2023-2024学年浙江省舟山市高二上学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省舟山市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，A正确；，B错误；，C错误；，D错误.故选：A2.若直线与平行，则的值为（）A.0 B.2 C.3 D.2或3【答案】B【解析】由题意，所以，解得，或，当时，，，此时，符合题意，当时，，，此时两直线重合，不符合题意，所以.故选：B3.记为等差数列的前项和，若，则（）A.20 B.16 C.14 D.12【答案】D【解析】∵是等差数列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故选：D．4.已知数据的平均数为，标准差为，中位数为，极差为．由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（）A.新数据的平均数是 B.新数据的标准差是C.新数据的中位数是 D.新数据的极差是【答案】B【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B错误；对于CD，不妨设，所以，而，所以，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：B.5.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不妨设点M位于第一象限，因为是等腰直角三角形，所以且，则，将代入双曲线方程，得，解得，所以，即，得，由，解得.故选：C6.已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如果事件与互斥，则，所以.如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，所以，，即.故选：C.7.已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，设直线，且则，作差得：由，所以，①因为为直线与圆的切点，所以，②由①②消去可得，所以.故选：A.8.已知数列及其前项和，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，故，当时，，，故当为奇数时，有，，故，即，有，即，则，故选：A.二、多选题（每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为B.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2C.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为D.过两点的直线方程为【答案】AB【解析】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确；对于B，直线交轴分别于点，该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确；对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误；对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误.故选：AB10.同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”,事件表示“两枚骰子的点数相同”,事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为，则样本空间为，则，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，，所以，故A错误；事件表示“红色骰子的点数是偶数”，所以，故B正确；事件表示“两枚骰子的点数相同”，，所以，故C正确；事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”,，所以，故D正确.故选：BCD11.已知等比数列的公比为，前项和为，下列结论正确的是（）A.若且，则是递增数列或递减数列B.若是递减数列，则C.任意为等比数列D.若，则存在为等比数列【答案】AD【解析】对于A：由题意知，则，所以，当或时，，则是递减数列；当或时，，则是递增数列.综上可知，若且，则是递增数列或递减数列，故A正确；对于B：若是递减数列，则，可得或，故B错误；对于C：因为，所以时，，于是任意为等比数列不成立，故C错误；对于D：当时，等比数列的前项和，假设存在为等比数列，则，，，，，，，.此时，，则有.所以，若，则存在为等比数列，故D正确.故选：AD.12.已知椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是（）A.的取值范围为B.以为直径的圆与相离C.若，则的斜率为D.若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值【答案】BCD【解析】由题意，对于A，直线斜率不存在时，将代入，得，此时，直线斜率存在时，设，联立椭圆方程，化简整理得，显然，，所以，因，所以，所以，故A错误；对于B，直线斜率不存在时，以为直径的圆与相离，满足题意；直线斜率存在时，设中点为，则，即，点到直线的距离满足，故B正确；对于C，直线斜率不存在时，显然不满足题意，直线斜率存在时，若，则，又，所以，解得，所以的斜率为，故C正确；对于D，直线斜率不存在时，显然不满足题意，当时，点与原点重合，，直线斜率存在且不为0时，弦的中垂线方程为，令，得，所以，即为定值，故D正确.故选：BCD.II卷非选择题部分（共90分）三、填空题（每小题5分，共20分）13.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为______．【答案】7.5【解析】由题意，所以这组数据的第60百分位数为.故答案为：7.5.14.方程表示一个圆，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】方程表示一个圆，则，得.故答案为：15.已知数列中，，若前项和，则______．【答案】【解析】由题意，所以.故答案为：.16.曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，即设，，，则，作轴于点，则，所以梯形，当，即时，时，，由得，无解，当即时，时，，满足题意，综上，．四、解答题（本题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）求证：当时，．解：（1）由题，因为在处的切线为所以，解得，所以；（2）令，，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增．所以在上的最小值为，所以即证得当时，．18.舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求；（2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；（3）用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率．解：（1）根据频率分布直方图可知；（2）平均成绩为；（3）由题意得，两组人数比例为，所以组应抽取2人，记为，组应抽取3人，记为甲，乙，丙对应的样本空间为：,(,甲),(,乙),(,丙),(,甲),(,乙),(,丙),(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共10个样本点．设事件“两人来于”，则(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共有3个样本点．所以．19.已知直线与圆相交于两点，是坐标原点，且三点构成三角形．（1）用表示弦长，并求的取值范围；（2）记的面积为，求的最大值及取最大值时的值．解：（1）圆心到直线的距离，因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形，所以，得，解得且，所以的取值范围为（2）法一：所以，且当且仅当，时取到等号所以的最大值为2，取得最大值时法二：设，则，所以所以当，即，即时，所以的最大值为2，取得最大值时法三：，当且仅当时取到等号，此时．20.已知单调递增的等差数列的前项和为，且是与的等差中项，．（1）求的通项公式；（2）令,数列的前项和为,若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）设递增等差数列的公差为，由是与的等差中项，得，即，则有化简得，即，又，解得，则；（2），则，于是得，两式相减得：，因此，又，所以不等式，等价于，又，所以等价于恒成立，令，则，则时，，即，当时，，即，所以当时，，则，所以实数的取值范围是．21.拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点．（1）求抛物线方程；（2）求证：为定值．解：（1）由题可得或(舍去)，所以；（2）设直线方程为：，联立，则，所以，直线，可得，同理，所以，所以．22.已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记．（1）求的通项公式；（2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：．解：（1）双曲线，渐近线方程为，由已知可得：，又点在双曲线上，所以，即，所以是以为首项，公差为的等差数列，所以即（2）设，有，以为切点的双曲线的切线，时斜率存在时，设斜率为，切线方程为，代入双曲线，得，由，得，解得，切线方程为，为切点的双曲线的切线方程也满足，由，可得，即，由可得，即，所以，所以，.先证右边：，所以，右边得证.下证左边：先证，令，，所以在递增，所以，即时，，所以，当时，，证明如下：所以，所以当时：，当成立，所以，左边得证所以命题得证．浙江省舟山市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列求导结果正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，A正确；，B错误；，C错误；，D错误.故选：A2.若直线与平行，则的值为（）A.0 B.2 C.3 D.2或3【答案】B【解析】由题意，所以，解得，或，当时，，，此时，符合题意，当时，，，此时两直线重合，不符合题意，所以.故选：B3.记为等差数列的前项和，若，则（）A.20 B.16 C.14 D.12【答案】D【解析】∵是等差数列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故选：D．4.已知数据的平均数为，标准差为，中位数为，极差为．由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（）A.新数据的平均数是 B.新数据的标准差是C.新数据的中位数是 D.新数据的极差是【答案】B【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B错误；对于CD，不妨设，所以，而，所以，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：B.5.在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不妨设点M位于第一象限，因为是等腰直角三角形，所以且，则，将代入双曲线方程，得，解得，所以，即，得，由，解得.故选：C6.已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如果事件与互斥，则，所以.如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，所以，，即.故选：C.7.已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，设直线，且则，作差得：由，所以，①因为为直线与圆的切点，所以，②由①②消去可得，所以.故选：A.8.已知数列及其前项和，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，故，当时，，，故当为奇数时，有，，故，即，有，即，则，故选：A.二、多选题（每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为B.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2C.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为D.过两点的直线方程为【答案】AB【解析】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确；对于B，直线交轴分别于点，该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确；对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误；对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误.故选：AB10.同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”,事件表示“两枚骰子的点数相同”,事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为，则样本空间为，则，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，，所以，故A错误；事件表示“红色骰子的点数是偶数”，所以，故B正确；事件表示“两枚骰子的点数相同”，，所以，故C正确；事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”,，所以，故D正确.故选：BCD11.已知等比数列的公比为，前项和为，下列结论正确的是（）A.若且，则是递增数列或递减数列B.若是递减数列，则C.任意为等比数列D.若，则存在为等比数列【答案】AD【解析】对于A：由题意知，则，所以，当或时，，则是递减数列；当或时，，则是递增数列.综上可知，若且，则是递增数列或递减数列，故A正确；对于B：若是递减数列，则，可得或，故B错误；对于C：因为，所以时，，于是任意为等比数列不成立，故C错误；对于D：当时，等比数列的前项和，假设存在为等比数列，则，，，，，，，.此时，，则有.所以，若，则存在为等比数列，故D正确.故选：AD.12.已知椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是（）A.的取值范围为B.以为直径的圆与相离C.若，则的斜率为D.若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值【答案】BCD【解析】由题意，对于A，直线斜率不存在时，将代入，得，此时，直线斜率存在时，设，联立椭圆方程，化简整理得，显然，，所以，因，所以，所以，故A错误；对于B，直线斜率不存在时，以为直径的圆与相离，满足题意；直线斜率存在时，设中点为，则，即，点到直线的距离满足，故B正确；对于C，直线斜率不存在时，显然不满足题意，直线斜率存在时，若，则，又，所以，解得，所以的斜率为，故C正确；对于D，直线斜率不存在时，显然不满足题意，当时，点与原点重合，，直线斜率存在且不为0时，弦的中垂线方程为，令，得，所以，即为定值，故D正确.故选：BCD.II卷非选择题部分（共90分）三、填空题（每小题5分，共20分）13.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为______．【答案】7.5【解析】由题意，所以这组数据的第60百分位数为.故答案为：7.5.14.方程表示一个圆，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】方程表示一个圆，则，得.故答案为：15.已知数列中，，若前项和，则______．【答案】【解析】由题意，所以.故答案为：.16.曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，即设，，，则，作轴于点，则，所以梯形，当，即时，时，，由得，无解，当即时，时，，满足题意，综上，．四、解答题（本题共6小题，70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）求证：当时，．解：（1）由题，因为在处的切线为所以，解得，所以；（2）令，，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增．所以在上的最小值为，所以即证得当时，．18.舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求；（2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；（3）用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率．解：（1）根据频率分布直方图可知；（2）平均成绩为；（3）由题意得，两组人数比例为，所以组应抽取2人，记为，组应抽取3人，记为甲，乙，丙对应的样本空间为：,(,甲),(,乙),(,丙),(,甲),(,乙),(,丙),(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共10个样本点．设事件“两人来于”，则(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共有3个样本点．所以．19.已知直线与圆相交于两点，是坐标原点，且三点构成三角形．（1）用表示弦长，并求的取值范围；（2）记的面积为，求的最大值及取最大值时的值．解：（1）圆心到直线的