2025届贵州省部分学校高三上学期12月联考考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省部分学校2025届高三上学期12月联考考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A2.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又，所以．故选：D.3.在矩形中，，，则矩形的面积为（）A.5 B.10 C.20 D.25【答案】B【解析】由四边形为矩形，得；由，得，解得，从而，所以，，所以矩形的面积为．故选：B．4.某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，所以，解得，因为，所以，得，所以圆锥的高为，所以圆锥的轴截面的面积是，故选：C.5.设为等差数列的前项和，已知，，则（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列，且，，可知首项为4，公差为2，所以.故选：B.6.若函数单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，即对任意恒成立，即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），所以.故选：D7.如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为.故选：B.8.已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，，，，，为锐角，当圆的面积取最大值时最大，而，所以，因为点在线段（）上，所以，故，即圆半径的最大值为，所以圆的面积的最大值为，故选：D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分）9.设函数，若在有且仅有5个极值点，则（）A.在有且仅有3个极大值点 B.在有且仅有4个零点C.的取值范围是 D.在上单调递增【答案】AD【解析】作出的草图如下：的极值点满足，即，因为在有且仅有5个极值点，所以，则需，且，解得，故C错误；因为，则由图可知时，是在0,π上的第一个极大值点，根据正弦型三角函数的图像规律可知，极大值点与极小值点总是交替出现的，时是的两个极大值点，另外两个为极小值点，故A正确；如图可知，在点之前已有4个零点，也可能落在点的右侧，从而使在0,π上有5个零点，故B错误；当时，的周期最小，此时第一个极大值点为，而在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：AD10.已知正方体的棱长为，经过棱上中点E作该正方体的截面，且，与棱和棱AD的交点分别为F，G，截面将正方体分为，两个多面体，则（）A.直线与所成角的正切值为B.截面为五边形C.截面的面积为D.多面体，内均可放入体积为的球【答案】AC【解析】取AD的中点M，连接GM，FM，则，则直线FG与所成角即为直线FG与GM所成角．中，，，则，即直线FG与所成角的正切值为，所以A选项正确；分别取，，的中点H，N，Q，连接EN，NG，GH，HF，FQ，QE，易证正六边形GNEQFH即为截面，又正方体的棱长为，所以正六边形的边长为2，所以其面积为，所以B选项不正确，C选项正确；对于D选项，根据对称性，可知多面体，是两个完全相同的多面体，不妨设多面体内能放入最大球的球心为O，则，球O与截面相切于正方体的中心S，且球O也与以C为顶点的三个面均相切，以C为坐标原点，CD，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，又，则，解得，，所以，所以不能放入体积为的球，所以D选项不正确．故选：AC．11.抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则（）A.点在直线上 B.点在直线上的投影是定点C.以为直径的圆与直线相切 D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于，依题意焦点的坐标为0,2，准线为直线：，不妨设Ax1,y1，Bx联立与，得，从而，，，，由题意，所以，故抛物线过点，的切线方程分别为，，解得点的坐标为，故错误；对于，因为，，所以，所以，即点在直线上的投影是点（定点），故选项正确；对于，可证，，因此，即以为直径的圆与直线相切，选项正确；对于选项，因为，，从而，令，由函数在上单调递增，所以当，即时，函数取最小值，故正确.故选：.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在的展开式中，不含字母的项为_________．【答案】【解析】由条件可知不含字母的项为．故答案为：.13.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．【答案】①.42②.【解析】根据新定义可得，，因为正因数，所以故答案为：；14.设函数，若为奇函数，则曲线过点的切线方程为______．【答案】和【解析】因为为奇函数，，得，，，设切点，则切线方程为，又切线过点，代入得解得或．当时，切点为，切线方程为；当时，切点为，切线方程为．故答案为：和四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列为等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，求证：．（1）解：设等差数列的公差为，则，解得：，（2）证明：由（1）得：，，，.16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．解：（1）∵，根据正弦定理得，，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以．（2）因为，，，根据余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．17.正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中．（1）求证；（2）已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有，，，，，，，，，．故，所以．（2）解：设平面ABCD的法向量为，设平面的法向量为，，，则有，即，令，则．又题意可得，可得．因为，经过计算可得，，．将代入，可得平面的法向量．设直线DP与平面所成角的为θ．18.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且M经过点的焦距为4.（1）求M和的方程;（2）如图，过点T(0，1)的直线l(斜率大于0)与双曲线M和N的左、右两支依次相交于A,B,C,D,若求直线l的方程.解：（1）因为,的焦距为4,所以，，所以，渐近线相同，可设为，代入，，所以（2）设直线l的方程为，由化简可得：，，时，，，时，，，所以,同理因为，所以，所以.又因为所以所以则，由，解得：，由可知，,所以直线l的方程为：.19.已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；（2）若集合具有“包容”性，求的值；（3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C．解：（1）集合中的，，所以集合不具有“包容”性．集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性．（2）已知集合具有“包容”性，记，则，易得，从而必有，不妨令，则，且，则，且，①当时，若，得，此时具有包容性；若，得，舍去；若，无解；②当时，则，由且，可知b无解，故．综上，．（3）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数，不妨设，其中，，，根据题意，且，从而或．当时，，并且由，得，由，得，由上可得，并且，综上可知；②当时，同理可得．综上，C中有6个元素，且时，符合条件集合C有5个，分别是，，，或．贵州省部分学校2025届高三上学期12月联考考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A2.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又，所以．故选：D.3.在矩形中，，，则矩形的面积为（）A.5 B.10 C.20 D.25【答案】B【解析】由四边形为矩形，得；由，得，解得，从而，所以，，所以矩形的面积为．故选：B．4.某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，所以，解得，因为，所以，得，所以圆锥的高为，所以圆锥的轴截面的面积是，故选：C.5.设为等差数列的前项和，已知，，则（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列，且，，可知首项为4，公差为2，所以.故选：B.6.若函数单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，即对任意恒成立，即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），所以.故选：D7.如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为.故选：B.8.已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，，，，，为锐角，当圆的面积取最大值时最大，而，所以，因为点在线段（）上，所以，故，即圆半径的最大值为，所以圆的面积的最大值为，故选：D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分）9.设函数，若在有且仅有5个极值点，则（）A.在有且仅有3个极大值点 B.在有且仅有4个零点C.的取值范围是 D.在上单调递增【答案】AD【解析】作出的草图如下：的极值点满足，即，因为在有且仅有5个极值点，所以，则需，且，解得，故C错误；因为，则由图可知时，是在0,π上的第一个极大值点，根据正弦型三角函数的图像规律可知，极大值点与极小值点总是交替出现的，时是的两个极大值点，另外两个为极小值点，故A正确；如图可知，在点之前已有4个零点，也可能落在点的右侧，从而使在0,π上有5个零点，故B错误；当时，的周期最小，此时第一个极大值点为，而在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：AD10.已知正方体的棱长为，经过棱上中点E作该正方体的截面，且，与棱和棱AD的交点分别为F，G，截面将正方体分为，两个多面体，则（）A.直线与所成角的正切值为B.截面为五边形C.截面的面积为D.多面体，内均可放入体积为的球【答案】AC【解析】取AD的中点M，连接GM，FM，则，则直线FG与所成角即为直线FG与GM所成角．中，，，则，即直线FG与所成角的正切值为，所以A选项正确；分别取，，的中点H，N，Q，连接EN，NG，GH，HF，FQ，QE，易证正六边形GNEQFH即为截面，又正方体的棱长为，所以正六边形的边长为2，所以其面积为，所以B选项不正确，C选项正确；对于D选项，根据对称性，可知多面体，是两个完全相同的多面体，不妨设多面体内能放入最大球的球心为O，则，球O与截面相切于正方体的中心S，且球O也与以C为顶点的三个面均相切，以C为坐标原点，CD，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，又，则，解得，，所以，所以不能放入体积为的球，所以D选项不正确．故选：AC．11.抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则（）A.点在直线上 B.点在直线上的投影是定点C.以为直径的圆与直线相切 D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于，依题意焦点的坐标为0,2，准线为直线：，不妨设Ax1,y1，Bx联立与，得，从而，，，，由题意，所以，故抛物线过点，的切线方程分别为，，解得点的坐标为，故错误；对于，因为，，所以，所以，即点在直线上的投影是点（定点），故选项正确；对于，可证，，因此，即以为直径的圆与直线相切，选项正确；对于选项，因为，，从而，令，由函数在上单调递增，所以当，即时，函数取最小值，故正确.故选：.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在的展开式中，不含字母的项为_________．【答案】【解析】由条件可知不含字母的项为．故答案为：.13.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．【答案】①.42②.【解析】根据新定义可得，，因为正因数，所以故答案为：；14.设函数，若为奇函数，则曲线过点的切线方程为______．【答案】和【解析】因为为奇函数，，得，，，设切点，则切线方程为，又切线过点，代入得解得或．当时，切点为，切线方程为；当时，切点为，切线方程为．故答案为：和四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列为等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）数列满足，数列的前项和为，求证：．（1）解：设等差数列的公差为，则，解得：，（2）证明：由（1）得：，，，.16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B；（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．解：（1）∵，根据正弦定理得，，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以．（2）因为，，，根据余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．17.正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中．（1）求证；（2）已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有，，，，