2025届安徽省鼎尖教育联盟高三上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省鼎尖教育联盟2025届高三上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，，即故选：.2.复数满足，则A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以，故选D.3.已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（）A.1 B. C.3 D.【答案】C【解析】，则，则，曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得.故选：C4.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以，又，则，，即，所以，因为，所以，，由，可得，即，符合题意，故选：C.5.已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在0,+∞上单调递减，所以，解得，即，所以则a的取值范围为，故选：.6.在锐角中，内角的对边分别为a，b，c，，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】由题意可知，，，，，，，.故选：B.7.在四棱锥中，底面为正方形，，，平面平面，则下列说法错误的是（）A.B.当平面平面时，C.、分别为、的中点，则平面D.四棱锥外接球半径的最小值为【答案】B【解析】对于A选项，因为在四棱锥中，底面为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，所以，，则，A对；对于B选项，若平面平面，则平面与平面所成二面角为，设平面平面，因为，平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，所以，，因为平面，所以，平面，因为、平面，所以，，，所以，平面与平面所成二面角的平面角为，因为，，则，所以，，B错；对于C选项，取的中点，连接、，因为、分别为、的中点，则，因为平面，平面，则平面，因为且，、分别为、的中点，所以，，，即四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面，C对；对于D选项，设四棱锥的外接球球心为，则在平面、平面的射影分别为、，易知四边形为矩形，为外接球半径，所以，所以，仅当、重合时取等号，此时，，D对．故选：B．8.函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，，则，可得，又因为为递增数列，且，所以当，可得.故选：A.即可得结果.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，且，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，故A正确；，故B错误；因，，且，，故C错误；，，令，，时，取得最小值8，所以，故D正确.故选：AD.10.已知函数，，恒成立，则（）A.是偶函数B.在上单调递增C.可以取D.当时，的取值范围是【答案】ABC【解析】对于A，可知为偶函数，故A正确；对于B，又对有，，故，∴fx在0,+∞上单调递增，故对于C，故，令，化为，，故，解得，故，故C正确；对于D，时，，由图可知，，故D错误；故选：ABC.11.（多选）如图，三棱台中，是上一点，，平面，，，则（）A.过点有四条直线与、所成角均为B.平面C.棱上存在点，使平面平面D.若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为，且长度的最小值为【答案】ACD【解析】选项A，由异面直线所成角的定义考察过点的直线，如图，直线是的平分线，即，在过直线且与平面垂直的平面内．把直线绕点旋转，旋转过程中始终保持该直线与的夹角相等，旋转到与平面垂直位置时，直线与的夹角为，因此中间必有一个位置，使得夹角为，以旋转中心，点向上移有一个位置，向下移也有一个位置，同样点（如图，点在的反向延长线上）向上移有一个位置，向下移也有一个位置，共四个位置得四条直线，由于夹角为，这四条直线不重合，再过作这四条直线的平行线，满足题意，故A正确，选项B，因为平面，平面，所以，因此是直角梯形，，则，但，因此与不垂直，从而与平面不垂直，B错；选项C，如下图，由，得，又，即得，所以，又平面，平面，所以平面，过作交于点，是平行四边形，，点在线段上），同理可得平面，又是平面内两相交直线，所以平面//平面，C正确；选项D，因为平面，平面，所以，又，，、平面，所以平面，而平面，所以平面平面，过作，垂足为，由面面垂直的性质定理得平面，在直角梯形中，，所以在直角中，，，与平面所成角的正切值为，即，所以，因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内圆弧，的最小值为，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则______.【答案】－7【解析】因为，，所以，.故答案为：13.表示不超过的最大整数，比如，，...，已知等差数列的通项公式，其前项和为，则使成立的最大整数为________.【答案】63【解析】，，，，即，，时，；时，.故的最大值为63.故答案为：63.14.某同学在同一坐标系中分别画出曲线，曲线，曲线，作出直线，.直线交曲线、于、两点，且在的上方，测得；直线交曲线、于、两点，且在上方，测得.则______.【答案】【解析】，.则由，得，令，，则，又∵，∴，∴，同理，，又∵，∴，则.∴.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.解：（1），故或，当时，不合题意，故；（2），即，，，，故，，故.16.已知函数（1）求函数在区间上的解析式；（2）已知点，点是函数在区间上的图象上的点，求的最小值.解：（1）由题可知在上，，而，所以，即在上，；（2）设，，当且仅当时，取得等号，解得，故最小值为.17.如图，三棱锥中，底面ABC，且，，D为PC的中点，G在线段PB上，且．（1）证明：；（2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值．（1）证明：由于平面ABC，并且平面ABC，因此，由于，且，平面PAC，并且，因此平面PAC，又由于平面PAC，因此，由于，且D为PC的中点，因此，又由于，且，平面PBC，因此平面PBC，由于平面PBC，因此．（2）解：根据题意可知，以点A为原点，以过点A且平行于BC的直线为x轴，AC，AP所在的直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，，，A0,0,0，，所以，由于G在线段PB上，令，且，那么，由于，所以，解得，因此，，所以，，，设平面ADH法向量为，那么，令，则，，所以，设平面ADG的法向量为，那么，令，则，，因此，设平面ADG与平面ADH的夹角为，所以，故平面ADG与平面ADH夹角的余弦值为．18已知函数有两个零点，，函数.（1）解不等式；（2）求实数的取值范围；（3）证明：（1）解：，故为0,+∞上的增函数，由题可知，gx>0，即的解集为1,+∞.（2）解：，当时，f'x<0，为减函数，不符合题意；时，若，f'x<0，函数f若，f'x>0，函数又时，；时，.有两个零点，故，所以；（3）证明：由（2）知：，且，，由（1）知时，，，，故，，化为①，同理：，，可化为②，②+①得：化简得：.19.定义数列为“阶梯数列”：．（1）求“阶梯数列”中，与的递推关系；（2）证明：对，数列为递减数列；（3）证明：．（1）解：由阶梯数列的形式结构可知.（2）证明：由，，所以，，∴，同理，累乘得，即，由，，∴故对为递减数列.（3）证明：，，又对，由（2）知，故，又，，所以，故对，∴，∴，∴，当时，，综上，．安徽省鼎尖教育联盟2025届高三上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，，即故选：.2.复数满足，则A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以，故选D.3.已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（）A.1 B. C.3 D.【答案】C【解析】，则，则，曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得.故选：C4.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以，又，则，，即，所以，因为，所以，，由，可得，即，符合题意，故选：C.5.已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在0,+∞上单调递减，所以，解得，即，所以则a的取值范围为，故选：.6.在锐角中，内角的对边分别为a，b，c，，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】由题意可知，，，，，，，.故选：B.7.在四棱锥中，底面为正方形，，，平面平面，则下列说法错误的是（）A.B.当平面平面时，C.、分别为、的中点，则平面D.四棱锥外接球半径的最小值为【答案】B【解析】对于A选项，因为在四棱锥中，底面为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因为平面，所以，，则，A对；对于B选项，若平面平面，则平面与平面所成二面角为，设平面平面，因为，平面，平面，所以，平面，因为平面，平面平面，所以，，因为平面，所以，平面，因为、平面，所以，，，所以，平面与平面所成二面角的平面角为，因为，，则，所以，，B错；对于C选项，取的中点，连接、，因为、分别为、的中点，则，因为平面，平面，则平面，因为且，、分别为、的中点，所以，，，即四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以，平面，因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面，C对；对于D选项，设四棱锥的外接球球心为，则在平面、平面的射影分别为、，易知四边形为矩形，为外接球半径，所以，所以，仅当、重合时取等号，此时，，D对．故选：B．8.函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，，则，可得，又因为为递增数列，且，所以当，可得.故选：A.即可得结果.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，且，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，故A正确；，故B错误；因，，且，，故C错误；，，令，，时，取得最小值8，所以，故D正确.故选：AD.10.已知函数，，恒成立，则（）A.是偶函数B.在上单调递增C.可以取D.当时，的取值范围是【答案】ABC【解析】对于A，可知为偶函数，故A正确；对于B，又对有，，故，∴fx在0,+∞上单调递增，故对于C，故，令，化为，，故，解得，故，故C正确；对于D，时，，由图可知，，故D错误；故选：ABC.11.（多选）如图，三棱台中，是上一点，，平面，，，则（）A.过点有四条直线与、所成角均为B.平面C.棱上存在点，使平面平面D.若点在侧面上运动，且与平面所成角的正切值为，且长度的最小值为【答案】ACD【解析】选项A，由异面直线所成角的定义考察过点的直线，如图，直线是的平分线，即，在过直线且与平面垂直的平面内．把直线绕点旋转，旋转过程中始终保持该直线与的夹角相等，旋转到与平面垂直位置时，直线与的夹角为，因此中间必有一个位置，使得夹角为，以旋转中心，点向上移有一个位置，向下移也有一个位置，同样点（如图，点在的反向延长线上）向上移有一个位置，向下移也有一个位置，共四个位置得四条直线，由于夹角为，这四条直线不重合，再过作这四条直线的平行线，满足题意，故A正确，选项B，因为平面，平面，所以，因此是直角梯形，，则，但，因此与不垂直，从而与平面不垂直，B错；选项C，如下图，由，得，又，即得，所以，又平面，平面，所以平面，过作交于点，是平行四边形，，点在线段上），同理可得平面，又是平面内两相交直线，所以平面//平面，C正确；选项D，因为平面，平面，所以，又，，、平面，所以平面，而平面，所以平面平面，过作，垂足为，由面面垂直的性质定理得平面，在直角梯形中，，所以在直角中，，，与平面所成角的正切值为，即，所以，因此点轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内圆弧，的最小值为，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则______.【答案】－7【解析】因为，，所以，.故答案为：13.表示不超过的最大整数，比如，，...，已知等差数列的通项公式，其前项和为，则使成立的最大整数为________.【答案】63【解析】，，，，即，，时，；时，.故的最大值为63.故答案为：63.14.某同学在同一坐标系中分别画出曲线，曲线，曲线，作出直线，.直线交曲线、于、两点，且在的上方，测得；直线交曲线、于、两点，且在上方，测得.则______.【答案】【解析】，.则由，得，令，，则，又∵，∴，∴，同理，，又∵，∴，则.∴.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.解：（1），故或，当时，不合题意，故；（2），即，，，，故，，故.16.已知函数（1）求函数在区间上的解析式；（2）已知点，点是函数在区间上的图象上的点，求的最小值.解：（1）由题可知在上，，而，所以，即在上，；（2）设，，当且仅当时，取得等号，解得，故最小值为.17.如图，三棱锥中，底面ABC，且，，D为PC的中点，G在线段PB上，且．（1）证明：；（2）若BG的中点为H，求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值．（1）证明：由于平面ABC，并且平面ABC，因此，由