率为，所以甲同学初赛被淘汰的概率为；（2）由题意可取，则，，，，，，，所以的分布列为：故.18.已知双曲线的左、右焦点分别为，且．（1）求的渐近线方程．（2）点为的左支上一点，且．分别为的左、右顶点，过点的直线交的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点．①求直线的方程；②证明：点到直线的距离为定值．解：（1）由题意可知，解得，则，所以双曲线，所以的渐近线方程为；（2）①设，则，由余弦定理得，即，解得（负根舍去），所以，所以，则，所以直线的方程为；②证明：易知直线的斜率不为零，则可设直线的方程为，设，联立，得，Δ=则，由题意得且，所以，则直线，直线，联立可得，解得，故动点在直线上，所以点到直线的距离为，所以点到直线的距离为定值.19.在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和．（1）求点的坐标；（2）设，求数列的前项和；（3）若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根．解：（1）因为点列的特征根为和，所以点列的特征方程为，所以，则，即，所以，所以的坐标为，由，得，即，所以，所以的坐标为；（2）由（1）知，，所以；（3）因为，所以，所以，设，则，，，设，则①，②，由①②得，即，将代入②得，因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数，所以，又，所以，得，又，所以点列的特征方程为，特征根为和.河南省新乡市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】，.故选：A.2.函数的图象在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.故选：D3.为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（）A.127 B.136 C.133 D.138【答案】D【解析】该班共有人，因为，所以中位数在区间内，设为，则，解得.故选：D.4.若函数的定义域分别为，且，则（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】由题意，因为，所以，解得，所以故选：A.5.若直线与圆的两个交点为，且，则（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】圆的圆心，半径，由题意圆心到直线的距离，则，解得或.故选：B.6.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，当时，，由在区间上恰有5个零点，得，解得.故选：B7.“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（）A.立方分米 B.立方分米 C.7立方分米 D.立方分米【答案】D【解析】如图，在正三棱台中，，将棱台补全为正三棱锥，设为底面的中心，连接，则平面，而平面，所以，因为，所以，，所以，则正三棱台的高，该正三棱台的上底面面积，下底面面积，所以该正三棱台储物凳的储物容积.故选：D.8.当，且有且只有一个为0时，，则（）A.既无最大值，也无最小值 B.的最大值为4，最小值为2C.的最大值为无最小值 D.的最小值为无最大值【答案】A【解析】在中，由有且只有一个为0，当时，则，而，则，，因此，即，同理，所以，既无最大值，也无最小值.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则以下等式可能成立的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，当时，，所以不可能成立，故A错误；对于B，由，得，则，则可能成立，故B正确；对于C，取，此时，则可能成立，故C正确；对于D，由，得，则则，则不可能成立，故D错误.故选：BC.10.已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.点的纵坐标之积与有关 D.若（为坐标原点），则【答案】ABD【解析】设，对于A，若，则直线，联立，得，则，所以，故A正确；对于B，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，不妨设，则，则，故B正确；对于C，易得直线的斜率不为零，设，联立，得，则为定值，所以点的纵坐标之积与无关，故C错误；对于D，由，得，即，即，由，得，，因为点在轴的上方，所以，则，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（）A.平面 B.长可能为3C. D.点在半径为的球面上【答案】ACD【解析】对于A，取的中点，连接，则，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，设的中点为，连接，由题意四边形为直角梯形，则，因为，所以点在以为球心，为半径的球面上运动（不过平面），则，故B错误；对于C，，因为不共线，所以，所以，故C正确；对于D，设的中点为，连接，则，所以点在以为球心，为半径的球面上运动，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若椭圆的离心率为，则______，______．【答案】①②.【解析】因为椭圆的离心率为，所以，所以，，.故答案为：；.13.在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为______，此时的周长为______．【答案】①.8②.【解析】由和正弦定理可得，故,，，故,当且仅当，即时取等号，，故，此时周长为，故答案为：8，14.如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有______种．【答案】401【解析】如图，当路线经过点时，从到有1种，从到有种；当路线经过点时，从到有种，从到有种；当路线经过点时，从到有种，从到有种；当路线经过点时，从到有种，从到有种；当路线经过点时，从到有种，从到有1种，所以不同的走法共有（种）.故答案为：401四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数．（1）求的单调区间；（2）比较与的大小；（3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．解：（1），当时，，当，，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）因为，所以；（3）因为关于的不等式的解集为，则只需要即可，由（1）得，所以，解得，所以的取值范围为．16.如图，在中，，将沿折起得到四棱锥，且平面平面．（1）证明：四棱锥的高为．（2）求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）证明：依题意，则，因为，所以，所以和都是边长为的正三角形，取的中点，连接，则，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以即为四棱锥的高，所以四棱锥的高为；（2）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，可取，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17.某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答