2024-2025学年广东省清远市清新区四校高二上学期12月期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省清远市清新区四校2024-2025学年高二上学期12月期末联考数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（）A. B. C.－2 D.2【答案】B【解析】故故选：B2.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可知，，即，由四边形的周长为12得，，即，所以，所以椭圆，则，设Ax1,y1所以四边形的面积为，故选：A．3.已知直线：与抛物线相交于A、B两点，则的长为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为，又由直线，可得直线过抛物线的焦点，设，根据抛物线的定义可得所以，又由，整理得，则，所以．故选D．4.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以，所以抛物线焦点坐标为，故选：D.5.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则，所以在上恒成立.又因为在上单调递增，所以当时，故.故选：D.6.已知函数的图象在处的切线方程为，则（）A.的单调递减区间为，单调递增区间为B.的单调递减区间为，单调递增区间为C.的单调递减区间为，单调递增区间为D.的单调递减区间为，单调递增区间为【答案】B【解析】因为，则，由已知可得，解得，所以，.由，得；由，得．故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．故选：B.7.已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】D【解析】由题意得点的轨迹为焦点为，准线方程为的抛物线，设抛物线的方程为，，则，解得，故抛物线方程为，当时，，则，故选：D.8.点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】∵点在直线上，∴设，利用点到直线的距离公式得：，解得：或，∴点的坐标为或.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每题至少两项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由题意设，，所以，在中，如图所示，有两种情况：故圆心C的坐标为或，故所求圆标准方程为故选：AB.10.已知点P在圆C：上，点A（4，0），B（0，2），当∠PBA最小时，记直线PB斜率为k1，当∠PBA最大时，记直线PB的斜率为k2，则（）A. B.C.三角形PAB的面积小于 D.三角形PAB的面积大于【答案】ABC【解析】过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，当∠PBA最大时，点P与Q重合，A．设l：，即当l与圆M相切时，由韦达定理，故A正确；B．由选项A得，，故B正确；C．，，由题易知直线AB的方程为，即，则圆心M到直线AB的距离，所以直线AB与圆M相离，到直线的距离记为h，所以点P到直线AB的距离的最大值为，，，C正确；D．点P到直线AB的距离的最小值为，，面积最小值，故D错误．故选：ABC．11.下列说法正确的是（）A.过点且垂直于直线的直线方程为B.过点且在x、y轴截距相等的直线方程为C.曲线过点的最短弦长为；D.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围【答案】AC【解析】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，即，对；B：若截距不为0时，令直线为，则，此时直线方程为，错；C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对；D：由过定点，是圆上半部分，如下图，当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得，当动直线过半圆左侧端点时，即，结合图知，，D错.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，试用表示经过两点直线的倾斜角_____．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，∵，则，∴，又∵，则，∴.故答案为：.13.已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比__________．【答案】【解析】由可得，故或，若故，若，则，故答案为：.14.若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程是__________.【答案】【解析】∵，∴该椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为：；∵双曲线的一条渐近线方程为，∴设双曲线的方程为，即，∵双曲线与有相同的焦点，∴，∴，∴双曲线的方程为．故答案为.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，AB的中点.（1）证明：平面；（2）求直线CE与平面所成角正弦值.解：（1）取的中点，连接，，因为F，G分别为，的中点，所以，，又E为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令得，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为.16.已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点.（1）求线段的中点的轨迹方程；（2）经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上.解：（1）由题意，令，联立抛物线得，若，则，，所以，而线段的中点坐标为，所以中点的轨迹方程.（2）令，，同（1）可得，，由且，则，即，可设，令，则，即，所以，，若，即，所以所以，，，显然与矛盾，综上，不成立，故，即，，在同一条直线上.17.点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A,B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K．（1）求抛物线的方程；（2）设C,D是抛物线上异于A,B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E,G,K三点共线．解：（1）由题意，得，因为，轴，不妨设，代入抛物线，得，所以抛物线的方程为；（2）由（1）知：，准线为，，设直线AC为①，直线BD为②，联立①②，解得，即，直线AD为③，直线BC为④，联立③④，解得，即，直线EK的斜率，直线GK的斜率，则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，所以E、G、K三点共线.18.如图,三棱锥中,平面平面,,点分别是棱的中点，点是的重心.（1）证明：平面；（2）若为正三角形，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）连接，连接并延长交于点，则点为的中点，从而点分别是棱的中点，又平面平面，平面平面.又平面，平面平面，又平面平面.（2）连接是的中点，，平面平面，平面平面，平面平面.连接并延长交于点，则为的中点，连接，则平面.为正三角形同理可得面，则如图建立空间直角坐标系设.，则.，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面的一个法向量为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．（1）求椭圆的方程：（2）过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．求面积的最大值及此时的斜率．解：（1）设椭圆上的点坐标为，，则点D到焦点距离为，当时，取得最大值，由题意知：∴，∴椭圆C的方程为．（2）显然，直线的斜率存在，设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程得：，原点到直线的距离为，所以，令，．∴，当且仅当时等号成立，此时，且满足，∴面积的最大值是，此时的斜率为．广东省清远市清新区四校2024-2025学年高二上学期12月期末联考数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（）A. B. C.－2 D.2【答案】B【解析】故故选：B2.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可知，，即，由四边形的周长为12得，，即，所以，所以椭圆，则，设Ax1,y1所以四边形的面积为，故选：A．3.已知直线：与抛物线相交于A、B两点，则的长为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为，又由直线，可得直线过抛物线的焦点，设，根据抛物线的定义可得所以，又由，整理得，则，所以．故选D．4.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以，所以抛物线焦点坐标为，故选：D.5.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，则，所以在上恒成立.又因为在上单调递增，所以当时，故.故选：D.6.已知函数的图象在处的切线方程为，则（）A.的单调递减区间为，单调递增区间为B.的单调递减区间为，单调递增区间为C.的单调递减区间为，单调递增区间为D.的单调递减区间为，单调递增区间为【答案】B【解析】因为，则，由已知可得，解得，所以，.由，得；由，得．故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．故选：B.7.已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】D【解析】由题意得点的轨迹为焦点为，准线方程为的抛物线，设抛物线的方程为，，则，解得，故抛物线方程为，当时，，则，故选：D.8.点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】∵点在直线上，∴设，利用点到直线的距离公式得：，解得：或，∴点的坐标为或.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每题至少两项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由题意设，，所以，在中，如图所示，有两种情况：故圆心C的坐标为或，故所求圆标准方程为故选：AB.10.已知点P在圆C：上，点A（4，0），B（0，2），当∠PBA最小时，记直线PB斜率为k1，当∠PBA最大时，记直线PB的斜率为k2，则（）A. B.C.三角形PAB的面积小于 D.三角形PAB的面积大于【答案】ABC【解析】过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，当∠PBA最大时，点P与Q重合，A．设l：，即当l与圆M相切时，由韦达定理，故A正确；B．由选项A得，，故B正确；C．，，由题易知直线AB的方程为，即，则圆心M到直线AB的距离，所以直线AB与圆M相离，到直线的距离记为h，所以点P到直线AB的距离的最大值为，，，C正确；D．点P到直线AB的距离的最小值为，，面积最小值，故D错误．故选：ABC．11.下列说法正确的是（）A.过点且垂直于直线的直线方程为B.过点且在x、y轴截距相等的直线方程为C.曲线过点的最短弦长为；D.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围【答案】AC【解析】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为，即，对；B：若截距不为0时，令直线为，则，此时直线方程为，错；C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对；D：由过定点，是圆上半部分，如下图，当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得，当动直线过半圆左侧端点时，即，结合图知，，D错.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，试用表示经过两点直线的倾斜角_____．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，∵，则，∴，又∵，则，∴.故答案为：.13.已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比__________．【答案】【解析】由可得，故或，若故，若，则，故答案为：.14.若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程是__________.【答案】【解析】∵，∴该椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为：；∵双曲线的一条渐近线方程为，∴设双曲线的方程为，即，∵双曲线与有相同的焦点，∴，∴，∴双曲线的方程为．故答案为.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，AB的中点.（1）证明：平面；（2）求直线CE与平面所成角正弦值.解：（1）取的中点，连接，，因为F，G分别为，的中点，所以，，又E为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令得，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为.16.已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点.（1）求线段的中点的轨迹方程；（2）经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上.解：（1）由题意，令，联立抛物线得，若，则，，所以，而线段的中点坐标为，所以中点的轨迹方程.（2）令，，同（1）可得，，由且，则，即，可设，令，则，即，所以，，若，即，所以所以，，，显然与矛盾，综上，不成立，故，即，，在同一条直线上.17.点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线